Герасимович(математический анализ)

5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

5.1. ПОНЯТИЕ ПРО И ЗВО ДН О Й . МЕХАНИЧЕСКИЙ И ГЕОМ ЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ П РО ИЗВОДН ОЙ

вольной фиксированной точке х0 называется предел (если он суще­ ствует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

Производная функции у = f(x) в произвольной точке х обозна­

чается так: у', f ’(x), ^ £.f(x).

При каждом конкретном числовом значении х производная (если она существует при данном лс) функции у — f(x) представляет собой определенное число. Значениям переменной х ставятся в соответ­ ствие определенные значения переменной f'(x). Следовательно, про­ изводная является функцией аргумента х. Можно сказать, что функ­

то говорят, что для этого значения х существует бесконечная про­ изводная.

В дальнейшем под выражением «функция имеет производную» будем понимать существование конечной производной, если не ого­ ворено противное.

О п р е д е л е н и е 5.2. Если функция f определена в левосторон­ ней (правосторонней) окрестности точки х0 и существует конечный или бесконечный предел этой функции:

99

Следовательно, (cos х)' = — sin дс.

Механический смысл производной. Рассмотрим функцию y — f(x), определенную и непрерывную в некоторой окрестности точки х й. Если аргумент х 0 функции получает приращение Ах (положительное

процесса, описываемого функцией f(x). В зависимости от содержа­ тельной сущности функции можио получить широкий круг математи­ ческих моделей скорости протекания процессов. Рассмотрим некото­

Тогда мгновенная скорость движения в момент времени <0 есть произ­ водная от пути s по времени t :

2. Пусть у — v(t) — функция, описывающая процесс изменен скорости неравномерного движения в зависимости от времени t. Тогда мгновенное ускорение материальной точки в фиксированный момент времени to есть производная от скорости v по времени t\

3. Пусть y — Q(T) — функция, описывающая процесс изменен количества теплоты, сообщаемой телу при нагревании его до темпе­ ратуры Т. Тогда теплоемкость тела есть производная от количества теплоты Q по температуре Т:

101

4. Пусть необходимо определить линейную плотность неоднород­ ного тонкого стержня длиной /, где т — масса стержня, концы которого имеют координаты 0 и хо (предполагается, что ось Ох на­ правлена по стержню). Ясно, что масса стержня является функци­ ей х: f(x) — т(х). Тогда линейная плотность неоднородного тонкого стержня в точке хо есть производная от массы т по длине I:

5. Пусть у = ф(<) — функция, описывающая процесс изменения магнитного потока в зависимости от времени t. Тогда мгновенное значение электродвижущей силы индукции равно скорости изме­ нения магнитного потока, т. е. производной от магнитного потока Ф по времени t :

6 . Пусть y = q{t) — функция, описывающая процесс изменения заряда в колебательном контуре в зависимости от времени t. Тогда сила тока в контуре в момент времени to равна производной заряда q по времени t :

Геометрический смысл производной. Рассмотрим задачу о прове­ дении касательной к произвольной плоской кривой. Пусть L — дуга плоской кривой, Мо — точка этой кривой, МоМ —^ секущая (рис. 5.1). Если точка М движется по кривой к точке Мо, то секущая поворачи­ вается вокруг точки Мо и стремится к некоторому предельному поло­ жению МоТ.

О п р е д е л е н и е 5.3. Касательной к кривой L в точке Мо называ­ ется прямая МоТ, которая представляет собой предельное положение секущей М 0М при стремлении по кривой точки М к точке М 0 (см. рис. 5.1).

Если предельного положения секущей не существует, то говорят,

102

т. e. если кривая L является графиком функции f(x), то из равенст­ ва (5.1) следует г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л п р о и з в о д н о й :

производная от функции f(x) при х = хо равна угловому коэффици­ енту касательной к графику функции в точке с абсциссой хо.

Уравнения касательной и нор­ мали. Угол между кривыми. Д ля составления уравнений касатель­ ной и нормали к плоской кривой используем геометрическую интер­ претацию производной. Пусть кри­

Но k = f '( x о), поэтому

У — yo = f'(xo) (х — хо)

есть уравнение искомой касательной.

Так как угловые коэффициенты касательной и нормали связаны

Углом между кривыми называют угол между касательными к кривым в точке их пересечения. Д ве линии называют ортогональ­ ными, если они пересекаются под прямым углом.

Пример 5.4. Найти угол, под которым синусоида пересекает ось Ох в начале координат.

103

Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л ФУНКЦИИ

Дифференцируемость функции. Пусть функция y = f(x) определе­ на в некоторой окрестности точки хо.

О п р е д е л е н и е 5.4. Функция у — f(x) называется дифференци­ руемой в точке хо, если ее приращение в этой точке f(xо + Ах) — f(хо) может быть представлено в виде

где А — некоторое действительное число; о (Ах) — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем Ах, при Ах->-0.

Таким образом, дифференцируемость функции в точке хо означа­ ет, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка,

ществовала конечная производная f ' ( x o ) = A.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в данной точке устанавливает

Теорема 5.2. Если функция у = f (х) дифференцируема в некото­ рой точке, то она и непрерывна в этой точке.

