Герасимович(математический анализ)

Д ля множеств, неограниченных сверху, принимают дополнитель­

но sup Л = оо,

а для неограниченных снизу полагают inf А =

— оо.

З а м е ч а н и е .

Символы

— о о

и

о о часто используют в приложениях. Их при­

соединяют к R и считают, что

— о о

<

лг < ; о о V * 6 R.

Множество R, пополненное — оо и оо, обозначают R и называют

расширенным множеством действительных чисел.

Приведем

несколько

примеров.

1.

Пусть А =

[2; 5], тогда

m = inf А = 2, М = sup А = 5.

2.

Пусть Zo— множество

всех

неотрицательных

целых

чисел,

тогда

т =

— inf {pip € Zo} =

О, М = sup {р|р € Zo) = оо.

3.

Пусть R — множество действительных чисел, тогда m =

inf R =

inf (х | лг 6 R} =

=

— оо, М = sup R = оо .

4.

Пусть А =

{х | лг2 < 5, х € R), тогда m = inf А = Ы{лг | — - ^ с х с л / ь , х 6 R} =

=

—

М = sup {лг | —-д/б <

х < -д/б,

х 6 R} =

~ф>.

Точные грани множества

А

могут

как

принадлежать, так и не

принадлежать

ему. Например,

пусть А = ]а;

Ь], тогда а = inf А (£ А,

s u $ A = b(zA.

В случае, если точная

верхняя (нижняя)

грань

при­

элементом этого множества, т. е. sup/4 =

т а х Л , iniA = mi nA.

Например, пусть Л = {1/n | n £ N). Тогда s u p A =

l, i nf / 4 = 0 . Точная верхняя

которого равнялся бы — 1: х 2 + 1 =

= — 1.

Обозначим i = -\/ — 1. Тогда формальное решение уравнения х 2 +

- f a 2= 0 можно записать в следующем

виде: Х \ ^ — ± a i . Таким

множестве комплексных чисел: R c C

или с учетом рассмотренных

ранее числовых

множеств

N c Z c Q c R c C .

Д ва комплексных числа

Z\ — X\ -\-iy\ и z 2 = х 2 -f- iy2 называются

равными тогда

и только тогда,

когда

Х\ — х 2, у\ = у 2, т. е.

, .

, .

( X I — х 2,

Х\ + t y 1 = * 2

+ iy2o ^ y i zz=y2.

определенная точка М(х\ у) комплексной плоскости и, наоборот, каж ­

дой точке М(х; у) этой

плоскости соответствует определенное число

z = x - \ - i y , т. е. между

точками плоскости R

и элементами множе­

ства С (комплексными числами) существует взаимно однозначное

соответствие. Таким образом, комплексная

плоскость является ге­

ометрической

моделью множества С.

Из геометрической интерпретации множеств R и С следует, что

С есть расширение R, так как множеству действительных чисел R

соответствует

множество точек прямой Ох (действительная ось),

а множеству

комплексных чисел С — вся плоскость R2.

жительным направлением оси Ох.

Д ля г ф О аргумент

г определяется

равенствами (рис. 1.8):

cos ф —

=

т— .х......,

sin ф =

^----- .

|zl

V*2+ у2

'

|z|

- Ф ^ + 7

числа обозначается arg z, а

множество всех значений аргумента —

A rg z:

Arg z =

a r g z - f 2kn, k £ Z .

Пример 1.2. Определить, какие множества точек плоскости заданы следующими

условиями (а, р, у, 6 6

R, г,, г2 6

R (п >

0, г2 >

0); а £ С):

1) Re z

=

а; 2)

а sg Re z <

р;

3)

Im z

<

7 ;

4)

(a sgT Re z <

Р)П ( 7 <

Im z sgT 6 ); 5)

r, sg |z |

r 2; 6 )

а

<

arg z <

p;

7)

\z — a\

<

r; 8 ) n

<

|z — a\

< r 2.

