Герасимович(математический анализ)

резке [а; Ь],этот отрезок разбивают на частичные отрезки, на каждом из которых функция f(x) — g(x) сохраняет знак. Например, для слу­ чая, изображенного на рис. 1 0 .6 , площадь заштрихованной фигуры находится по формуле

Поскольку

л /2

S 2 Hicos x d x I = sin x\I n/2 = I sin я — sin 2 | = | — 1J = 1,

я/2

TO S = 1 + 1 = 2 .

2 4 8

о

Следовательно,

\ s = \ y d x .

Сделаем замену переменной, воспользовавшись параметрическими уравнениями эллипса: у = b sin t, х = a cos t. Тогда d x = — a sin tdt. Если Х\ = 0, то 11 = я /2 , если Хг = а, то t г = 0. Следовательно,

250

2л

При этом криволинейный сектор будем считать правильной фигурой,

Тогда каждый частичный криволинейный сектор можно заменить круговым сектором с радиусом гк = /"(0 *) и центральным углом Дф* (см. рис. 10.13). Площадь такого кругового сектора вычисляется по формуле

За площадь S криволинейного сектора ОАВ примем площадь фигуры, состоящей из п частичных круговых секторов:

Г = г(<р)

А

251

пп

*=i *=i

Приближенное равенство (10.4) тем точнее, чем меньше отрезки [ф*_ь ф*], т. е. чем больше п. П равая часть равенства (10.4) является

интегральной суммой для непрерывной функции у / - 2 (ф) на отрезке

[а; Р1-

4. За точное значение площади S криволинейного сектора ОАВ

примем предел интегральной суммы (10.4) при к = тах{Дф*} -►0: [<*;М

Таким образом, площадь криволинейного сектора вычисляется

Пример 10.6. Вычислить площ адь фигуры, ограниченной кардиоидой r = a( 1 +

+cos ф) (рис. 10.14).

Ре ш е н и е . Кардиоида симметрична относительно полярной оси, следовательно, искомая площадь равиа удвоенной площади криволинейного сектора АВО . Д уга А В О описывается концом полярного радиуса г при изменении полярного угла от 0 д о 'я .

Поэтому, согласно формуле (10.5),

ЛЛ

оо

а 2^ 1 + 2 cos ф + * + c^o s 2Ф ^ _

о

ординат Ох и Оу. Следовательно, для решения задачи достаточно вычислить площадь четвертой части фигуры, расположенной, например, в первом квадранте, и получен­ ный результат увеличить в четыре раза.

Запишем уравнение лемнискаты Бернулли в полярной системе координат. Тогда

252

в

=ЗлГ2а cos ф и г = За sin ф.

Ре ш е н и е . Решив совместно данные уравнения, найдем точку А пересечения окружностей:

гГ2 З^П ф 0 5 ф’Ь ^ ,») = ^ Ф= агс^ ' =

Итак, A (a rc tg “\/2; а-у/б").

Построив эти окружности (рис. 10.16), заметим, что искомая площадь S фигуры равна сумме площадей криволинейных секторов ОСА и ОВА. Д уга ОСА описывается концом полярного радиуса окружности г — За sin ф при изменении полярного угла ф

от 0 до arctg-^§! дуга ОВА — концом полярного радиуса окружности г = 3~\j2a cos ф

при изменении ф от a r c t g - ^ до л /2 . Поэтому

Р и с . 10.16

253

Д лина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция у = /(х) определена и непрерывна на отрезке [а; Ь\ и кривая I — график этой функции (рис. 10.17). Требуется найти длину дуги плоской кривой I, заключенной между вертикальными прямыми х = а и х = Ь.

Определим вначале, что мы будем понимать под длиной дуги АВ

Тогда дуга А В разобьется на п частей. Соединив каждые две соседние

Длина ломаной является приближенным значением длины дуги А В (I « 1п). Очевидно, что если увеличивать число п точек разбиения отрезка [а; Ь] на частичные отрезки так, чтобы длина максимального из них стремилась к нулю, то длина вписанной ломаной стремится к длине дуги кривой АВ . Если существует конечный предел /„ при

К = max{AjCfe}-»-0 , то этот предел принимается за длину дуги I, а саму

[а; 6]

254

дугу называют спрямляемой:

п

Если конечный предел /„ не существует, то и длина дуги не сущест­ вует, а сама дуга называется неспрямляемой.

Покажем теперь, что если функция f ( x ) на отрезке [а; b} имеет

ствует и равен определенному интегралу от.этой функции на от­

Итак, если функция f(x) имеет на отрезке [а\ Ь] непрерывную производную, то дуга А В — спрямляемая и ее длина I вычисляется по формуле

255

Итак, длина всей окружности I = 2л R.

Найдем теперь длину дуги плоской кривой в случае, когда урав­

или

Если пространственная кривая задана параметрическими урав­ нениями x = x(t), y — y(t), z = z{t\ где x(t), y(t), z(t) —

непрерывные функции, имеющие непрерывные производные на от­ резке [h; /2], то длина дуги этой кривой определяется по формуле

( 10.10)

Д лина дуги кривой в полярной системе координат. Пусть кривая задана в полярной системе координат уравнением г = г(ф) V ф 6 [а; Р]- Предположим, что г(ф) и г'(ф) непрерывны на отрезке [а; Р]. Покажем, что эту кривую можно задать параметрически. Действительно, между декартовыми и полярными координатами существует следующая зависимость:

256

Эти уравнения можно рассматривать как параметрические урав­

где у = f(x) V х 6 [а; b]. Предположим, что в этой формуле нижний предел интегрирования остается постоянным, а верхний изменяется. Обозначим верхний предел буквой х, а переменную интегрирования буквой t. Длина дуги будет функцией верхнего предела:

l(x) = \ ^ j \ + ( f ' ( t t f d t .

а

Согласно теореме 9.4, функция 1(х) дифференцируема, а ее про­ изводная определяется формулой

/ '( * ) = л / 1 + (Г (* ))2-

Отсюда дифференциал дуги dl = l'(x)dx или

d/ = V l + ( y ') 2dx.

Так как у' — dy/d x, то