4.5. Фильтрация и сглаживание временного ряда

Фильтрация –  это удаление чего-то, что является ненужным или разделение на компоненты, отличающиеся с точки зрения выбранного порядка.

Сглаживание -  это процедура исключения или уменьшения размаха колебаний значений временного ряда.

4.5.1. Медианная фильтрация (сглаживание)

Медианная фильтрация получила развитие в последние 20 лет.

Говорят, что Ymed – является  медианой подпоследовательности из 2m+1 значений (y_k-1, …, y_k, y_k+1), если выполняется :

Ymed =Z(k),                                                        

где

Z(i)  (y_k-m,… y_k+m), i=1… 2m+1,                                  

                             Z(1)   Z(2)   …   Z(2m+1).                              

То есть последовательность Z(i) представляет собой упорядоченную по возрастанию последовательность значений искомой подпоследовательности длины 2m+1

Пример: пусть m=1,2m+1 = 3

у1	у2	у3
0.1	-3	4

  

Z1	Z2	Z3
-3	01	4

Тогда Ymed = 0.1

В зависимости от значения 2_m+1, m=1 – медиана по тройкам, m=2 – медиана по пятеркам и т.д.

В рассмотрение вовлекаются отрезок исходного временного ряда, содержащий 2m+1 подряд идущих значений. Количество этих значений называется апертурой фильтра.

Процедура фильтрации осуществляется для всех значений временного ряда, кроме первого и последнего.

Достоинства медианой фильтрации заключаются в следующем.

Эта фильтрация позволяет исключить выбросы, то есть значения временного ряда, которые «сильно» отличаются от остальных. При этом эти выбросы заменяются соседними значениями той же последовательности. При апертуре 2m+1 можно исключить m – подряд идущих выбросов.

Медианная фильтрация не искажает монотонно возрастающих или монотонно убывающих отрезков временного ряда.

Проверка гипотезы о наличии тренда во временном ряде

Даны значения временного ряда x(1), x(2),..., x(n). Необходимо определить, имеет ли этот ряд неслучайную компоненту, зависящую от времени - тренд.

Пусть x_med - выборочная медиана этого временного ряда. Образуем ряд z(1), z(2),..., z(n) следующим образом:

z(i) = знак(x(i) - x_med).

Серия - это группа подряд идущих +1 или -1.

Обозначим (n) - количество серий; (n) - длина самой протяжённой серии.

Критерий, основанный на выборочной медиане состоит в следующем:

если выполняются оба неравенства

,

,

тогда с вероятностью, заключённой между 0,9025 и 0,95 делается вывод о неизменности среднего значения ряда и об отсутствии тренда. Если хотя бы одно из неравенств не выполняется, тогда с такой же вероятностью следует сделать вывод о наличии тренда.

4.6. Методы сглаживания временного ряда

4.6.1. Общие понятия

После того, как установлено, что временной ряд имеет тренд, необходимо выделить этот тренд. Процедура  выделения тренда временного ряда называется сглаживанием. Выделение тренда из временного ряда эквивалентно удалению нерегулярной, случайной компоненты временного ряда, после чего этот ряд приобретает «гладкий» вид. По этой причине выделение тренда называется сглаживанием.

Методы выделения тренда (сглаживания) можно условно разделить на два типа:

1)         аналитические,

2)         алгоритмические.

Аналитические методы основаны на допущении, что известен общий вид, спецификация неслучайной составляющей. Например, тренд ряда может иметь линейную спецификацию

f(t) = ₀ + ₁t.

Тогда задача выделения тренда сводится к построению оценок  для параметров ₀, ₁. Эти методы называются аналитическими, потому что позволяют получить аналитическое выражение тренда.

Алгоритмические методы не используют предположение о виде тренда, поэтому имеют более широкую область применения. Алгоритмические методы заключаются в выработке алгоритма, способа расчёта значения величины тренда для любого заданного момента времени.