Нелинейные модели регрессии и их линеаризация

Краткое изложение используемых методов решения и основных теоретических положений

Зависимость многих экономических показателей не линейна. Метод наименьших квадратов не предназначен для оценки параметров нелинейных регрессий, кроме полиномиальной. Однако целый класс нелинейных зависимостей можно привести к зависимостям линейным преобразованием независимой и/или зависимой переменной. Такое преобразование называется линеаризацией. Цель задач состоит в освоении способов линеаризации некоторых нелинейных зависимостей.

Постановка задачи

Задана нелинейная спецификация модели

y = f(x,a,b,),

где y - зависимая, объясняемая переменная; x - независимая, объясняющая переменная; a, b - параметры модели, для которых должны быть получены оценки;  - аддитивный или мультипликативный случайный фактор.

Требуется:

1. Преобразовать исходные данные х  х*, у   у* так, чтобы модифицированная регрессия(спецификация) была линейной:

y* = a*x* + b*.

2. Методом наименьших квадратов получить оценки параметров a*,  b*.

3. По оценкам a*,  b* вычислить искомые оценки параметров a, b исходной регрессии.

Способы преобразования данных и вычисления параметров a, b по оценкам a*,  b* приведены в следующей таблице.

Исходная спецификация	Преобразование  х  х*	Преобразование  у  у*	Вычисление  b по b*	Вычисление  a по a*

Решение типовых задач

Задана нелинейная спецификация модели

y=bx^ae^,

где y - зависимая, объясняемая переменная; x - независимая, объясняющая переменная; a, b - параметры модели, для которых должны быть получены оценки;  - аддитивный или мультипликативный случайный фактор.

Требуется:

1.             Преобразовать исходные данные х  х*, у   у* так, чтобы модифицированная регрессия(спецификация) была линейной:

y* = a*x* + b*.

2.             Методом наименьших квадратов получить оценки параметров a*  b*.

3.             По оценкам a*,  b* вычислить искомые оценки параметров a, b исходной регрессии.

Решение.

Последовательность решения задачи состоит в следующем.

1.         Вводим исходные данные в ячейках А4:В23.

2.         Необходимо построить точечную диаграмму. После появления диаграммы, содержащей облако рассеяния, следует её отредактировать: установить приемлемый размер маркеров данных; установить белый фон области построения диаграммы, пригодный для печати; установить приемлемый размер шрифта осей и их надписей.

3.      В ячейках А28:В48 вводим модифицированные данные. Способ преобразования данных для модели определяем из таблицы.

Исходная спецификация	Преобразование  х  х*	Преобразование  у  у*	Вычисление  b по b*	Вычисление  a по a*

4.         Построить диаграмму, содержащую облако рассеяния преобразованных данных. Добавить линию тренда.

5.         Сформировать массив остатков, их знаков, построить диаграмму, содержащую эти данные, вычислить статистику Дарбина-Уотсона. Для выяснения, являются ли остатки e_i независимыми вычисляется статистика Дарбина-Уотсона

.

Так как DW2, тогда зависимость у* от х* линейная.

6.         Находим оценки модифицированной линейной регрессии a*, b*.

a*=-0,9913, b*=0,4068.

7.         Вычисляем оценки параметров a, b исходной регрессии. Так как a=a*, b=e^b*, тогда a=-0,9913, b=1,50195.

8.         Формируем массив данных по исходной регрессии с вычисленными параметрами a, b. Для данного примера оцененная регрессия вычисляется по формуле y=1,50195x^-0,9913. Добавляем в диаграмму сформированный массив.

9.         Сформируем ряд остатков от исходной регрессии и их знаков, вычислим статистику Дарбина-Уотсона. Построить диаграмму остатков и их знаков.

Так как DW2, тогда зависимость у от х линейная.