4.7. Стационарные временные ряды

4.7.1. Основные понятия

После того, как решена задача сглаживания временного ряда, необходимо проанализировать остаточную нерегулярную случайную компоненту (t), так как это необходимо для формирования более точных прогнозов.

Однако нельзя сказать, что компонента (t) абсолютно непредсказуема. Визуальный анализ показывает, что значения (t) колеблются вокруг 0, то есть не изменяется математическое ожидание (t). Мера разброса, дисперсия значений (t) тоже постоянна. Такие временные ряды, статистические свойства которых не изменяются по времени, называются стационарными.

Среднее значение

М(t) = a;

дисперсия

D(t) = M((t) – a)² = ².

Оценки

.

4.7.2. Корреляционная функция

Так как значения временного ряда в моменты времени t, t +  являются случайными величинами, можно рассмотреть коэффициент корреляции между ними…

Корреляционной функцией стационарного временного ряда называется функция

,

для стационарного временного ряда

D(t) = D(t + ) = ²,

поэтому

,

таким образом, корреляционная функция в точке  – это коэффициент корреляции между значениями ряда, отстоящими друг от друга на временной промежуток .

Оценка корреляционной функции

.

при сильной положительной зависимости (t), (t+) в числителе будет много положительных слагаемых, и корреляционная функция будет иметь большое положительное значение; при сильной отрицательной зависимости (при(t) >  с большой вероятностью (t) < ) в числителе будет много отрицательных слагаемых, и корреляционная функция будет иметь малое отрицательное значение; при слабой зависимости (t), (t+) примерно одинаковое количество слагаемых будут иметь положительные и отрицательные знаки, в это случае корреляционная функция будет мала по абсолютной величине.

1.  , что очевидно должно быть так как измеряется коэффициент корреляции между одинаковыми случайными величинами.

2.  Чем больше , т.е. сильнее разнесены во времени значения временного ряда (t), (t+), тем слабее взаимосвязь между этими значениями, тем должна быть меньше по абсолютной величине K(). Поэтому K()  0 при   .

3.  |K()|1.

4.7.3. Использование автокорреляции для выявления структуры временного ряда

Уровень временного ряда  Х_l складывается из следующих основных компонентов:

           трендовой компоненты, характеризующей основную тенденцию уровней ряда (Т);

           циклической, или периодической, компоненты, характеризующей циклические или периодические колебания изучаемого явления. Различают конъюнктурную компоненту (К), связанную с большими экономическими циклами, и сезонную компоненту (S), связанную с внутригодовыми колебаниями уровней ряда;

           случайной компоненты, которая является результатом воздействия множества случайных факторов (Е).

Тогда уровень ряда можно представить как функцию от этих компонент: Х=f(Т, К, S, Е).

В зависимости от вида связи между этими компонентами может быть построена либо аддитивная модель: Х=Т + К + S + Е, либо мультипликативная модель: Х= Т К S Е ряда динамики.

Для выявления структуры ряда (т.е. состава компонент) строят автокорреляционную функцию. Дело в том, что при наличии во временном ряде трендовой и циклической компонент значения последующего уровня ряда зависят от предыдущих.

Автокорреляция уровней ряда – корреляционная между последовательными уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L – лаг). То есть связь между рядом: Х₁, Х₂, …Х_n-L и рядом Х_1+L, Х_2+L, …Х_n, где L – положительное целое число. Автокорреляция может быть измерена коэффициентом автокорреляции:

где 

 - средний уровень ряда (Х_1+L, Х_2+L, …X_n).

 - средний уровень ряда (Х₁, Х₂, …X_n-L).

_t  _t-L – средние квадратические отклонения, для рядов (Х_1+L, Х_2+L, …Х_n) и (Х₁, Х₂, …Х_n-L) соответственно.

Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L = 1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-го порядка r_t,t-1, если L = 2, то коэффициент автокорреляции 2-го порядка r_t,t-2 и т.д. Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на 1. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициент автокорреляции, равный n/4.

Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг (1), при котором автокорреляция (r_t,t-1) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда. Если наиболее высоким оказывается значение r_t,t-1, то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался r_t,t-L, то ряд содержит (помимо тенденции) колебания периодом L. Если ни один из r_t,t-1 (l=1; L) не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:

           либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;

           либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой.

Рассмотрим пример: Пусть имеются данные предприятия об объемах выпуска некоторого товара по кварталам за 3 года в тыс. шт. (табл. 3.1)

Таблица 3.1

Год	1					2					3
Квартал	1	2	3	4	1		2	3	4	1		2	3	4
Объем выпуска Хl	410	400	715	600	585		560	975	800	765		720	1235	1100

Определим структуру данного временного ряда. Для этого рассчитаем коэффициенты автокорреляции 1, 2, 3, 4, 5 порядков.

Чтобы найти коэффициент корреляции 1-го порядка, нужно найти корреляцию между рядами (расчет производится не по 12, а по 11 парам наблюдений):

Х_t    400  715  600  585  560  975  800  765  720  1235  1100

Х_t-1  410  400  715  600  585  560  975  800  765  720    1235

Тогда коэффициент автокорреляции 1-го порядка будет равен

r_t,t-1 =  0,538.

Коэффициент корреляции 2-го порядка между рядами:

Х_t    715  600  585  560  975  800  765  720  1235  1100

Х_t-2  410  400  715  600  585  560  975  800   765    720

будет равен r_t,t-2 = 0,286 (расчет в данном случае производится не по 12, а по 10 парам наблюдений).

Аналогично рассчитываются коэффициенты автокорреляции 3-го, 4-го и 5-го порядков. Результаты расчета представим в виде таблицы коррелограммы (табл. 3.2).

Таблица 3.2

Лаг (порядок)	r..	Коррелограмма
1	0,538	****
2	0,286	*
3	0,432	***
4	0,992	*****
5	0,373	**

Вывод: в данном ряду динамики имеется тенденция и периодические колебания с периодом, равным 4.