Герасимович(математический анализ)

2х

х

+ 1

Например, —;---------------------

неправильная дробь, —;-----------------

правильная дробь.

лг + Зх + 2

х* + х — 2

на знаменатель по правилу деления многочленов):

■Р*(*)

_ D(

_L

Р"М

Q,{x)

<?„(*)’

где R(x) — многочлен-частное (целая

часть)

дроби ^ к~

; Рп(х) —

остаток (многочлен

степени п< ст ).

Wm\X)

Например,

*4- * 3+ ‘ , ^ - 2 » + - 4^

‘

х 2 + х + 2

хг + х + 2 '

-

х \ ~

*

2х

2

+ '

К + о + 2 - Ц е л а я

часть

х* +

х 3 +

х 2 — 2х

— 2х3 — 2х2

+ 1

1 ) —— ;

2 )

— - — (я > 2 );

’

х - а '

’

(х - а)" К

’

оч

М х + N .

М х + N

( « > 9 ' )

6 >x 2 + p x + q '

>

(х* + рх + q)n

(

[ I A *X- ,

= A [ ^

- =

A [

d{x~ a)

= ь А \П\ х - а \ + С -

) (х — а)

) х — а

J

х — а

^ ■ А у

= А ^ (х — a )~ ndx = А ^ (х — a )~ nd(x — а) =

=

—

‘— ±--------

+ с .

(1 — я)(х —а)"-'

\

{Mx + N)dx

_

d(x2 + px + q) = (2x + p)dx,

x 2 + p x +

q

M x + N = f ( 2 x + p) + N

Мр

2

_

М

Г

d(x2 +

px +

q)

, / д,

М р \

Г

dx

_

2 J

x 2 + px + q

2 / J x 2 + px + q

d(x +

p / 2 )

(x + p / 2 f + q — p 2/ 4

s jq — p 2/ 4

° V 4? — P2

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби

четвертого

типа

Zj7 ""^r-

Сделаем замену

переменной, поло­

жив х +

р / 2 =

t,

откуда dx = dt:

x 2 +

px +

q = (x + p /2 )2 + q — p 2/4 =

? + fl2.

где

a2 =

q — p2/ 4.

Тогда

\

(Mx + AQrfx

M (x + p /2 ) + N — M p /2

-

4

tdt

(x2 +

px +

H

J

{{x +

p / 2 f

+ q

J

(t2 + a2)"

+

q f

- p 2/ 4 f dx

■'

+ ( N - J¥ ) \ I F T W - M I ‘' + ( N - JT - ) ' -

Интеграл I0 легко

вычисляется:

IQ=

[ — ——

=

— [ (t2 +

a2)~ nd(t2 + a2) =

------------- !-----

+

C.

J

(t2 + a2)n

2

]

1

T

J

2(1 — n) (f2 + a

2) " -

1

S 2 ^dt

2y, . Представим

его

в

виде

/ _ Г

dt

_

I

Г (f2 + a2) - <

2

1 /Г

dt

f

eat

\

"

J

(t2 + a2)n

a2)

(t2+ a2)"a2 \ J

(t2 + a2f -

1

J

(t2 + a2)" )'

dt

-——r - = I n- \ , получаем

—-----

f

t2dt

_

и — t, du =

tdt

J

(<2+ a2)"

_

dy =

2(1 — n) (f2 + a2)“-

( f + a 2)"

_

t

1

f

dt

_

2 ( 1

— n) (t2 — a 2) " - 1

2 ( 1 — n)

J

(<2 + a 2)',_ l

_ ________ I_______________ *

7

2 ( 1 — n) (t2 + a 2) " - 1

2 (1 — n)

n ~ 1'

/,

=

J_ arctg-^- +

С,

по

формуле

(8 .6 ) можно найти ин­

теграл h =

\

, dt

и т. д. Действительно,

J

(<2 + в2)2

[

rfL_

==-Lf-LC.-‘“ -

+ ____t___ \ =

)

(t2 + a*)2

в 2

\

2 J

<2 +

в 2

^

2 (t2 +

a 2) )

2 a \ t 2 +

а 2)

+'

^2 аx

arctg - r +

с -

Qm{x) = O o b 0x m -f- b xx m~ x + . . . + b m=

l).

