3.4. Характеристики парной регрессии

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент корреляции r_xy для линейной регрессии

и индекс корреляции _ху  для нелинейной регрессии.

.

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения:

.

Показатели дисперсии

;

где

  общая дисперсия результативного признака;

  сумма квадратов отклонений от линии регрессии, обусловленная регрессией, «объяснённая» или «факторная» дисперсия;

  остаточная сумма квадратов отклонений.

Доля дисперсии, объясняемая моделью регрессии, в общей дисперсии результативного признака y  характеризует коэффициент детерминации R²:

.

Коэффициент детерминации  это квадрат коэффициента или индекса корреляции.

F-тест  оценивание качества уравнения регрессии  состоит в проверке гипотезы Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и критического F_табл значений F-критерия Фишера. F_факт определяется из отношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

,

где

n  объём выборочной совокупности,

m  число параметров при переменной х.

F_табл  это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости . Уровень значимости  это вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно  принимается равным 0,05 или 0,01.

Если F_табл < F_факт , то Н₀  гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность. Если F_табл > F_факт , то Н₀ не отклоняется и признаётся статистическая незначимость, ненадёжность модели регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н₀ о случайной природе показателей, то есть незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится сопоставлением их значений с величиной случайной ошибки:

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

;

,

.

Сравнивая фактическое и критическое(табличное) значения t-статистики  t_табл и t_факт  принимаем или отвергаем гипотезу Н₀.

Если t_табл < t_факт, то Н₀ отклоняется, т.е. a, b, r_xy не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если t_табл > t_факт , то Н₀ не отклоняется и признаётся случайная природа формирования a, b, r.

Для расчёта доверительных интервалов определяются предельные ошибки каждого показателя:

_a = t_таблm_a, _b = t_таблm_b.

Доверительные интервалы

a  t_таблm_a < a < a + t_таблm_a, b  t_таблm_b < b < b + t_таблm_b.

3.5. Множественная регрессия

Множественная регрессия  уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

y = f(x₁, x₂,..., x_p).

Для построения модели множественной регрессии используются следующие функции:

-                  линейная  y = a + b₁x₁ + b₂x₂ + ... + b_px_p + ;

-                  степенная  y = ax₁^b1x₂^b2 ...x_p^bp;

-                  экспоненциальная  y = exp(a + b₁x₁ + b₂x₂ + ... + b_px_p + );

-                  гипербола  .

Последние три функции легко линеаризуются модификацией переменных.

Для оценки параметров линейной регрессии также используется метод наименьших квадратов.

Расчётные формулы для этих параметров

,

где   определитель системы нормальных уравнений

a, b1, b2,..., bp  частные определители, которые получаются заменой соответствующего столбца определителя системы на столбец правых частей

Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формуле

.

Для линейной модели регрессии тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает коэффициент множественной корреляции

,

r  определитель матрицы парных коэффициентов корреляции, r11  определитель матрицы межфакторной корреляции

Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат коэффициента множественной корреляции

R² = R²_yx1x2...xp

Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера:

.