Герасимович(математический анализ)

где £б]дсо;

х [с :]а;

Ь[.

Применяя формулу Л агран ж а к функции

f'(l) — f'(x о)

на [дс0;

5 ],

находим

Р и с .

6.14

где £| в ]лг0; £[сг]а;

Ь[. В последнем равенстве f"(%i) > 0 , а I — х 0 > 0,

если

х — х0 > 0 , или £ — х0 < 0 , если х — х0 <

0 . Следовательно,

y > Y ,

т. е. ординаты точек кривой больше ординат точек касатель­

ной при одной и той же абсциссе. Точки кривой у =

f(x) на ]а; Ь[ леж ат

выше точек касательной к кривой.

= >/(1 +*)■

Д аи и ая функция определена, непрерывна и дифференцируема

иа

Р е ш е н и е .

R, причем

ч

— 2х

г м =

6 х2 — 2

Г(*)= „

,

(1 + * 2)3

(1

+ х)

Д л я определения

интервалов

выпуклости и вогнутости графика функции найдем

решения неравенств f " ( x ) < . 0

и f"(x) >

0 :

ЗХ ~ * < 0 = > 3 * 2 — 1 < 0 = > * е ] — 1 / V ^

(1 + * 2)3

Зл:2 — 1 > о= > зх2— 1 > о = > * е ] —■»;

— i /V 3 [ U ] i/V 3 ;

°о[.

О + * 2)3

Кривая, изображ аю щ ая

график функции, иа

] — оо; — \ / - \ / з [ — вогиутаи,

на

] — 1/д/З; 1/-\/3[— выпуклая,

иа ]1/д/3;

оо[ — вогнутая. В точках х =

— 1 / - ^ 3 t х =

Теорема 6.7. Если для функции f(x) вто­

рая

производная

f"(x)

в некоторой точке х 0

обращается в нуль или не существует и при

переходе через нее меняет свой знак, то

точка М{х0\ f(x о)) является точкой перегиба

графика функции.

р> Пусть

f"(x0) = 0

или не

существует.

Если

И * ) <

О

в 0 6{хо - 0 )

и

f"(x) > О

в О6(*о + 0 ),

то

точка

кривой

с

абсциссой

х 0 отделяет интервал выпуклости

от

интер­

вала

вогнутости.

Если

/ " ( * ) > О

в

О(,(х0_

— 0 ) и f"(x) < 0 в О6 (х0 +

0 ), то эта точка от­

деляет интервал вогнутости от интервала

выпуклости кривой. В обоих случаях точка

(х0; f(xо)) является точкой перегиба графика

функции. <]

Пример 6 .8 . Найти точки перегиба графика функ­

ции f(x).= JC4 — 4л:3.

Р н с . 6.16

Р е ш е н и е . Д анная функция

определена, непре­

рывна и дифференцируема

на

R,

причем

f'(x)

=

4л:3 -

12л:2, f"(x) =

12л:2 — 24*;

f"(x) =

0 =>л2 — 2x = 0=>xi =

0 , x 2 = 2.

точке х 0 равен бесконечности, т. е. lim f ( x ) = ± 0 0

или lim f(x) =

х— —0

+0

Пример 6.9. Найти вертикальные асимптоты графика

функции

</ =

—я--—

■

х —

1

Р е ш е н и е . Д ан н ая

функция

при

* = ± 1

имеет

разрыв

второго

рода,

следо­

вательно, прямые х = — 1 , х =

1 являю тся

вертикальными

асимптотами

ее графика

(рис. 6.17). Вычисляя односторонние пределы в этих точках, имеем:

lim

f ( x ) —

lim

—

—р

=

+ о о ,

lim

— —— =

— oo,

X -+ -— i — о

X -*— i — о x

— 1—

i + o AT

lifn . -

r

j

= — ° ° .

lim

—j-J-

*“►1—0

X

—

1

„ . I

I n

x z —

x - H + 0

X *

П рямая

у = k x +

b

называется

наклонной

(если

k =

0 — гори­

зонтальной)

асимптотой

графика

функции

y = f(x)

при

дс-»-+оо

(дс->— оо), если функцию

f(x)

можно

представить в виде f(x) =

=

kx + b +

a(x), где

а(дс) - > - 0 при дс-»- +

оо

(дс->—

оо).

