Решение типовых задач.
Даны значения временного ряда x(1), x(2),..., x(n). Необходимо определить, имеет ли этот ряд неслучайную компоненту, зависящую от времени – тренд. Необходимо использовать критерий, основанный на выборочной медиане. Если установлено, что временной ряд имеет тренд, необходимо выделить этот тренд, то есть сгладить временной ряд.
|
Решение. 1. Строим диаграмму данного временного ряда.
2. Находим выборочную медиану. Пусть xmed - выборочная медиана этого временного ряда. Выборочную медиану находим с помощью функции МЕДИАНА. Для этого в любую пустую ячейку вставляем функцию МЕДИАНА (пункт меню ВСТАВКА – ФУНКЦИЯ – СТАТИСТИЧЕСКИЕ – МЕДИАНА).
В поле число 1 вводится массив временного ряда. Нажимаем OK. В нашем случае медиана равна 45,023. 3. Образуем
ряд z(1), z(2),..., z(n) следующим образом:
z(i)
= знак(x(i) - xmed).
4. Сформируем
серии. Серия - это группа подряд идущих
+1 или -1.
Применим критерий, основанный на выборочной медиане. Для этого найдем (n) - количество серий; (n) - длина самой протяжённой серии. (n)=10, (n)=45. Рассчитаем теоретические значения
так как оба неравенства не выполняются тогда с вероятностью, заключённой между 0,9025 и 0,95 делается вывод о наличии тренда. 5. После того, как установлено, что временной ряд имеет тренд, необходимо выделить этот тренд. Процедура выделения тренда временного ряда называется сглаживанием. Проведем аналитическое сглаживание. Для этого на диаграмму временного ряда добавим линию тренда. Выбираем пункт меню ДИАГРАММА - Добавить линию тренда – Полиномиальная
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
,
,
В закладке ПАРАМЕТРЫ выбираем показать уравнение на диаграмме и поместить величину достоверности аппроксимации.
В результате получается
6. Метод скользящего среднего.
Алгоритм скользящего среднего заключается в следующем:
где wk –
некоторые весовые коэффициенты, в сумме
равные 1, т.е. 
.
Веса определяются из следующей таблицы
|
m |
веса |
|
1 |
1/3, 1/3, 1/3 (средняя арифметическая) |
|
2 |
-3/35, 12/35, 17/35, 12/35, –3/35 |
|
3 |
–2/21, 3/21, 6/21, 7/21, 6/21, 3/21, –2/21 |
Применим метод скользящего среднего
При m=1 
=
и
т.д.
При m=2 
=
и
т.д.
При m=3 
=
и
т.д.
7. Метод экспоненциально взвешенного скользящего среднего (метод Брауна)
Методы скользящего среднего основываются на том, что все значения временного ряда имеют одинаковую информационную ценность. Однако в задачах прогноза, в которых сглаженная функция (t) используется обычно для формирования прогнозов на несколько тактов вперёд, недавние значения x(t) очевидно ценнее, чем значения ряда в далёком прошлом, так как ряд далее будет вести себя так, какова сформировавшаяся тенденция в настоящем и недалёком прошлом.
Применяя эти формулы, получим сглаживание временного ряда по методу Брауна. возьмем равное 0,9
.
Формирование одношагового прогноза временного ряда
Краткое изложение используемых методов решения и основных теоретических положений
Достаточно большой класс стационарных временных рядов, имеющих смысл нерегулярной компоненты экономического временного ряда, могут быть представлены следующим образом
(t) = (t – 1) + (t), (3)
где || < 1.
Из представления (3) следует, что (t) формируется только на основе предыдущего значения (t–1) и не зависит от всех прошлых. При этом на значение (t) влияние текущее значение возмущения (t).
Процессы авторегрессии 1-го порядка также называются марковскими.
Для марковских процессов доказано, что
1) M(t) = 0,
2) K() = ,
Таким образом, большое положительное (близкое к 1) значение означает сильную коррелированность значений временного ряда, отстоящих на небольшое значение , и медленное затухание этой зависимости с ростом . Временной ряд при таких имеет более плавный характер. При малом значении степень зависимости значений временного ряда быстро уменьшается. При этом ряд имеет более изрезанный «дёрганный характер».
K(1) = ,
то есть величина – это коэффициент корреляции соседних значений временного ряда.
3) 
Из последнего соотношения следует, что, если значение || близко к 1, тогда дисперсия (t) будет значительно больше дисперсии возмущения (t). То есть, если соседние значения ряда (t) сильно коррелированны, то ряд довольно слабых возмущений (t) будет порождать размашистые колебания остатков (t).
Из соотношения
K(1) = ,
следует способ идентификации модели авторегрессии 1-го порядка.
Оценка величины формируется как оценка корреляционной функции в точке 1:
.