Герасимович(математический анализ)

акомплексные корни — по формулам

„_ — b ± i - \ l \ D \

Таким образом, любое квадратное уравнение разрешимо в С.

=4 — 20 = — 16. Дискриминант отрицательный, уравнение имеет комплексные корни. Находим корни уравнения:

Если коэффициенты квадратного уравнения az2 + bz + с = 0 — комплексные числа, то его корни определяются по формулам:

| | ^ | = 1 л / 2 (1 -0 1 = V ( V 2 ) 2 + ( - V 2 ) 2 = 2,

28

z8 = Se0i=>Zk = д/в е*” /4, к = 0ГТ.

Таким образом, данное уравнение имеет восемь корней: г 0 = л/ь> Zi = ^/в е-/4 ,

Решение данного уравнения при я > 2 является задачей неизмеримо более сложной. Вопрос о существовании корней этого уравнения решается с помощью следующей теоремы.

Теорема 1.1 (Гаусса*). Каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел хотя бы один корень.

Эту теорему принято называть основной теоремой алгебры. Опи­ раясь на нее, можно доказать; что левая часть уравнения (1.14) допускает представление в виде произведения:

считать корень уравнения столько раз, какова его кратность, то можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 1.2. Каждое алгебраическое уравнение степени п имеет в множестве комплексных чисел ровно п корней.

Указанная теорема является т е о р е м о й с у щ е с т в о в а н и я , т. е. отвечает на вопрос о существовании корней у произвольного алгебраического уравнения, но не дает метода их нахождения.

Решения уравнений второй степени и двучленных уравнений были показаны на примерах. Существуют формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени, однако они настолько гро­ моздки, что ими предпочитают не пользоваться. Д ля уравнений сте­ пени выше четвертой подобных формул в общем случае нет.

* Карл Фридрих Гаусс (1777— 1 855)— выдающийся немецкий ученый.

2. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

2.1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ

которое вполне определенное действительное число y = f(x), то гово­ рят, что на множестве D определена числовая функция f. Множество

жения множества D-^-E, то термины «функция», «отображение», «преобразование» в дальнейшем будут употребляться как синони­

Принята следующая терминология: х — независимая переменная или аргумент, у — зависимая переменная. Иногда, если речь идет о функции как отображении D -+E, f(x) называют образом элемента х, а х — прообразом элемента f(x). При этом множество Е называют

действительной переменной: f l e R , £ e R . Чтобы определить функ­ цию у = f(x), нужно задать множество D и закон (правило, соот­ ветствие) /, переводящий элементы х множества D в элементы у множества Е.

Наиболее широко применяемыми способами задания функции яв ­ ляются аналитический, табличный, графический и программный.

Аналитический способ задания функции состоит в том, что с по­ мощью формулы конкретно устанавливается алгоритм вычисления

Если дана функция y — f(x), то частное значение функции, т. е. значение функции при некотором значении аргумента х 0, записывают в виде f(xо) или у | х=*0.

Например, если f(x) = Зх2 + 5х + е*, то f(l) = 8 + е, f{2) = 22 + е2.

При аналитическом задании функции область определения D либо указывают, например у = х 2, D(f) = [1; 2], либо понимают под D множество значений аргумента х, при которых данная формула имеет смысл, т. е. те значения, которым соответствуют действитель-

30

ные значения зависимой переменной у. В этом случае говорят, что

D является естественной областью определения функции.

Например, для у = х2 естественной областью определения функции является множество D(f) = R.

Условимся в тех случаях, когда функция задана аналитически и область ее определения не указана, подразумевать под D(f) естест­ венную область определения.

Пример 2.1. Найти область определения D и множество значений Е функции

у= 1л / 4 — JC2.

Ре ш е н и е . Естественной областью определения функции является множество

D(f) = ( * | 4 - * 2 > 0 } = {*| \х\ < 2 } = ] —2; 2[,

а множеством значений E(f) = \ у \ у ^ 1/2} = [1/2; оо[.

Аналитически функция может быть задана не одной, а несколь­ кими формулами. Такие функции называют составными.

Приведем примеры составных функций.

1. Функция

область ее определения D(f) — ] — 5; 3[.

(график этой функции изображен на рис. 2 .2 ). 4. Функция Д и р и х л е **

' 1 , если х — рациональное число,

О, если х — иррациональное число.

31

ческом виде (более подробно об этом см. в § 2.6). Заметим, что ана­ литическое описание функции зависит от выбранной системы ко­ ординат. (Аналитическое задание функции в полярной системе ко­ ординат будет рассмотрено в § 2.6.)

Табличный способ задания функции осуществляется табличным перечислением п значений аргумента х\, Х2 ,..., х„ и соответствующих им значений функции у и у 2,..., уп■Известны таблицы значений лога­ рифмической функции, тригонометрических функций и др. Этот спо­ соб задания функции широко применяется на практике в тех случаях, когда значения функции имеют определенный физический смысл и находятся в результате эксперимента. К достоинствам табличного способа относят то, что для значений аргумента х\, Х2 ,..., хп из табли­ цы сразу можно получить значения функции у\, у 2,..., уп (т. е. не нуж­ ны дополнительные вычисления). Его недостатками являются: отсутствие наглядности (трудно судить о характере изменения функции); невозможность определения промежуточных значений функции по таблице; затруднения в непосредственном применении математического аппарата.