(8.7)

Предположим, что уравнение (8.7)

решено и найдены его корни.

Согласно основной теореме алгебры,

уравнение

Qm(x) — 0

имеет

ровно m корней с учетом их кратности. Корни уравнения (8.7)

могут

быть действительными (простыми или

кратными)

и комплексными

линейные и квадратные

множители следует учитывать, что:

1) если а является простым корнем многочлена

Qm(x) (Qm(a) =

— 0), то Qm(x) делится

на х — а без остатка, т.

е. Qm(x) = (x —

Ot)Qm—1(*)»

является

корнем кратности к многочлена Qm(x), то

2) если а

Qm(x) делится

на (дс — <х)к без остатка, т. е. Qm(x) =

(х — a)k Qm~k(x)-,

3) если комплексное

число z — и + iv является

корнем много­

на

(дс — z) (х — z) = (дс — и — iv)(x — и + iv) = х 2 -\-рх + q ( р = — 2и,

q =

u2 - \- v i, р 2/ 4 — q < 0 ) , т. е. Qm{x) = (х2 + рх + q)Qm^ 2{x)\

4) если комплексно-сопряженные числа и ± tw являются корнями

где

k +

/ + 2 s =

m.

Справедлива следующая

Теорема 8.4. Правильную рациональную дробь Pn(x)/Qm(x), где

Qm(x) = (х — а)к(х — р)'(х2 -f- рх +

q)s, можно единственным

образом

разложить на сумму простейших дробей:

Рп (х)

А 1

|

А 2

j

Ak

j

Да

Qrn(x)

(Х — а)

(х — а)

(х — а ?

(х — Э)

(х — Р) 2

I

I

Bt

I

M i* +

N i

I

М 2х +

N j

I

I

MsX +

N s

/о qn

"r - " r

( x - p ) ' ^

xs +

p x +

q

- r

(x2 +

p x +

q f

^

^

(x2 + px +

qY

^

(i4i,

A 2,

A k,

В i,

B 2, ...,

Bi,

M u

N и M 2, M 2,

...,

M s,

N s — некото­

рые действительные числа).

Согласно разложению (8 .8 ), линейным множителям знаменателя

Qm(x) соответствуют

простейшие

дроби

первого

и второго типов,

Например:

А

х2

_

X2

■

_

В х + С

(дг3 — 8 ) (дг2 +

1)

(* — 2 ) (х2 +

2х +

4)(х2 + 1)(*- 2

Р х + Е

+

1

х 2 +

2)

Н * - 3 _______м

_ А

_

_ В

_

_ Р _ _ ,

(х + 1) (дг — I)3

X +

1

X -

1

( X - I)2

^

( X - I) 3 ’

* 2 + * + 13

=

А

В х + С

Р х + Е

Е_

М_

N_

(* — 1)(*® Н- 4)2je3

х — 1

х2 + 4

(х2 +

4) 2

х

х2

х3

нений для нахождения т неизвестных коэффициентов

А и

Аг........

Ak, В\, В 2,

..., Bk,

М и

N 1, ...,

M s, Ns.

X^

Пример

8.9. Разлож ить

на

простейшие

дроби.