а задает прямую, параллельную

Р е ш е н и е .

1. Условие Re z = а-»-лг =

миимой

оси

Оу.

2.

Условие

а

Re z <; р -» -а <1 лг <С р

определяет

бесконечную

вертикальную

полосу

между прямыми

лг =

а

и лг =

р, включая прямую

лг =

а

(рнс.

1.9).

3.

Условие

1ш z <

у о у

<

7 задает

полуплоскость,

расположенную

ниже пря­

мой у — 7

(рнс.

1 . 1 0 ).

Р) П (у <

У <

4.

Условия

(а <

Re z <

р) П ( 7 <

Im z < 8 )-»-(а <

лг <

6 )

задают

прямоугольник,

ограниченный

прямыми лг =

а , лг =

р, у = у,

у =

8 , причем

стороны

у =

у нлт =

р не включаютси в этот прямоугольник (рис.

1. 1 1 ).

5.

Условие

и < ; |z | sg гг

определяет

кольцо

между

двумя

концентрическими

окружность исключается из

рассматриваемого множества точек (рис. 1 . 1 2 ).

6 . Условие

а. С

arg z <

р

задает бесконечный

сектор,

ограниченный лучами

a r g z =

a и a r g z =

p,

причем

сами

лучн исключаются (рис.

1.13).

7.

Условие

|z — а\

< г,

где г £

R ( г > 0 ) ; а в С,

определяет точки z, удаленные

центром в точке

а

(рис. 1.14).

8 . Условие

г, <

\ г — а\ ^ г2 задает кольцо между концентрическими окружно­

t/h

Уи

о

К

О

Р и с . 1.14

Р и с . 1.15

многочленами

(в

частности,

двучленами) с действительными коэф­

фициентами,

если

заменить

в результате i2 = — 1, i3 = — i, i4= 1

и т. д.

Суммой комплексных чисел называется комплексное число, дейст­

вительная

и мнимая части которого равны суммам соответствую­

щих частей

слагаемых:

21

+

2 2 = (*1 + iy\) + (Х2 + iyi) = (х, + х2) + i{y\ + У2)-

(1.1)

точке

z(x; у)

можно

поставить

в соответствие два числа: г — по­

лярный радиус,

равный длине

отрезка ОМ, и ф — полярный

угол,

равный углу между полярной осью и лучом ОМ; при этом О ^

г <

< оо,

— я < ф ^ я . Числа г, ф называют полярными координатами

точки

М (рис.

1.16).

Так как

X = ГCOS ф, У = r Sin ф,

(1.3)

то

z =

х

-\- iy =

г cos ф -f- ir sin ф = r(cos ф -f- i sin ф).

Итак,

z — r(cos ф + i sin ф).

(1.4)

комплексного

числа

затем

по формулам

sin ф = =у— =

у

определяют аргумент ф: tg ф = у /х .

II

I

I

У

Ш ; у )

О

к

О

X

X

Р и с .

1.16

Р и с .

1.17

Д ля

главного

значения аргумента

справедливы соотношения:

fa rc tg (у/х)

V * > О,

ф =

arg z = < arctg(y/x) + л V x < 0 ,

V y ^ O ,

(^arctgO//*) — л V * < 0, V y < 0 .

Действительно,

главное значение arctg(y/x) заключено между

— я /2

и л /2 ,

поэтому:

1)

если точка г лежит в I или IV четверти, т. е. х > 0

(рис. 1.17),

то

arg z = arctg(y/x);

2)

если

точка г лежит во II четверти,

т. е. Ж 0,

у ^ О

(рис.

1.18,

а), то

— я /2 <

a r c tg ( y /* X 0

и

a r g z — arctg(y/x) +

я;

3)

если точка г расположена в

III

четверти, т. е.

О,

у < О

(рис.

1.18,

б), то

0 < arctg(y/x) <

я/ 2,

следовательно,

a r g z =

=

— я + arctg(y/x).