Если функция задана аналитически, то для нее всегда можно по­ строить таблицу (т. е. табулировать функцию). Если функция задана таблично, то в общем случае найти аналитическое выражение функ­ ции по ее табличным данным невозможно. Однако с помощью интер­ полирования функции можно найти формулу (и не одну) для таблич­ но заданной функции, которая будет давать точные табличные значения функции и ее приближенные значения, не входящие в таб­ лицу. Такие формулы называют интерполяционными. Д ля состав­ ления таблиц функций в настоящее время используют ЭВМ.

Графический способ задания функции состоит в представлении функции у = f(x) графиком в некоторой системе координат. Графи­ ком Г функции y = f(x) называют множество точек М(х; у) плоскости R2, координаты которых связаны данной функциональной зависи­ мостью, т. е. Г = {М(х\ у) £ R21у = /(*)}. Чащ е всего график функции есть некоторая линия. Если аргумент х принимает отдельные зна­ чения, например jc£N, то графиком функции является множество изолированных точек.

Не всякая линия плоскости R2 является графиком числовой функции у = f(x). Так, линия, изображенная на рис. 2.3, не является

32

В технике и медицине применяются различные приборы-самописцы, регистри­ рующие ход и изменения некоторых величин с течением времени. Они графически задаю т эти величины как функции времени. Например, в медицине электрокар­ диограф вычерчивает электрокардиограмму — кривую изменения электрических им­ пульсов сердечной мышцы. В метеорологии вычерчиваются кривые, изображающие зависимость между давлением и временем (барограммы) и т. д.

Графический способ задания функции нагляден, но не удобен для применения математического аппарата.

За последние годы в связи с бурным развитием и применением ЭВМ широко распространился, стал одним из основных программный способ задания функции, при котором функция задается с помощью указания программы на одном из машинных языков. Этот способ задания функции используют при решении различных задач на ЭВМ. Разработаны стандартные программы, т. е. набор команд, за ­ дающих функцию. Они могут быть составлены заранее и храниться в оперативном запоминающем устройстве или во внешнем запоми­ нающем устройстве вычислительной машины.

Отметим, что указанные способы задания функции (аналити­ ческий, табличный, графический и программный), являясь наиболее употребительными, не исчерпывают всех возможных способов. В частности, можно задать функцию, описав словами закон соот­ ветствия f, позволяющий по данному x £ D определить у £ Е . Такой способ задания функции называется описательным или словесным.

Например, функция Е(х) (читается: «антье от х»), обозначаемая также [х\, опреде­ ляется как наибольшее целое число, не превосходящее х. Эту же функцию можно задать аналитически и графически (рис. 2.4):

Е(х) = [х] = п V х 6 [п; п + 1[, п £ N.

у

4

3

2

7

-1

■2

-з „

Р и с . 2.4

Таким образом, задание функции каким-либо способом не исклю­ чает возможности ее задания и другими способами.

2.2. ОСН ОВНЫ Е ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОВЕДЕН ИЯ Ф УНКЦИЙ

Начальный этап исследования функции. Одной из основных задач математического анализа является анализ функций. Изучить или проанализировать функцию у = f(x) — значит охарактеризовать поведение этой функции на области определения D(f) и построить ее график.

Средствами элементарной математики для функции f(x) с об­ ластью определения D(f) в большинстве случаев можно определить следующие характеристики:

1)нули и знак функции на множестве x<=D(f);

2)четность или нечетность;

3)периодичность;

4)интервалы возрастания, убывания; ограниченность.

Нули функции и знак функции на множестве X = D(f). Значение

х 6 D(f), при котором функция f обращается в нуль, называется нулем функции, т. е. нули функции являются корнями уравнения f(x) = 0.

В интервале, на котором функция положительна, график ее рас­ положен над осью Ох, а в интервале, на котором она отрицатель­ на,— под осью Ох; в нуле функции график имеет общую точку с осью Ох.

Четность и нечетность функции. Числовая функция f называется

четной (нечетной), если выполняются следующие условия: 1) область ее определения симметрична относительно точки О, т. е. для каждой точки х £ D(f) существует точка — х £ D(f); 2) для любого х из обла­ сти определения выполняется равенство f( — x) = f(x)(f(— х) =

=- f i x ) ) .

Итак,

X "у- О

По определению ось Оу является осью симметрии графика любой четной функции, а начало координат — центром симметрии графика нечетной функции. Графики функций, не обладающих свойствами четности или нечетности, не симметричны. При изучении поведения

2)f(x) = f ( x - T ) = f(x + n

Таким образом,

34

Возрастающие и убывающие на множестве х функции называют­ ся монотонными на этом множестве. На рис. 2.6, а — г дана геомет­ рическая интерпретация определений монотонных функций.

несправедливо). Аналогично любая убывающая на множестве X функция является невозрастающей на этом множестве.

Иногда возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными, а неубывающие и невозрастающие — монотонными в широком смысле.

Ограниченные функции. Функция у = f (х) называется ограни­ ченной сверху (снизу) на множестве X = D(f), если существует такое число М £ R, что при любых х из множества x ^ D ( f ) выполняется условие f (х) ^ М (f(x) ^ М).

Функция у = f{x) называется ограниченной на множестве х = s D(J), если существует такое положительное число М, что для лю­ бых х из области определения функции (или множества X) выполня­

36

2.3. СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ

Сложная функция. Пусть на некотором множестве D определена числовая функция и = у{х) и Е(и) — множество значений функции

37