рациональную дробь —-------

х

8

Р е ш е н и е . Так

как х 3 — 8 =

(х — 2 )(х2 +

2х + 4),

то

по

формуле (8 .8 ) имеем

х 2________________ х2____________ А

В х + С

jc3 — 8

(х — 2) (х2 +

2х + 4)

х — 2

х2 +

2х + 4

’

х2

= А (л2 + 2х +

4) + (Вх +

С) ( х - 2)

дг3 — 8

(х -

2) (х2 + 2х +

4)

х ‘

1 = А + В,

Л

х {

0 = 2А +

С — 2В, >=►» =

4-. В = -!г. с =

4--

’3

*0

О — а л

ог

)

I3 ’3

О = 4А —

2С

Таким образом,

* 2___________1

+

2(х + 1)

х3 - 8

3(х — 2)

3(х2 + 2х + 4)

'

Пример

8.10. Разлож ить

рациональную

7л2 +

26* — 9

на простей-

дробь —;------- Ц-------- ;-------

шие дроби.

хг +

4х* + 4хг — 9

Р е ш е н и е . Разложим знаменатель

на

множители:

х* +

4X 3 +

4х2 — 9 =

(х2 +

2 x f — З2 =

(х2 + 2х +

3) (х2 +

2х — 3) =

= ( * - 1 ) ( * + 3) ( * 2 + 2* + 3).

7л:2 +

26* — 9

А

,

В

'

, Cx + D

( х - \ ) ( х +

3)(х1 + 2х + 3)

х

— 1

I

Г~?Г “г

х 2 + 2х + 3

х +

3

Приведем

правую частьразложения к

общему

знаменателю.Тогда

,7 л:2 +

26*

— 9

_

С* — 1)(* +

3) (я2 +

2 * + 3)

“

= А (х +

3) (л:2 +

2л: + 3)+ В (х -

1) (х2 +

2х +

3)+

(Сх +

D ) ( x - 1) (х + 3)

7jc2 + 26* -

9 =

A (x +

3) ( * 2 +

2* + 3) + B (x -

1) ( * 2 + 2* + 3) +

+

(Cx + D ) ( x - l)(* +

3)

или

7* 2 + 26* -

9 =

(A + В +

С) * 3 +

(5» +

В + 2C + D )x2 +

+ (9A +

В — ЗС +

2D)x +

9A — ЗВ — 3D.

Приравнивая коэффициенты прн одинаковых степенях х, имеем:

О = А + В + С,

7 = 5A + B + 2C + D,

=>А = 1, В = 1 , С =

— 2, D = 5.

26 = 9А + В — ЗС + 2D,

}

— 9 — 9A — 3B — 3D,

Следовательно,

7 Х 2 +

26* —

9

1

,

1

,

5 - 2 *

( * — 1)(* +

3) ( * 2 +

2* + 3)

* — 1

I ;

”

Г '

* 2 + 2* + 3

х +

3

Пример

о . .

^

рациональную

*

4*2 + 1 6 * — 8

на простейшие

8.11.

Разлож ить

дробь

------- г--------------

дроби.

хг — 4*

Р е ш е н и е . По формуле

(8 .8 ) получим

4* 2 +

16* — 8

=

Ах‘ +

16* — 8

=

Л _ ,

В

С

х3 — 4*

*(* +

2)(* — 2)

*

* +

2

х — 2

Приведя правую часть данного равенства к общему знаменателю и отбросив

последний,

имеем

4* 2 +

16* — 8

=

А (х + 2) (* — 2) +

В х(х -

2) +

С*(* +

2).

П ридавая

*

последовательно

частные

значения,

равные

кориим

х — 0, * = — 2,

* = 2 , находим:

*= 0

_ 8 = - 4 Л Л

( А = 2,

* =

- 2 —24 =

8 В,

>=*-< В = — 3,

* = 2

40 = 8 С,

J

[ С = 5.

Таким

образом,

4* 2 +

16* — 8

2

•

+

х3 — 4х

х

' х + 2

х — 2

Рь (х)

D ( Y \ _1_

где n < . m \

R(x) — многочлен

(см. § 8.5);

2 ) если

рассматриваемая

рациональная дробь Pn(x)/Q m(x) —

,

Г /

2

,

| л

|

4х2 +

16* — 8

\

)

х 3

х 2

j(

7

~

Г _ 4 * 1 + 1 й - 8 _

J * ( * - 2 )(* + 2)

,

t f

+

I S r - e

разложим

на

,

найдем

Правильную дробь —------

Z J

(Д.