а

5

— — 1 — (д/5Г и изобразить его геометрически.

Р е ш е н и е . Д л я геометрического

изображения комплексного числа z = — 1 —

построим точку М ( — 1; — л / з )

и радиус-вектор

ОМ. Точка М и вектор ОМ

являются геометрическим изображением комплексного

числа г. Вычислим

2 \ —

Г\ ( c o s

ф! +

1 s in

фО,

Тогда

Z 2 =

r 2( c o s

ф 2 +

i

s in

фг).

Z iZ 2 =

r i r 2( c o s

ф! - i- isin < p i) ( с о в ф г + ^ в т ф г ) =

=

r i r 2(c o s

ф! c o s

ф 2 —

s in ф |

s in

ф 2) +

-f- i (s in ф | c o s ф 2 -f- c o s

ф 1 s in

фг) =

=

n r 2(c o s

(ф! +

фг) +

i

s in (ф!

+

фг)),

Z[

ri(cos ф[ + <sin ф[)

г | (cos ф! +

i sin ф[) (cos фг — i sin фг)

2г

r2(cos фг +

( sin фг)

Гг(cos фг +

( sin фг) (cos ф г— i sin фг)

=

Z L

с о 5( ф , — ф г) + 15т ( ф , - ф г )

=

n _ ( c o s (

-

ф 2) +

i а ш ( ф , -

ф 2) ) .

Г2

COS ф г +

Sin"' ф 2ГгТ Т

Итак,

г ,/ г г = ^ (c o sfa i — ф2) +

i s in ^ i — ф2)).

Следовательно, при делении комплексных чисел их модули де­

лятся, а

аргументы

вычитаются.

Число z",

где z

= r(cos ф -f- i sin ф); z 6 С;

rag N,

можнорассмат­

ривать как умножение z

на

себя га раз:

z" = (г (cos ф +

i sin ф))" =

г" (cos гаф + i sin гаф)=*-

_ ^ z n =

rn(cos иф - f i sin иф),

\zn\ = r n,

a r g z n = n a r g z .

(1.5)

Из

формулы

(1.5)

следует,

что

при г =

1

(cos ф - f i sin ф)" =

cos «ф +

i sin гаф.

(1.6)

z n = г™(cos «ф +

1 sin Пф) = т0(cos ф0 +

1 sin фо)=*-

=>rn =

r0, иф = фо +

2/гя или ф =

k £ Z,

г=-л/г^.

Итак,

г = ^ 7 0 = Щ

Со* (po + 2fejt -I-1 sin

*° + 2fe” ) .

( и )

Из формулы (1.7) следует, что среди значений -у^Гразличными

являются только п, все

они получаются при

k = 0 ,

га— 1.

Исходя

из формулы

(1.7), можно показать, что

геометрически

вершин (соответствующая /г = 0) имеет

полярные координаты

(V^o, фо/га).

* Абрахам де Муавр (1667— 1754) — английский

математик.

Пример 1.4. Пусть Zi = 1 —

, Z2 =

1 + (. Требуется записать z t и z 2 в триго­

нометрической форме

и найти Z |Z 2,

Z 1/ Z 2 ,

z?, Цгг.

Р е ш е н и е . Чтобы записать комплексное число z в тригонометрической форме,

надо найти его модуль и аргумент:

U il

= "V1 + 3

= 2, a rg z, = a r c t g ( —-\/§ /l) =

a rctg ( —" \/S ) =

— л/3 .

Тогда

Zi = 2(cos(— л /3) + i sin (— л/3)).

Представим гг в тригонометрической форме:

IZ2 I = V T T T =

л/2, a rg Z2 =

arctg

1 = л /4 , z2 =

~^2(cos(n/4) +

i sin(n/4)).

