4.2. Понятие временного ряда

Последовательность (набор) данных  х₁, …,х_n – называется временным рядом, в тех случаях, когда важным является порядок следования каждого из зарегистрированных значений; так как обычно данные получаются в результате их регистрации в определённые моменты времени.

Основная гипотеза при рассмотрении случайной величины (см. выше) заключается в предположении о независимости отдельных выборочных значений. В этих условиях данные можно перемешивать, меняя их местами, то есть выявить зависимость от времени в этих условиях нельзя. Строго говоря, любые данные представляют собой временной ряд, но в некоторых случаях зависимостью от времени можно пренебречь.

Когда возникает необходимость предсказания будущих значений в  регистрируемой последовательности, адекватным является понятие временного ряда.

Предсказание будущих значений ряда может обоснованно осуществить только, если будет выявлено некоторая тенденция их поведения. Именно в силу наличия тенденции, оказывается важным порядок следования значений временного ряда.

Таким образом важнейшей задачей анализа временного ряда является определение схемы генерации их значений, которые описывают искомые  тенденции.

4.3. Основные понятия и модели анализа временных рядов

К числу основных понятий относятся:

1.          Тренд, фильтрация и сглаживание.

2.          Автоковариация и спектральная плотность.

3.          Модели генерации значений.

4.4. Трендовые модели генерации значений временного ряда.

Тренд – неслучайная функция времени, которая описывает основную тенденцию поведения временного ряда.

Рис.4

Рис.4 Пример непрерывной реализации временного ряда.

Обычное математическое представление трендовых моделей имеет вид:

x_t = f(t) +  (t),                                             (3)

где f(t) – тренд;

 (t) – «невязка», характеризующая неточность совпадения значений временного ряда со значениями тренда.

Предполагается выполнение условий несмещённости и некоррелированности:

E(_t) = 0;                                                  

E(_t1_t2) = .                         

Более строго предполагаем, что _t – имеет независимые значения. При этом, как последовательность она является стационарной в том смысле, что соотношение (150) и (151) выполняются при любых значениях t₁ и t₂, независимо от того, где их взяли (неизменной является и дисперсия).

Рис.5 Иллюстрация к представлению (3)

Задача заключается в определении (t) – как некой функции о времени, так как в этом случае появляется возможность осуществить предсказание  значений временного ряда за пределами его интервалов регистрации.

Возникает проблема определения вида функции , которая в некотором смысле наилучшим образом позволяет экстраполировать данные за пределы их регистрации. Чаще всего в качестве меры отклонения временного анализа от гипотетического тренда используется оценка среднеквадратического отклонения:

 

Таким образом, основным принципом подбора функций тренда является принцип наименьших квадратов:

Для реализации этого принципа необходимо задавать конкретный вид функциональной зависимости  (t).

Для разных временных рядов вид этой функциональной зависимости – разный, поэтому прежде чем переходить к минимизации следует провести разведочный анализ данных, которые могут дать ответ о действительном наличии некоторого тренда, и о приблизительном виде соответствующей функциональной зависимости

Рис.6. Примеры трендов.