■

простейшие дроби и

X I X

JLf

коэффициенты А, В, С разложения

(см. пример 8.11):

х'

х2 , ,

, f / Л

,

В

,

С \

| Л = 2, В = - 3 ,

1 3 + 2 + *х + ) { т + Т + 2 + - 7 = 2 ) а х = \ С =

3

2

3 !п |х +

!п |х -

=

у

+

у

+

4х +

2 !п |х |

-

21 + 5

2|

+

!п С =

= 4 - + 4 -

+ 4* + 1п 1

Сх2(х -

2)6

,

,

0.3

3

'

2

............

" I

(х +

2)3

Пример

8.13. Вычислить

f

х гйх

Р е ш е н и е .

Подынтегральная

функция

представляет

собой

правильную

р а ­

циональную дробь, разложение которой на простейшие дроби выполнено

в

при­

мере 8 . 1 1 :

f

х2

.

_Г _________ x ld x ________ __

f /

А

В х +

С

\

_

J х3 — 8

Х

J (х — 2) (х2 + 2х + 4)

J \ х — 2

х2 + 2х + 2 /

IА =

1/3,

I

1

f

dx

,

2

Г

2х +

2.1...

\В = С = 2 / 3 1' - У SТ 3 2 - + T i 7 + ^ + 7 “' - Т

- 21 +

1

f

d(x2 +

2 х

+ 2 )

1 .

.

. .

,

1 .

.

j

, _

.

.. ,

1

—

\ — Ц— --!—

— ■— In х — 2

Ч--1п(х^ +

2 * + 4 )4 -------

3 J

х + 2х + 4

3

3

v

'

3

= 1п |(С(х -

2) (х2 +

2х +

4))'/31=

1п л / с ( х 3 — 8 ).

( _ ^ _

= ± ( Ж

^

1 = ± , П|Х3 _ 8| + ± 1пС =

J х3—8

3 J г>-8

3

^ 3

=

In д/сСх3 -

8 ).

Например,

R(u,

v ) = —

;— г рациональная

функция относительной

5и2 — 6 uv +

v

и v ,

R(x, ~\[х ,

~\[х )

=

—

— г — рациональная функция относительно х , ~\/х,

х — л[х +

-ух

jr*

Rfsin x cos x) =

sin х _2 cos^ х

функция

относительно

iJx;

-------------------------------------рациональная

sin x

и cos x.

3

sin x +

cos x +

1

Выражение —

-------

ие является рациональной

функцией

относительно

у\ i osinu хл -+р **2 cos2 Ях

,

Выражение ■ — Y2--------------------— - не ивляетси рациональной

функцией относи-

sin2 х + 3 cos x + 5

тельио sin x, так как содержит операцию извлечении корня из

sin х.

S/?(sin^, cos л:)dx

(8.9)

Например:

,

f

d x

=

Г

sin2 х +

cos2 х .

Г

.

2

1

,

,

1 )

\

------—

\ ----------- ------------dx =

\ tg

х ---------—

d x +

J

cos X

J

COS

X

J

cos2 X

+

\

|

\

tg 2 X d (tg

x) +

tg X =

- j - tg 3 x +

tg X +

C;

J

cos2 x

J

3

2 )

(

d x

=

(

d (x /2 )

=

f

d ( x /2 )

f

d (tg (x /2 )) =

J

sin x

J

sin (x/2) cos (x/2)

j

tg (x /2 ) cos2 (x/2)

j

tg(x/2)

3)

) cos2 xdx.

Д л я

вычисления этого

интеграла

можно

использовать форм

cos2 х = у

(1 + cos 2х)

и свести его к табличным:

^ cos2 x d x = у

^ (1 + cos 2x )d x —

+ у

sin 2x j

+ С.