>Действительно, если функция у = f(x) дифференцируема в то

дифференцируемость в этой точке. Поясним связь между непрерыв­ ностью и дифференцируемостью на примерах.

Рассмотрим функцию у = \х\. Очевидно, что эта функция определена н непрерыв­ на иа R. Покажем, что функция f в точке дс0 = 0 не имеет производной. Действительно, при д с ^ О у = |дс I = JC, Ау = Аде. Вычислим производную функции справа в точке дсо = 0 :

Аналогично при дс<0 имеем у = \ х \ = — дс,Ау = — Аде. Следовательно, произ­

водная слева

Ау

/ ' ( 0 — 0 ) = lim -г — = — 1 .

'4 ' Дх—оАде

104

Так как /'(О — 0) ф /'(О + 0), то не существует /'(0). Функция /(дс) неднфференцируема в точке ха = О (рис. 5.4).

Теперь рассмотрим функцию ^(х) = л[х. Функция / определена н непрерывна иа R. Докажем, что в точке хо = О функция ие имеет конечной производной, т. е. недиффе­

ренцируемые в точке Хо функций, которые непрерывны в точке х 0 и не имеют изломов.

Если функция f дифференцируема в любой точке х 6 [а; Ь], то гово­ рят, что она дифференцируема на [а; Ь].

Дифференциал функции. При изучении необходимых и достаточ­ ных условий дифференцируемости функции f в точке х0 было пока-

зано, что если функция f дифференцируема в точке х0, то ее прира­ щение в этой точке (в силу равенства (5.2) и теоремы 5.1) предста­ вимо в виде

Af(xo) — f'{x0)Ax -4- о(Ах).

Отсюда если 1 ' ( х о ) ф О , то

105

Следовательно, при Дл:-»-0 приращение функции Af(x0) и выраже­ ние f'(x0)Ax являются эквивалентными бесконечно малыми функци­ ями, т. е. при Дл:-»-0 можно приближенно считать, что Af(xо)« ж f'(x0)Ax. Величину f'(xо)Ах, являющуюся главным (линейным) членом приращения функции f в точке х0, называют дифференциа­ лом функции и обозначают df(xо). Таким образом, по определению

df(x0) = f'(x0)Ax.

В частности, если у — х , то у' = 1, и, следовательно, dy = dx =

= Ах, т. е. дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой. Поэтому дифференциал функции f в точке х0 можно представить в виде df(x0) — f'(x0)dx.

Из определения дифференциала следует

Af(x0) — df(xo) + о (Ах),

т. е. дифференциал функции в точке х 0 отличается от соответствую­ щего приращения функции на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем Ах, при Дх-»-0.

На рис. 5.7 дана геометрическая интерпретация дифференциала функции у = f(x). Так как f'(x) = tg а, дифференциал функции изме­ ряется отрезком ТР, т. е. диффе­ ренциал dy функции у = f(x) в точ­ ке хо изображается приращением ординаты точки касательной, про­ веденной в М( х0; f(x0)) к линии у =

Дифференциал функции мож ­ но использовать для вычисления приближенных значений функции. Действительно, заменяя прира­

щение функции в точке х0 ее дифференциалом, получаем прибли­ женную формулу

f(xо - f Ах) « f(xо) - f f'(x0)dx.

106

Установим правило, позволяющее найти производную сложной функции у = f(u(x)), если известны производные составляющих ее функций г/= /(и) и и — и(х). Придадим фиксированному значению аргумента х приращение Ах. Этому приращению соответствует при­ ращение Аи функции и(х). Приращению Аи, в свою очередь, соответ­ ствует приращение Ау функции y = f ( u ) в точке х. Составим отношение

При А х-^0 приращения Аи, Af в силу дифференцируемости соответствующих функций стремятся к нулю. Так как по определению

lim 4 ^ - = и'(х), lim - £ £ - = Д(ц),

Функцию и иногда называют промежуточным аргументом, а х — основным аргументом. Таким образом, можно сформулировать сле­ дующее.

Правило дифференцирования сложной функции. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргу­ мента по основному аргументу.

Полученное правило легко распространяется на сложную функ­ цию, зависящую от нескольких аргументов, т. е. на композицию нескольких функций.

Действительно, предположим, что функции y — f(u), u = u(v), v = v(t), t = t(x) дифференцируемы. Рассмотрим сложную функцию F переменной х через посредство промежуточных функций /, и, v, i: F(x) — f(u(v(t(x)))). Придадим фиксированному значению х прираще­

Так как и, v, t дифференцируемы, а следовательно, и непре­ рывны, то в силу непрерывности при Ал: - > - 0 приращения Аи->-0 , Аи-»-0 и At-*-0. Переходя к пределам в равенстве (5.3), имеем

F'(x) — y'uU'vVtt'x-

Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы диффе­ ренциала. Пусть дана сложная функция y = f(u), и = и(х). Выше

107