Герасимович(математический анализ)

мы определили дифференциал в точке Хо как произведение производ­ ной от функции f в точке jco и дифференциала независимой пере-

= Дх, а во второй du — и (x)dx.

Таким образом, дифференциал функции всегда равен произве­ дению производной и дифференциала аргумента и не зависит от того, является ли величина, по которой взята производная, незави­

изводная функции в точке численно равна отношению дифферен­ циалов функции dy и переменной dx независимо от того, является ли функция y = f(x) функцией независимой переменной х либо сложной функцией.

5.4. ПРАВИЛА ДИ Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

Установим правила, по которым можно находить производные и дифференциалы алгебраической суммы, произведения и частног<£" функций, зная производные слагаемых, сомножителей, делимого и делителя. При их выводе будут использованы теоремы о пределах суммы, произведения и частного.

Пусть функции и = и(х) и v = v(x) дифференцируемы в точке хо и некоторой ее окрестности. Тогда справедливы следующие пра­ вила дифференцирования.

Правило дифференцирования алгебраической суммы функций.

Производная (дифференциал) алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных (дифференциалов) отдельных слагаемых.

£> Рассмотрим функцию у = и(х) + v(x). Дадим фиксированному значению аргумента х приращение Дх. Тогда функции и = и(х) и v — и(х) получат приращения Дм и Ди, а функция у — приращение

Следовательно,

y = u + v=>y' = u' + v'.

Так как дифференциал функции f в точке х равен произведению производной и дифференциала аргумента, то, умножив обе части формулы, выражающей правило дифференцирования алгебраиче­ ской суммы, на дифференциал аргумента y ' d x = u' dx -\-v'dx, полу­ чим соответствующее правило для дифференциалов:

dy = du + dv. <]

Это правило легко обобщается на случай любого конечного числа слагаемых, а именно: если функции и\(х), и2(х), ..., и„(х) дифференцируемы, то их сумма также дифференцируема. При этом

п п п

Правило дифференцирования произведения функций. Производ­ ная (дифференциал) произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной (дифференциала) первого сомножителя на второй и производной (дифференциала) второго сомножителя на первый, т. е.

у = uv=>-y' — u'v + v'u=$-dy = vdu + udv.

>Пусть у = u(x)v(x). Когда аргументу х придают приращен

а и и и не зависят от Лл: (и, v — значения функции, соответствующие начальному значению аргумента х).

Используя теоремы о пределах функций, находим

так как функция v = v(x) непрерывна. Итак, окончательно имеем:

у = ии=^у' = u'v -f- v'u=$-dy = vdu + udv.

(Дифференциал dy функции получается умножением левой и правой частей равенства у ' = u' v -f- v' u на dx.) <]

Правило дифференцирования произведения двух функций ме­ тодом математической индукции легко можно распространить на

109

случай любого конечного числа сомножителей: если ui(x), i = 1 , п ,—

т. e. производная (дифференциал) произведения равна сумме произ­ ведений производной (дифференциала) каждого из сомножителей и остальных сомножителей.

Правило дифференцирования частного функций. Производная (дифференциал) дроби (частного дв ух дифференцируемых функций) равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя дан­ ной дроби, а числитель представляет собой разность между произве­ дением знаменателя данной дроби на производную (дифференциал) ее числителя и произведением числителя на производную (дифферен­ циал) знаменателя.

Перейдя к пределу при Л х^ -0 с учетом того, что Jim Ли = 0

(из дифференцируемости функции следует, что она непрерывна), получим

Из выведенных выше формул дифференцирования суммы и произ­ ведения функций вытекают некоторые следствия.

С л е д с т в и е 1. Пусть функция и(х) имеет производную в точке х,

110

равенства по правилу дифференцирования сложной функции, счи­ тая у функцией от х. Имеем

Производные и дифференциалы тригонометрических функций.

Пусть у = sin х. Дадим фиксированному значению х приращение Ах. Тогда

(При вычислении предела мы использовали первый замечательный

Для сложной функции имеем

у= sin и(х)=>у' = и'(х) cos u(x)=>du = cos u(x)du(x).

Аналогично доказывается, что

у = cos и(х)=>у' — — и'(х) sin u(x)=^dy — — sin u(x)du(x).

Пусть y = tg x. Так как tg x = sin x /c o s x, то для нахождения производной функции у = tg х воспользуемся правилом дифференци­ рования частного. Если cosx=^=0, получим

112

Д ля сложной функции имеем

5.6.ПРО И ЗВО ДН А Я ОБРАТНОЙ Ф УНКЦИИ .

