4.9.2. Использование сезонных фиктивных компонент при моделировании сезонных колебаний

При этом подходе строится модель регрессии, включающая наряду с фактором времени фиктивные переменные. Количество фиктивных переменных в модели должно быть меньше на единицу числа сезонов внутри года, т.е. равно L-1 в наших обозначениях. Например, при моделировании поквартальных данных модель должна содержать три фиктивные компоненты наряду с фактором времени.

Каждому сезону соответствует определенное сочетание значений фиктивных переменных. Тот из сезонов, для которого значения всех фиктивных переменных равны нулю, принимается за эталон сравнения. Для остальных сезонов одна из фиктивных переменных должна принимать значение, равное единице. Например, если имеются поквартальные данные, то значения фиктивных переменных (Z₂, Z₃, Z₄) для каждого квартала будут следующими:

Квартал	Z2	Z3	Z4
1	0	0	0
2	1	0	0
3	0	1	0
4	0	0	1

Общий вид модели  будет следующим:

.

Уравнение тренда для каждого квартала будут иметь вид:

Для первого квартала: .

Для второго квартала: .

Для третьего квартала: .

Для четвертого квартала: .

Данные уравнения отличаются только величиной свободного члена уравнения регрессии. Параметр b в этой модели характеризует среднее абсолютное изменение уровней ряда под воздействием тенденции. Данная модель является аналогом аддитивной модели временного ряда.

Усреднив значения свободных членов в частных уравнениях регрессии, найдем их среднюю оценку - . Разность между средней оценкой и значением постоянного члена в уравнении регрессии для некоторого сезона дает оценку сезонного отклонения. Например, в случае поквартальных данных оценка сезонного отклонения может быть рассчитана следующим образом.

Для 1-го квартала: .

Для 2-го квартала:  .

Для 3-го квартала: .

Для 4-го квартала:  ,

где .

Заметим, что сумма сезонных отклонений в аддитивной модели должна равняться нулю.

4.10. Специфика изучения взаимосвязей по временным рядам. Исключение сезонных колебаний. Исключение тенденции.

Предположим, изучается зависимость между рядами Х_t и Y_t.

При моделировании взаимосвязи двух или более временных рядов могут возникнуть следующие проблемы.

1.          Искажение показателей тесноты и силы связи:

            если ряды содержат циклические или сезонные колебания одинаковой периодичности, то это приведет к завышению истинных показателей тесноты связи изучаемых временных рядов;

            если только один из рядов содержит циклические или сезонные колебания или периодичность колебаний различна, то это приведет к занижению истинных показателей тесноты связи изучаемых временных рядов.

2.          Проблема «ложной корреляции»:

 если ряды имеют тренды одинаковой направленности, то между уровнями этих рядов всегда будет наблюдаться положительная корреляция, независимо от того, существует причинная связь между этими рядами или нет;

             если ряды имеют тренды разной направленности, то корреляция рядов окажется отрицательной.

Для того, чтобы избавиться от данных проблем, необходимо устранить в уровнях ряда трендовую и сезонную (циклическую) компоненты.

Устранить сезонную компоненту в случае аддитивной модели можно, оценив абсолютные разности где L – число сезонов) и вычтя их из исходных уровней ряда. В случае мультипликативной модели необходимо оценить индексы сезонности – Is_i (i=1;L, где L – число сезонов) и разделить исходные уровни ряда на них. Как рассчитать сезонные компоненты, см. в п. 4.9. 

Чтобы избавиться от «ложной корреляции», необходимо исключить тенденцию из уровней ряда. Предположим, что по двум временным рядам Х_i и Y_i строится уравнение парной регрессии: . Обнаружить «ложную корреляцию» можно, проанализировав остатки в данном уравнении регрессии. Если имеет место автокорреляция остатков, то, следовательно, имеет место и «ложная корреляция», и наоборот.

Для устранения тенденции обычно применяют следующие методы.