Теорема 6.8. Д л я

того чтобы график

функции у = f(x) имел на­

клонную асимптоту у =

kx +

b, необходимо и достаточно, чтобы су­

ществовали конечные пределы:

lim

-i^L =

k,

lim (f(x) — kx) = b.

(6 . 1 )

x-*~± oo

X

x-*-dh oo

>

Необходимость.

Предполагаем,

что

у =

k x - \ - b — наклонная

ление f(x) = kx + b + «(■*)>

гДе

а (х ) —

бесконечно малая при х - * - о о .

Следовательно,

l i m - M = Hm ( к + ± + Л Щ = к,

х-*-оо %

х-*~оо \

X

X /

lim (f(дс) — kx)

- lim (b +

а(дс)) = b.

x-*-oo

x-*-oo

Пример

6.10. Найти

асимптоты

линии

у — -------- г-

1 + х г

Р е ш е н и е .

Д ан н ая

функция

определена

и непрерывна на R. Вертикальных

асимптот

нет. Д л я нахождения

невертикальиых

асимптот вычисляем пределы (6.1):

lim

X

=

lim

—— 1 ,

■=

0 ,

lim

(f(x) — k x ) = lim

■

....s = 0 .

x-► dh oo

x-*■±

oo

X

)X

x-*~zb oo

x-*-± oo

I

-f- X

Р и с .

6.17

Пример 6.11. Найти

асимптоты

гиперболы х 2 — у 2 =

1.

Р е ш е н и е . Запишем

функцию

в явном виде: у =

±

~\Jx2— 1. Функция опреде­

лена и

непрерывна иа

множестве

] — оо;

— 1|U[1;

°°[- Находим пределы (6 .1 );

lim

№ =

lim ( ±

^

' ) =

± 1 ^ / г =

± 1 ,

дс—*оо

X

ДС—*■ ОО \

X

/

lim (f(x) — kx) —

lim (dz^Jx2 — 1 =F x) =

±

lim (л/х2 — 1 — дс) =

X—►oo

X—►oo

_ I _ «2

X—►oo

0=>b =

=

±

lim

- =

0 .

л]х2 — 1 + *

Асимптотами

гиперболы

являются прямые у =

± х

(рис.

6.18).

Пример 6.12. Найти

асимптоты кривой у = л[х.

Р е ш е н и е .

Д анная

функция определена и непрерывна на R+. Вертикальных

асимптот иет. Д л я

определения наклонных

асимптот находим пределы (6 . 1 );

* = Ш п Ж = И т

х —►оо

X

х —►оо

X

6 =

lim (f(x) — k x ) =

lim

- \Jx= oo.

X-»*OO

дс—►oo

Второй предел бесконечен, следова-

тельно, кривая у = - 6

асимптот не

имеет

(рис. 6.19).

Р и с . 6.19

Пример 6.13. Исследовать

функцию i/ =

X '*

построить

ее график.

--------- и

3 — лг

Р е ш е н и е . Д л я построения

графика

функции

проведем

ее

исследование

по

указанной выше схеме.

1. Находим D(f). Д анная

функция определена для х ф

± -\/3:

D(f) =

] ~ оо;

— л /з[и ] — V 3;

У з [ и ] У з ;

<*>[.

Функции непрерывна иа

D(f)\

* = ± 3 — точки

разрыва второго

рода, * = ± 3

—

Оиа нечетная, так как D(f) симметрична и f( — x) = — f(x), т. е.

- ----- ---------------- г .

3 — х

3 — х

статочно исследовать функцию для

х >

0 .