Дадим фиксированному значению аргумента у обратной функции приращение Ау. Этому приращению соответствует приращение обрат­ ной функции, причем в силу ее монотонности Ах Ф 0. Найдем про­

Производные и дифференциалы обратных тригонометрических функций. Пусть у — arcsin х. Найдем производную этой функции. Рассмотрим обратную функцию x = sin у. В интервале ] — л/2; л/2[ она монотонна, ее производная х'у = cos у не обращается в нуль. Сле­ довательно, используя соотношения между производными взаимно обратных функций, имеем

Аналргично доказывается, что

113

Пусть у = arctg x. Множество возможных значений этой функ­

обращается в нуль. Таким образом, используя соотношения между производными взаимно обратных функций, имеем

Следовательно,

у = sh x=>y' = ch x=>dy = ch xdx.

Поступая аналогично, находим производные и дифференциалы остальных гиперболических функций:

З а м е ч а н и е . He обязательно выводить и запоминать формулы диффе­ ренцирования для обратных гиперболических функций, так как каж дая из них выражаетси через натуральный логарифм сложного аргумента. Их всегда можно по­ лучить, продифференцировав обратные гиперболические функции по правилу диф-

114

^ференцировання сложной функции. Например, производная функции i/ = arthjc =

т г In ( -т- J —^ , где х С R, имеет вид 2 V. 1 — х )

5.8.Т А БЛ И Ц А П РО И ЗВ О Д Н Ы Х ОСНОВНЫХ

ЭЛЕМ ЕН ТА РНЫ Х Ф УНКЦИЙ

На практике чаще всего находят производные элементарных функций f(u), аргумент которых является простой или сложной функцией независимой переменной х. Д ля их отыскания использу­ ются правила дифференцирования суммы, произведения и частного функций, а такж е формулы для производных основных элементар­ ных функций, выведенные в предыдущих параграфах.

Приведем основные правила дифференцирования функций.

I. у = си=>у' — си'.

II. у = и + v=>y' = и' + v'.

V. y = f(u), и = и(х)=^у' = f'u(u)u'(x).

1

VI. у = [ ( х ) о х = ц>(у)^у'х =

Хц

В табл. 5.1 даны формулы дифференцирования основных элемен­ тарных функций.

Приведенные выше правила и формулы дифференцирования функций составляют основу дифференциального исчисления. Исполь-

Таблица 5.1

Ф ункция П рои зводн ая Ф ункции П роизводная

115

зуя их, можно найти производную и дифференциал любой элементар­ ной функции.

Логарифмическое дифференцирование. Правило дифференциро­ вания сложной функции позволяет в некоторых' случаях значи­ тельно упростить задачу нахождения ее производной.

Пусть функция f (x) дифференцируема на отрезке [а; Ь] и f(x) > 0

этой функции в фиксированной точке х, принимая y — f(x) за про­ межуточный аргумент. Применяя правило дифференцирования сложной функции, имеем

(In у ) ' = - у = (In f(x)Y,

откуда у ' = (/(In f(x))'.

Производную от логарифма функции называют логарифмической производной.

Логарифмическое дифференцирование удобно применять, если требуется найти производную большого числа сомножителей. Дейст­

Умножая левую и правую части последнего равенства на у, имеем

116

Производная степенно-показательнойфункции. Пусть у = и(х)а(х\

где и ( х ) > 0 , т. е. основание степени и(х) и ее показатель у(х) явля­ ются функциями переменной х. Функции и(х) и у(х) предполагаем дифференцируемыми для рассматриваемых значений х. Логариф­ мируя степенно-показательную функцию, имеем

I n у = v(x) I n и(х).

Дифференцируем последнее равенство с учетом того, что правая и левая его части являются сложными функциями аргумента х. Получаем

- J - = v'(x) I n и(х) + v(x)

откуда

у' = u(x)v(x>In и(х) • v'(x) -b v(x) u(x)o(*)_l • u'(x)•

.Таким образом, производная степенно-показательной функции равна сумме производных этой функции, если ее рассматривать сначала как показательную, а затем как степенную.

Например, если у = X х , то у ' — лг"(1п х + 1).

5.11. Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И Р О В А Н И Е Ф УНКЦИ Й, ЗАДАНН Ы Х ПАРАМ ЕТРИЧЕСКИ

Пусть функция у = у{х) задана параметрически:

(5-6) Предположим, что функции q>(t) и i|j(f) дифференцируемы для

дифференцирования сложной функции, получим yx = ty'(t)tx. Произ­ водную t'x найдем по правилу дифференцирования обратной функции:

117