Найдем:

z ,z 2 =

2~\j2(cos( — n /3 +

n /4 ) + ( sin ( — л /3 + л/4)) =

= 2 ~^2 (c o s(n /1 2 ) — i sin ( л / 12)),

Z|

2 /

—— =

—p ( c o s ( — л /3 — л /4) + 1 sin ( — л /3 — л/4)) =

zf =

2 2^ c o s ^ — у я ^

+ i

sin

=

— 2 — а - \/з,

a

^

cos

" / I

t » g

+ I sin ." / *

+ gfa. ^

В

частности,

z0 = ^ 2 (cos ( л / 12) + i sin ( л / 12))

при /г = 0,

z, =

-^2 (cos(3n/4) +

+

<sin(3n/4)) при k = { ,

z 2 =

^ 2 (cos( 17 л / 12) +

i sin (17 я / 12))

при

ft =

2, или

z0 =

=

1,084 +

0,29 li, z, = — 0,794

+ 0,794(, z 2 = — 0,291 — 1,084(.

Дадим

геометрическую интерпретацию полученных значений л [ г ^ =

л/l + i

Мо­

дули всех z jt / =

0, 1, 2, равны ~$2

х , 1,122.

Следовательно, точки z0, z u

z2 леж ат на

окружности радиусом г =

1,122 с

центром

в начале координат. Построив эти точки

e,<f = cos ф + i sin ф, ф 6 R

(1.8)

z — r(cos ф -f- i sin ф). Используя

формулу Эйлера

(1.8),

получаем

z

- ге

(1.9)

Это

и есть показательная форма комплексного

числа,

где г =

= |гг|;

ф = a r g z + 2/гл; k £ Z .

Если

z\ = г

Z4 — г ^ \

то

Если

г 2 ф 0, то

Z\Z2 = r lr2^ ' +

^ .

(1.10)

Z|

—

Г|

е Ч '

—

Г| с '(ф|~ф;)_

/ |

J | \

z2

Гг

е'4”

т\

’

\

•

/

Если

п 6 N,

z =

гещ, то

г п =

(ге1ф)" =

г"е‘"ф

(1.12)

и

___

2к = д /^ = = ^ /7 е'(< р + 2*")/")

/г =

0,л — 1.

(1.13)

Пример 1.5. Найти

z z u

z /z ,,

-^/z" и z 12, если

z =

I — 1,

г, =

1 + - \/з < .

Р е ш е н и е . Запишем z

и Zi в показательной форме:

|z |

= V £

a rg z =

a rc tg ( — 1) =

—л /4 =>z =

^J% е ~ ы/*,

I zi | = 2 ,

a rg Zi =

arctg-\/3 = n/3=>-Zi =

5e*"/3.

Тогда по формулам (1.10) —

(113)

получим

zz, =

2~\[2 e**'2, z /z ,

=

- ^ - e ~ i7“/l2,

z* =

^[z = 1 / 2

e ^ 6 *”

^ ,

k =

0 ,4 .

Прн k = 0 zo =

л[2

при k = 1,4 имеем соответственно Zi =

'^ 2 е'7л/20, z2 =

=

' ^ 2 ei3”/4, z 3 = '-V2 ei23"/2°, z 4 = ' ^ 2

e‘3u/20. Точки zo, Zi, z2, z3, z4 являются вершина­

ми праввльного пятиугольника, вписанного в окружность радиусом

1,072

с цент­

ром

вначалекоординат

(рнс.

1.21). Полярный угол точки г 0 фо =

— л/20,

а поляр­

ные

углы

остальных точек получаются последовательным прибавлением

угла

2 л / 5

к

<ро: ф* =

фо + 2nfe/5, k =

1,4.

Найдем z 12 =

( - ^ ) 12е_3” . Так

как на

основании

формулы Эйлера

(1.8)

ё* =

=

cos ф +

( sin ф,

то

е -3ш =

cos Зл — i sin Зл =

— 1 ,

и,

следовательно,

z 12 =

=

- ( V 2 ) 12= - 6 4 .

Решение уравнений в С. Рассмотрим

уравнение