2. Д л я

нахождения

иевертикальиых асимптот

вычислим

пределы

(6.1):

fe= l i m

Ж

=

„п,

х—►оо

X х-*-оо (3 — X

)Х

Ь =

lim (f(x ) — kx) =

lim

( — - — г- +

лД =

lim

- Х

. х— . = 0,

х- *■оо

X * оо \

3 —

X

/

х—- оо

3 —

X

т. е. прямаи у =

— х явлиетси наклонной

асимптотой графика

функции.

3. Находим первую производную функции у = f(x):

3х2(3 — я2) + 2х*

х 2(9 — х 2)

*

=

-----^

~

(З-

,

2)2 •

Она определена иа D(f). В промежутке [0;

-)- оо [ производная

обращается

в нуль

в

точках xi =

0 , Х2 =

3.

у'

0 н у '

Определяем интервалы

монотонности

йз

неравенств

>

< 0

V* >

0.

Имеем

х2( 9 - х 2)

0=>9 — х 2 >

0=>л:2 <

9=>-0 <

х <

3,

------щ - >

(3 — х

)

т.е.функция возрастает иа ]0;

3[.

Аналогично

.y?\

х 2 <

"

(з _

^

<

0=>-9

0=>-л: > 3,

т. е. функция убывает на ]3;

оо [.

4. Вычислием

вторую производную функции y = f(x):

„ _

(18дс -

4*3) (3 -

х 2)2 -

(9х2 -

х4)2(3 -

х2) ( - 2 х )

6х(9 + х 2)

У

(3 -

x 2f

(3 — x 2f

’

6*(9 + х2)(х >

0,

(х > 0,

„/—

—7т------- м — >

0 = Ч о

I — -д/З < дс <

?=>-]I—I—=> 0<

(3— л:2)31 3 — дс2 > О

^/3

6дс(9 Ч- Д^2) . „

Г * > 0

Где

> О,

(3 — x 2f

\3 — дс2 < 0= 1 3 < * 2 ~

X

Хо

Xi

Хг

дся_ i

Xn

№

f i x) о

f i x l)

f i x 2)

f i x * - 1)

f i x . )

Точки Хо, х и

...,

хп (х0 = а,

хп = Ь) называют узлами

интерполи­

рования.

Функцию f(x) приближенно

заменяют многочленомРп(х) = а 0дсп +

+ a t.x"~l +

... +

ап,

значения

которого

совпадают со

значениями

f(x) в узлах

интерполирования:

P n (Xi) =

f( X i) , i =

О, п.

(6.2)

п

функции f(x) на [а; Ь]. Д ля определения коэффициентов многочлена

Р п(х)

используем

условия

(6.2):

ОоХо +

а ,4

1 — ... — ап = fix о),'

а о х " aix"

1

ап =

f(xi),

(6-3)

а0х" +

а\хп

1+

... +

a„ =

f( x n ) . ,

Получим

систему

п +

1

уравнений

с

п +

1

неизвестными.

Определитель системы

(6.3)

ло

„п — 1

..

1

Хо

v n

„ п — 1

..

1

Х\

ДС1

Ф о,

X я

vrt— 1

..

1

если

Хо,

х\,

х п

различны.

М ожно показать, что

он равен

П

(xi — ^ .

Действительно,

определитель

второго

порядка

I * 0

1 I

= х 0 — х й

I Xl

1 I

определитель третьего

порядка

ДСо Хо

1

ДСо

ДСо

1

=

Х21 Xl

1

=

x i — Хо

Х{ — Хо

0

дс§ х 2

1

х \ — Хо

ДС2 —

ДС0

. 0

=

(x2t — X o ) { X 2 — Xo) — ( X 2 —

X o ) ( X i —

Xo)

=

( * 1

и

т. д.

Система (6.3)

имеет

единственное

решение. Следовательно, су­

(6.3) связано с громоздкими вычислениями.

Будем искать интерполяционный

многочлен Р п{х) в

виде

Рп(х) = а0(х — х ,) (* — х 2) • • • (дс — х п) +

а , (* — х 0) {х — х 2) ■■■(х — хп) +

+ а2(х — хо) (дс — Jct) (х — х 3)---(х — х п) + ... +

ап{х — х0) — (х — дс„_ 1).

