4.6.3. Метод скользящего среднего

В основном методы алгоритмического сглаживания – это различные модификации скользящего среднего.

В основе этих методов лежит следующее соображение: если индивидуальный разброс значений временного ряда x(t) вокруг тренда f(t) характеризуется дисперсией ², то разброс среднего из N членов временного ряда (x(1) +x(2) +…+ x(N))/N около того же значения будет характеризоваться дисперсией ²/N.

Алгоритм скользящего среднего заключается в следующем:

где w_k – некоторые весовые коэффициенты, в сумме равные 1, т.е.

Поскольку, изменяя t от m+1 до n-m диапазон суммирования скользит по временному ряду (при переходе от t к t+1 в составе слагаемых происходит замена только одного слагаемого x(t – m) слагаемым x(t + m + 1)), то и методы, основанные на формуле (1) называются методами скользящего среднего (МСС).

Один МСС отличается от другого выбором параметров m и весов w_k.

Определение весов w_k основано на следующей процедуре.

Для 2m+1 элементов временного ряда x(1), x(2),…, x(2m+1) строится полином степени p методом наименьших квадратов

значение этого полинома используют для расчёта значений оценки тренда (t) в средней точке этого отрезка ряда m + 1, т.е.

.

Эта же процедура выполняется для отрезка временного ряда x(2),…, x(2m+2).

Оказалось, что такая процедура приводит к процедуре взвешенного скользящего суммирования, по которой веса определяются из следующей таблицы:

m	веса
1	1/3, 1/3, 1/3 (средняя арифметическая)
2	-3/35, 12/35, 17/35, 12/35, –3/35
3	–2/21, 3/21, 6/21, 7/21, 6/21, 3/21, –2/21

4.6.4. Метод экспоненциально взвешенного скользящего среднего (метод Брауна)

Методы скользящего среднего основываются на том, что все значения временного ряда имеют одинаковую информационную ценность. Однако в задачах прогноза, в которых сглаженная функция  используется обычно для формирования прогнозов на несколько тактов вперёд, недавние значения x(t) очевидно ценнее, чем значения ряда в далёком прошлом, так как ряд далее будет вести себя так, какова сформировавшаяся тенденция в настоящем и недалёком прошлом.

Эта идея реализована в методе экспоненциально взвешенного скользящего среднего Брауна

Экспоненциальное сглаживание – это очень популярный метод прогнозирования многих временных рядов. Исторически метод был независимо открыт Брауном и Холтом. Браун служил на флоте США во время второй мировой войны, где занимался обнаружением подводных лодок и системами наведения. Позже он применил открытый им метод для прогнозирования спроса на запасные части. Свои идеи он описал в книге, вышедшей в свет в 1959 году. Исследования Холта были поддержаны Департаментом военно-морского флота США. Независимо друг от друга, Браун и Холт открыли экспоненциальное сглаживание для процессов с постоянным трендом и для рядов с сезонной составляющей.

При использовании метода Брауна значения временного ряда тоже сглаживаются, однако существуют следующие отличия методе экспоненциально взвешенного скользящего среднего Брауна от обычного МСС

1)         скользит только правый край интервала усреднения (левый край закреплён в точке t = 1),

2)         веса при x(t – k) экспоненциально уменьшаются по мере «удаления в прошлое»,

3)         формула (2) даёт оценку сглаженного значения временного ряда не в средней, а в правой, конечной точке усреднения,

4)         нет проблемы крайних значений.

Дисперсия остаточной случайной компоненты после сглаживания

,

где

 – остаточная нерегулярная компонента после сглаживания.

² = Dx(t);

поэтому при значениях , не слишком близких к 1, и для достаточно удалённых от прошлого значений t случайные остатки  подвержены существенно меньшему разбросу.

Рекуррентный способ вычисления сглаженных значений (t).

;