§ 4. Цели и методы оптимизации

В задание на конструкторскую разработку включа­ют требование о том, чтобы при выборе проектных пара­метров некоторые главные характеристики изделия были оп­тимизированы.

Понятие оптимального решения подразумевает выбор ва­рианта конструкции с наибольшим числом преимуществ (на­пример, высокую надежность и быстродействие, малая масса а т. д.) и минимумом недостатков (например, низкий КПД, эольшие габариты и т. д.), т. е. речь идет о выборе наилучшего варианта среди множества возможных.

Уже при двух варьируемых параметрах бывает трудно уловить влияние каждого из них на главные характеристики. Возникает многомерная проблема. Чтобы такую проблему описать математически, задание должно быть соответственно обработано расчетчиком. Полный обсчет всех возможных ва­риантов проектных параметров часто произвести не удается. В этом случае эффективно использование методов оптимиза­ции, сокращающих время расчета, так как они выбирают кратчайшие пути оптимизации.

Укажем основной принцип оптимизации: оценка целесообраз­ности («качества») системы данного класса определяется эф­фективностью ее функционирования в системе более высо­кого класса. Например, качество ступени редуктора грузоподъ­емной машины следует оценивать по ее влиянию на Работу всего редуктора. В свою очередь, эффективность ре­дуктора должна оцениваться в системе более высокого клас­са (например, грузоподъемной машины и т. д.). Естественно, что по мере расширения класса цели оптимизации стано­вятся более общими, приобретая для очень больших систем социальный характер (условия оптимизации комплекса машин, транспортной системы и т. д.). Однако в практических рас­четах в большинстве случаев можно использовать локаль­ную или внутреннюю оптимизацию элементов, узлов и всего изделия, которая, как правило, оказывается полезной и для глобальной оптимизации. К числу целей локальной оптимиза­ции относятся: максимум экономичности (коэффициента по­лезного действия), минимум массы, минимум трудоемкости изготовления и др.

Допустим, что выбрана система обобщенных характеристик или параметров, характеризующих «качество» системы: g₁. g_2, g₃ …g

Условие оптимальности варианта можно записать в виде условия экстремума некоторой целевой функции

w(: g₁. g_2, g₃ …g_r) = extremum.

В простейшем случае качество системы характеризуется одним параметром g₁. Тогда можно принять

w = g₁,

если условию оптимальности соответствует минимум пара­метра (например, g₁ — стоимость, масса и т. д.). Если опти­мальность достигается при максимуме g₁ (например, g₁ — коэффициент полезного действия), тогда следует принять

w= - g₁.

Весьма сложно образовать целевую функцию для несколь­ких параметров качества, так как для этого надо знать сопоставимую «ценность» различных свойств изделия. Поэто­му рассматривают условный минимум целевой функции по одному из параметров, полагая другие параметры качества лежащими в «допустимой» области:

w = g_k; a < gi < b (i = 1, r; i ≠ к).

Например, если g₁ — удельная масса (масса машины на единицу мощности), g₂ — коэффициент полезного действия (КПД), то ищут оптимальный вариант, обеспечивающий ми­нимум удельной массы

w = g₁ при заданной величине КПД

g₂>B₂.

После того как образована целевая функция, возникает задача определения ее минимума.

Параметры качества g₁..., g_r зависят от параметров сис­темы. Последние однозначно определяют условия функцио­нирования системы: скорости, ускорения, напряжения, дефор­мации, усилия, температуры и т. п. Параметры системы свя­заны условиями взаимодействия и условиями, отражающими закономерность рабочих процессов.

Однако число связей, как правило, меньше числа пара­метров, и поэтому часть из них может выбираться неза­висимо.

Такие параметры называются управляющими и обознача­ются и_1, и₂, ..., и_т. С помощью параметров управления проводится процесс оптимизации.

Остальные параметры системы (они обозначаются у_1, у_2,…. у_n) условимся называть параметрами состояния. Раз­деление параметров на две группы является условным и оп­ределяется постановкой задачи оптимизации, особенностями работы элемента и узлов и др.

Пусть имеется т управляющих параметров и_i. Так как параметры качества зависят от управляющих параметров, то задача оптимизации в конечном итоге состоит в нахождении экстремума целевой функции

w = L(u₁ ..., и_т) = extremum.

Целевая функция w может сложным образом зависеть от управляющих параметров и₁ ..., и_т, причем эта зависимость может включать интегральные и дифференциальные операции.

Параметры состояния и управления связаны условиями связи

L_i (у_1,…. у_n и₁ ..., и_т)=0, i=1,n

,выражающими уравнение равновесия, сохранения энер­гии и т. п.

Параметры системы, как указывалось выше, должны удов­летворять определенным ограничениям

А_i< y_i <B_i; Cj <u_i< Dj.

Разработаны многочисленные методы решения задачи оп­тимизации при различных видах целевой функции, урав­нений связи и типах ограничений, которые условно мож­но подразделить на две группы: а) классические (метод дифференциального исчисления, метод множителей Лагранжа, вариационное исчисление): б) метод математического програм­мирования (методы линейного и нелинейного программиро­вания, метод динамического программирования, принцип мак­симума Понтрягина и др.).

Эти методы (в особенности методы математического про­граммирования) позволяют решать достаточно общие задачи оптимизации и оптимального управления. Указанные методы освещены в специальной литературе.

Ниже на нескольких примерах показана эффективность одного из распространенных методов оптимизации — метода множителей Лагранжа, широко используемого при отыскании условного экстремума функции нескольких переменных.