4.12. Вопросы для повторения
1. Что такое временной ряд?
2. Какие основные понятия анализа временных рядов?
3. Что такое тренд?
4. Какие существуют методы сглаживания временного ряда, их особенности?
5. Что такое стационарный временной ряд?
6. Что такое корреляционная функция?
7. Какие модели называются авторегрессионными?
8. Авторегрессия первого порядка?
9. Авторегрессия второго порядка?
10. Какие существуют подходы при моделировании сезонных или циклических колебаний?
11. Какие могут возникнуть проблемы при моделировании взаимосвязи двух или более временных рядов?
12. Какие методы применяют для устранения тенденции?
5. Системы одновременных уравнений
Цели и задачи изучения темы:
Формирование представления об одновременных уравнениях в экономике и о методах решения таких уравнений.
5.1. Модель спроса и предложения
Обозначим
соответственно
объёмы предложения и спроса в момент
времени t;
Pt цена товара, Yt доход в момент времени t.
Предполагается, что на рынке существует равновесие между спросом и предложением
.
Такое динамическое равновесие может быть представлено следующей моделью
предложение;
спрос.
Обозначим отклонения от средних
,
,
.
Тогда
,
.
Если усреднить исходные уравнения предложения и спроса, получим
,
.
С учётом этих соотношений предыдущие два уравнения запишутся как
qt = 2pt + t;
qt = 2pt + 3yt + ut (191)
Эти два соотношения являются моделью предложения и спроса в отклонениях.
В соответствии с этой моделью цена и величина спроса-предложения определяются одновременно, поэтому такие системы называются системами одновременных уравнений.
Величины цены и спроса являются эндогенными переменными, которые должны определяться в рамках модели, а величина дохода экзогенной переменной её значение задаётся.
Предполагается, что в каждом уравнении экзогенные переменные некоррелированы с ошибкой. Тогда как эндогенные переменные, стоящие в правых частях уравнений, могут иметь отличную от нуля корреляцию с ошибкой в соответствующем уравнении. В этом случае непосредственное применение МНК даёт смещённые и несостоятельные оценки параметров регрессии 2, 2, 3.
5.2. Структурная и приведённая форма системы
Система (191) называется структурной формой модели, а коэффициенты 2, 2, 3 структурными коэффициентами.
Разрешим систему (191) относительно pt, qt:
,
.
Обозначая
; 
; (192)
; 
,
получаем
qt = 1yt + v1t;
pt = 2yt + v2t. (193)
Система (193), в которой все эндогенные переменные явно выражены через экзогенные переменные и случайные остаточные компоненты, называется приведённой формой системы одновременных уравнений.
В
этой форме экзогенная
переменная yt некоррелирована
с возмущениями v1t, v2t,
поэтому МНК даст несмещённые и
состоятельные оценки 
и 
коэффициентов 1, 2.
Так как
по
оценкам 
, 
получаем
оценку 2:
,
которая по теореме Слуцкого будет состоятельной оценкой структурного коэффициента 2.
Такой способ оценивания структурных коэффициентов с помощью оценок коэффициентов приведённой формы называется косвенным методом наименьших квадратов.
Очевидно, таким же образом, нельзя воспользоваться соотношениями (192) для получения оценок структурных коэффициентов 2, 3. Таким образом, второе уравнение в системе (191) неидентифицируемо.
Неидентифицируемость этого уравнения можно также доказать следующим образом. Умножим первое уравнение (191) на , а второе на (1 ) и сложим их. Получим соотношение
qt = 2pt + 3yt + t, (194)
где
2 = 2 + (1 )3, 3 = (1 )3, t = t + (1 )ut.
Уравнение (194) имеет такой же вид, что и второе уравнение в системе (191). Это значит, что другие коэффициенты 2, 3 также подходят для данных qt, pt, yt. Таким образом, при любом методе оценивания структурных коэффициентов второго уравнения нельзя утверждать, получены оценки именно коэффициентов 2, 3.