5.3. Идентифицируемость систем одновременных уравнений

Общий вид системы одновременных уравнений

y_1t = ₁₂y_2t + ₁₃y_3t + ... + _1ny_nt + ₁₁x_1t + ... + _1mx_mt + _1t;

y_2t = ₂₁y_1t + ₂₃y_3t + ... + _2ny_nt + ₂₁x_1t + ... + _2mx_mt + _2t;

..............................................................................                                    (195)

y_nt = _n1y_1t + _n2y_2t + ... + _nn-1y_n-1t + _n1x_1t + ... + _nmx_mt + _nt.

Переменные y_it  определяются внутри системы и являются эндогенными;

x_i  внешние по отношению к системе, то есть экзогенные, переменные и лагированные значения эндогенных переменных, которые являются предопределёнными. Индекс t определяет момент наблюдения, t = 1, ..., n, а _1t, _2t, ...,_nt  случайные ошибки. Система (195)  структурная форма модели.

После решения системы (195) относительно эндогенных переменных получаем приведённую форму модели

y_1t = ₁₁x₁ + ₁₂x₂ + ... + _1mx_m;

y_1t = ₂₁x₁ + ₂₂x₂ + ... + _2mx_m;

...................................................

y_nt = _n1x₁ + _n2x₂ + ... + _nmx_m.                                                                  (196)

Обозначим P  количество эндогенных, Q   количество экзогенных и лаговых переменных, отсутствующих в уравнении. Тогда степень идентифицируемости уравнения определяется из следующих неравенств:

P = Q + 1  уравнение идентифицируемо;

P > Q + 1  уравнение неидентифицируемо;

P < Q + 1  уравнение сверхидентифицируемо.

Эти условия являются лишь необходиыми, так как даже при их выполнении некторые уравнения могут оказаться линейно зависимыми.

Достаточным условием идентификации является следующее.

Определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы минус единица.

Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицируемых  двухшаговый метод наименьших квадратов.

Косвенный МНК состоит из следующих этапов.

1)             Структурную форму модели преобразуют к приведённой. Уравнения приведённой формы независимы друг от друга, поэтому для идентификации приведённых коэффициентов может быть применён обычный МНК.

2)             Алгебраически выражают структурные коэффициенты через оценки приведённых. Полученные значения будут оценками структурных коэффициентов.

Двухшаговый МНК состоит из следующих этапов.

1)     Вычисляют оценки параметров приведённой формы системы.

2)     Определяют эндогенные переменные, находящиеся в правой части сверхидентифицируемого уравнения и находят расчётные значения этой переменной по соответствующим уравнениям приведённой формы.

3)     Обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределённых переменных и расчётные значения эндогенных переменных, находящиеся в правой части сверхидентифицируемого уравнения.

5.4. Резюме по теме.

В эконометрике рассматриваются системы одновременных уравнений – когда сразу несколько экономических показателей в этих системах определяются одновременно. Выделяют структурную и приведенную (когда все эндогенные переменные явно выражены через экзогенные переменные и случайные остаточные компоненты) форму системы одновременных уравнений. Вводятся понятия идентифицируемости и неидентифицируемости. Для оценивания структурных коэффициентов применяется косвенный метод наименьших квадратов (МНК) и двухшаговый МНК.