2.5. Резюме по теме

Многие экономические величины, описывающие экономические процессы и явления являются случайными величинами, так как на протекание многих экономических процессов оказывает влияние много факторов, их действие может быть случайным и невозможно учитывать все эти случайные факторы. Кроме того, некоторые случайные величины зависят от других величин (например, спрос зависит от цены), поэтому необходимы числовые характеристики, показывающие степень взаимосвязи между случайными величинами. В этой главе было рассмотрено 2 таких характеристики – ковариация (абсолютная мера взаимосвязи) и коэффициент корреляции (относительная мера взаимосвязи). Также были приведены понятия генеральной совокупности и выборки, рассмотрены вопросы подбора достаточного объема выборки для возможности суждения по результат анализа выборки с наибольшей надежностью о свойствах и параметрах генеральной совокупности.

2.6. Вопросы для повторения

1.          Что такое случайная величина?

2.          Что такое дискретная случайная величина?

3.          Что такое непрерывная случайная величина?

4.          Какие характеристики используют для определения меры взаимосвязи между случайными величинами?

5.          Что такое ковариация?

6.          Свойства ковариации?

7.          Недостатки ковариации как меры взаимосвязи между переменными?

8.          Что такое коэффициент корреляции?

9.          Свойства коэффициента корреляции?

10.       Что такое генеральная совокупность?

11.       Что такое выборка?

12.       Какие оценки называются несмещенными?

13.       Какие оценки называются состоятельными?

3. Модели и методы регрессионного анализа

Цели и задачи изучения темы:

Формирование представления о регрессионной зависимости, о методах, принципах и моделях регрессионного анализа, о линейной регрессии, о нелинейных моделях регрессии и их линеаризации, о парной и множественной регрессии.

3.1. Основные понятия регрессионного анализа

В естественных науках часто речь идет о функциональной зависимости (связи), когда каждому значению одной переменной соответствует вполне определенное значение другой (например, скорость свободного падения в вакууме в зависимости от времени и т.д.).

В экономике в большинстве случаев между переменными величинами существуют зависимости, когда каждому значению одной переменной соответствует не какое-то определенное, а множество возможных значений другой переменной.

Возникновение такой зависимости обусловливается тем, что зависимая переменная подвержена влиянию ряда неконтролируемых или неучтенных факторов, а также тем, что измерение значений переменных неизбежно сопровождается некоторыми случайными ошибками. Примером статистической связи является зависимость урожайности от количества внесенных удобрений, производительности труда на предприятии от его энерговооруженности и т.п.

В силу неоднозначности зависимости между Y и X для исследователя, в частности, представляет интерес усредненная по X схема зависимости, т. е. закономерность в изменении условного математического ожидания M_X(Y) илиM(Y/X = x) в зависимости от х.

Если зависимость между двумя переменными такова, что каждому значению одной переменной соответствует определенное условное математическое ожидание (среднее значение) другой, то такая статистическая зависимость называется корреляционной или регрессионной.

Иначе, корреляционной зависимостью между двумя переменными называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой.

Корреляционная зависимость может быть представлена в виде

или

где (x)  const, (y)  const.

В регрессионном анализе рассматриваются односторонняя зависимость случайной переменной Y от одной (или нескольких) неслучайной независимой переменной X. Такая зависимость может возникнуть, например, в случае, когда при каждом фиксированном значении X соответствующие значения Y подвержены случайному разбросу за счет действия ряда неконтролируемых факторов.

 При этом зависимую переменную Y называют также функцией отклика, объясняемой, выходной, результирующей, эндогенной переменной, результативным признаком, а независимую переменную X – объясняющей, входнойпредсказывающей, предикторной, экзогенной переменной, фактором, регрессором, факторным признаком.

Уравнение

называется модельным уравнением регрессии (или просто уравнением регрессии), а функция (х) – модельной функцией регрессии (или просто функцией регрессии), а ее график — модельной линией регрессии (или просто линией регрессии). ₀, ₁,…, _n – параметры функциональной зависимости.

Для точного описания уравнения регрессии необходимо знать условный закон распределения зависимой переменной Y при условии, что переменная X примет значение х. В статистической практике такую информацию получить, как правило, не удается, так как обычно исследователь располагает лишь выборкой пар значений (х_i , у_i) ограниченного объема п. В этом случае речь может идти только об оценке (приближенном выражении, аппроксимации) по выборке функции регрессии. Такой оценкой является выборочная функция (кривая) регрессии:

где – выборочное условное среднее переменной Y при фиксированном значении переменной  – параметры функции .

Это уравнение называется выборочным уравнением регрессии или моделью регрессионной зависимости Y от X.

Вид функции  называется спецификацией модели выборочной регрессии.

Задачами регрессионного анализа являются следующие:

1.          Оценка (выбор) спецификации модели – установление конкретного выражения функции . Достаточно часто эта задача может быть решена точно в том случае, если заранее известен характер изменения величины Y при изменении X: линейный, экспоненциальный. Вид зависимости может быть известен теоретически, как результат уже проводившихся исследований или определён визуально при анализе статистических данных (х_i , у_i).Например, для выборки, представленной на следующей диаграмме

линейный характер зависимости очевиден.

2.          После выбора спецификации производится оценка параметров спецификации b₀, b₁,…,b_n. Для разных спецификаций набор параметров различен. Например, при выборе линейной спецификации

следует вычислить два параметра: b₀, b₁. Даже в том случае, если спецификация модели определена точно, значения b₀, b₁ будут являться только оценками истинных параметров уравнения регрессии

3. Производится оценка качества полученной регрессии.

Сформулируем основные предпосылки и принципы регрессионного анализа.

1.         Объективно существует зависимость одного экономического показателя Y от другого X. Эта зависимость не функциональная, так как на основное течение процесса, экономическую тенденцию накладываются различные случайные факторы. Поэтому для данного значения независимого показателя Х = х зависимый показатель может принять значение из некоторого множества с какой-то вероятностью. То есть для каждого значения Х величина Yявляется случайной величиной, распределённой по некоторому закону.

2.         Значит, каждому значению Х соответствует условное математическое ожидание M_x(Y). То есть функциональной является зависимость не самого значения Y от Х, а его условного математического ожидания: . Эта зависимость называется модельной регрессией. В общем случае ни вид функции, ни точные значения параметров ₀, ₁,…, _n неизвестны, поскольку недоступны генеральные совокупности значений переменной Y при заданных Х.

3.         Реальным выражением зависимости Y от X является статистическая выборка (x_i,y_i). По этой выборке методами регрессионного анализа получают приближённую функциональную зависимость  выборочного условного среднего Y от х.

1.          Функциональным зависимостям

,

соответствуют модели наблюдений – зависимости между реальными статистическими данными (x_i,y_i):

,

где  – отклонение наблюдаемого значения y_i от своего условного математического ожидания;

_i – ошибка, возмущение – результат воздействия неучтённых факторов;

 – отклонение наблюдаемого значения y_i от вычисленного по теоретической функции регрессии; фактически невязки e_i являются выборочными значениями величин _i.

e_i – невязка.

2.          Методы регрессионного анализа используются для подбора по возможности более точной спецификации  и оценок параметров b₀, b₁,…,b_n с тем, чтобы выборочная линия регрессии  приближалась к модельной .