2 sin(jc/2 ) c o s(* /2 )

2 te(x /2 )

2 t

SП X ~

sin2 (x /2 ) + cos2 (x /2 )

“

1+ tg 2 (x /2 )

“ 7+7"’

cos X =

cos2(*/2) ~ sin2(*/2)

_

1 - tg2(*/2)

=

J j z l L

sin2 (x /2 ) +

cos2 (x/2)

1 +

tg 2 (jc/2 )1+ / 2'

x = 2

arctg t,

d x ■

2dt

l + <2

Подставляя

в подынтегральное

выражение

(8.9) вместо

f

d x

)

a cos х + b sin х + С

S

dx

- .„--------- ;----:------.

9 + 8 cos х + sm х

С ________ d x ________

Г _______________ 2dt__________________

Г

2 d t

=

) 9 + 8 cos х +

sin х

“

3

,

. 8(1 - t * )

,21

\ ~

)

<2+ 2 * + 1 7

=

(

\

. 1 + < 2

1 + < 2 /

d ( t + A )

1

^ + 1

,

_

1

.

tg

(x/2) + 1

,

_

-------— =

— a rctg —

----------2-------

Ь

С =

-я- arctg

т

■/ ----------

h

С.

_|_ l )2-_J|_ 16

2

в

4

т

ё

4

пользоваться следующими рекомендациями.

1.

Если

подынтегральная

функция нечетна относительно sin х,

т. е.

R( — sin лс, cos JC) = — #(sin JC, cos х), то применяется подста­

н овка

cos x = t.

функция нечетна относительно cos х,

2.

Если

подынтегральная

т. е. i?(sin х,

— c o s x ) — — У?(sin х, cos х), то используют подстановку

sin х = t.

функция четна относительно sin х и

3.

Если

подынтегральная

cos х, т. е. R( — sin JC, — cos JC)= ./?(sin JC,COSJC),TO применяется

под­

становка tg jc =

t.

Интегралы

вида $ sin" JC cos'" jcdjc (m, n 6 Z, m ^ O , л ^ О ) .

Если

-f- cos2 JC = 1 оставшуюся четную

степень через

кофункцию, прихо­

дим к табличному интегралу.

Пример 8.15. Вычислить $sin5 jcdx.

Р е ш е н и е . Имеем

5 sin5 x dx — J sin4 х sin x d x = — J (1

— cos2 x fd (c o s x ) = |cos x = t \ =

= - ^ ( \ - t * f d t = - ^ ( l - 2 t 2+ t * ) d t = - t + l . t 3- - t + C =

2

1

= — COS X + — COS3 X -------- r - COS5 X +

С .

3

5

Пример 8.16. Вычислить J sin4 2x cos3 2xdx.

Р е ш е н и е . Имеем

5 sin4 2x cos3 2x d x — J sin4 2x cos2 2x cos 2 x d x —

= “FT ^ sin4 2 jc(1 — sin2 2 x)d(sin 2x) =

|sin 2x — u\ =

u 4(1 — u2)du =

„

1 +

COS 2lC

• 2

1 — COS 2*

•

1 -

0

cos jc —

— —

--------------------------- , sin

jc = ----

Пример 8.17. Вычислить

J cos4 xdx.

Р е ш е н и е .

Перейдем

к тригонометрическим функциям

двойного

аргумента:

^ cos4 x d x =

^ (cos2 x f d x = ^

L ib ^os

^

d x =

= Y ^

1

+ 2 cos 2x +

_ L ± _ £ 2 ii£ ^ dx =

x _|_

sm 2x +

sin 4x + C.

Пример 8.18. Вычислить J sin4 x cos2 xdx.

Р е ш е н и е .

Имеем

J sin4 x cos2 xdx =

J sin2 x(sin x cos x f dx =

f

1

_

sin 2 2x

• f - 2

2x d x

— » sm

2x

1 f .

= \ у

(1 — cos 2 x ) -----

dx =

— V sm

cos 2x d x =