П олагая в

последнем равенстве

x = xi,

i — 0, п,

и учитывая

условия (6.2),

находим коэффициенты Рп(х):

■

(х — х0)(х — х2)--- (х — Хп) f (

ч |

,

(Xl — Хо)(х, — Х2) ••• (х, — Хп)

Т

■" '

(х — х0)(х — X,) ••• (х — X„-i)

Г/

ч

(х„ — х0)(х„ — X!) ••• (х„ — x„_i)

Тогда

f(X) *

Р„(*) = У

f(Xi)

. (6 .4)

v

L J

(Xi-Xo)---(Xi— X/-l)(Xi — X,■+,)••.(Xi — X„)

1= 0

Равенство (6.4)

называется интерполяционной формулой Л а г ­

Пример 6.14. Функция y = f(x) задана таблично:

X

1

2,5

3

4

/ м

2

1

2 , 2

3

на отрезке

[1; 4].

Р е ш е н и е .

Воспользуемся

формулой

(6.4):

р,(х) =

f (1)

( * - 2 . 5 ) ( х - 3 ) ( х - 4 )

{х

1) (х

3) (х

4)

Д ;

( 1 - 2 , 5 ) ( 1 - 3 ) ( 1 - 4 )

' ’ ( 2 , 5 - 1) ( 2 , 5 - 3 ) ( 2 , 5 - 4 ) +

+ 1W

(х

1) (х

2,5) (х

4)

(х

1)

(х

2,5)

(х

3)

р (

) _

(з _

1) ( 3 _

2,5) (3 — 4)

)

(4 -

1)

(4 -

2,5)

(4 -

3)

з(

)

— 2,2(х — 1) (х — 2,5)

(х — 4) +

у

( х - 1) (х -

2,5) (х - 3)=>-Рз(х) =

13

. . . I .

3

„

= ~ \ ь ^

+ 7 Т

х

- » 7 ТО* + 13-

Если известно, что на [а; Ь) функция f(x) п +

1 раз дифференци­

руема, то

Ы * ) \

< - $ $ $ ■ v * e [ a ; ь \

(6.5)

где й = ш а х |/("+ |)(д:)|;

Ц х ) = (х — х0)(.х — Х |)'"(* — •*«);

^ —

______ *€ [о; 1>|

=

0 , п,— узлы интерполирования.

Оценка остаточного члена интерполирования

(6.5)

требует опре­

деленной информации о поведении рассматриваемой

функции

на

[а;

Ь], которая, как правило, отсутствует.

степени) называются сплайн-функциями или просто

сплайнами (от

англ. spline — рей ка). Простейший пример сплайна

— ломаная.

просто реализуются на

ЭВМ.

Пример 6.15. Построить

линейный сплайн Si(x) н иайти S,(0,5) для функции

у = f(x), заданной таблично:

У — Hi

— — —

_

о / ч

X — X l ,

—Vi)-

—-------

—=>Si(x) = y = yt+

—------- —(«//+1

i/ j 4 1

У i

1 X i X t + i — Xi

Вводя понятие ш ага разбиения A =

xi+ i — Xi, имеем

S, (x) =

f(Xl) + ( x - X ,)

K

* + l)ft

•^(* ) .

Так

как

0,5 e [0,4; 0,61

( « = 0,4,

xi + 1

=

0,6),

T O

S,(0,5) = Д0,4) + (0,5 —

— °-4) l , 3 0~

l : 7 = 1.5 (рис. 6 .2 1 ).

6 .8 . П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Е

РЕ Ш Е Н И Е УРАВНЕНИЙ

Постановка задачи. Рассмотрим задачу нахождения действи­

тельных корней уравнения

fix) = 0,

(6.6)

где fix)

— алгебраическая или трансцендентная

функция.

Отделение действительных корней. Под отделением действитель­

ного корня

уравнения fix) = 0

понимают нахождение отрезка [а; b],

в котором

лежит только один

корень данного уравнения. Этот от­