2

Казанский Государственный Технический Университет им. А.Н. Туполева

Кафедра начертательной геометрии и машиностроительного черчения

Курс лекций по

НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Казань 2001 г.

УДК 515/075/

Начертательная геометрия (Краткое изложение основных разделов курса): Методическое пособие для студентов машиностроительных специальностей

Автор: Морозов С.А.

Принятые обозначения

1. Точки - заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, D, ... ;

2. Линии - строчными буквами латинского алфавита,: a, b, с, d, ... ;

3. Поверхности - строчными буквами греческого алфавита с дополнительными индексами “градусов”: ⁰, ⁰, ... ;

4. Плоскости проекций: ₁ - горизонтальная, ₂ - фронтальная, ₃ - профильная или любая другая дополнительная плоскость; ₄, ₅, ... - дополнительные плоскости проекций.

5. Оси проекций - строчными буквами латинского алфавита: х, y и z. Начало координат - цифрой 0.

6. Последовательность точек, линий или поверхностей - подстрочными индексами: А₁, В₁, С₁, ... ,а₁, b₁, ... ₁, ... .

7. Проекции на плоскостях:

• ₁ – А^I, В^I, C^I,..., a^I, b^I, ... , ^I, ^I,...;

• ₂ – А^II, В^II, C^II,..., a^II, b^II, ... , ^II, ^II,...;

• ₃ – А^III, В^III, C^III,..., a^III, b^III, ... , ^III, ^III,...;

• ₄ - А^IV, В^IV, C^IV,..., a^IV, b^IV, ... ,^IV, ^IV,.…

8. Горизонтальные линии - буквой h; горизонтальный след плоскости  - h_0; фронтальные линии - буквой f; фронтальный след плоскости  - f_0; профильные линии - буквой р; профильный след плоскости  - р_0; точки схода следов плоскости  - х₀, y₀, z₀.

9. В случае преобразовании эпюра (комплексного чертежа) вращением или плоскопараллельным перемещением: Обозначение точек, прямых, плоскостей, углов после первого преобразования после второго преобразования соответственно

10. Вспомогательные точки - цифрами 1, 2, 3, ...

Символическая запись операций:

1. Точка А лежит на прямой l – А  l ;

2. Прямая l проходит через точку А - l  A;

3. = - совпадают, равны, результат действия;

4.  - параллельны; а  b ;

5.  - перпендикулярно; а  b;

6.  - пересечение множеств: l   = K;

7.  - конъюнкция предложений - соответствует союзу “и”;

8.  - импликация - логическое следствие, означает “если ...то”.

9.  - эквивалентность.

Оглавление

Стр.

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………………………………….

1. ПОНЯТИЕ ОБ ОПЕРАЦИИ ПРОЕЦИРОВАНИЯ…………………………………………………

1.1. Основные свойства ортогонального поецирования………………………

1.2. ЭПЮР ГАСПАРА МОНЖА ИЛИ КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ……………………………..

1.3. БЕЗОСНЫЙ КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ………………………………………………………

2. ПРЯМАЯ. ПРОЕКЦИИ ПРЯМОЙ ЛИНИИ………………………………………………………

2.1. ПРЯМЫЕ ОБЩЕГО И ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ………………………………………..

2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ И УГЛОВ НАКЛОНА

ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ…………………………………….

2.4. СЛЕДЫ ПРЯМОЙ ЛИНИИ……………………………………………………………………….

2.5. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ………………………..

3. ПЛОСКОСТЬ. ЗАДАНИЕ ПЛОСКОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ……………….

3.1 ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО И ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ………….

3.2. ПРЯМЫЕ И ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ. ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ………

3.3. ЛИНИИ НАИБОЛЬШЕГО НАКЛОНА ПЛОСКОСТИ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ..

4. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ………………………………………

4.1 ВЗАИМНАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ………………………………

4.2 ВЗАИМНАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ…………………………………

4.3 ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ…………………………………..

4.4 ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ………………………………………

4.5 ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ, ЗАДАННЫХ СЛЕДАМИ………………

5. ИЗОБРАЖЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ…………………………………………………………….

5.1 ВИДЫ МНОГОГРАННИКОВ………………………………………………………………………

5.2 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ МНОГОГРАННИКА………..

5.3 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКА ПЛОСКОСТЬЮ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ……

6. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА…………………………….

6.1. СПОСОБ ВВЕДЕНИЯ НОВЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ……………………………..

6.2. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ФИГУР ПО ЗАДАННОМУ НАПРАВЛЕНИЮ………

6.3. СПОСОБЫ ВРАЩЕНИЯ ВОКРУГ ПРЯМЫХ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ…………….

6.3.1. СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ ВОКРУГ ПРОЕЦИРУЮЩИХ ПРЯМЫХ……………………..

6.3.2. СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ ВОКРУГ ЛИНИИ УРОВНЯ……………………………………..

6.4. CПОСОБ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ…………………………………

7. ВЗАИМНАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ………………………

7.1. ВЗАИМНАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ…………………….

7.2. ВЗАИМНАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ДВУХ ПРЯМЫХ ОБЩЕГО

ПОЛОЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ…………………………………………………………..

7.3. ВЗАИМНАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ………………………………………………

8. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ…………………………………………

8.1. РЕШЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В ОБЩЕМ ВИДЕ………………………………………

8.2. РЕШЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СПОСОБАМИ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА……………………………………….

8.3. ИЗМЕРЕНИЕ РАССТОЯНИЙ……………………………………………………………………..

8.4. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ………………………………………………………………………………..

9. КРИВЫЕ ЛИНИИ И КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ…………………………………………………..

9.1. КРИВЫЕ ЛИНИИ……………………………………………………………………………………

9.2. ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ ЛИНИИ………………………………………………………………………

9.3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ……………………………………………………………….

9.4. ПРОЕЦИРОВАНИЕ КРИВЫХ ЛИНИЙ…………………………………………………………..

9.5. ОСОБЫЕ ТОЧКИ КРИВОЙ ЛИНИИ……………………………………………………………..

10. ПОВЕРХНОСТИ…………………………………………………………………………………………

10.1. СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ И ЗАДАНИЯ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ………………….

10.2 КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ………………………………………………………….

10.3. ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ……………………………………………………………….

10.4. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ…………………………………………………………………..

10.5. ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАВАЕМЫЕ КАРКАСОМ………………………………………………

10.6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА………………………………………………………..

10.7. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА……………………

10.8. СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ И ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ

10.9 КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ…………………………………………………………………………..

10.10 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ…………………………………

10.11. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ…………………………………

10.12. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА………………….

10.13. РАЗВЕРТКИ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ……………………………………………………..

11. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ……………………………………………………………..

11.1. ТЕОРЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНОЙ АКСОНОМЕТРИИ………………………………………….

11.2. СТАНДАРТНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ…………………………………...

11.3. ИЗОБРАЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ В КООРДИНАТНОЙ

ПЛОСКОСТИ ИЗОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ………………………………………………………………..

11.4. ИЗОБРАЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТЕЙ В КООРДИНАТНЫХ ПЛОСКОСТЯХ

ДИМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ……………………………………………………………………….

11.5. ПОСТРОЕНИЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

ПРОСТЕЙШИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ И ЗАДАНИЕ ТОЧЕК

НА ИХ ПОВЕРХНОСТЯХ…………………………………………………………………………………………….

12. ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К КРИВЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ……………..

12.1. Проведение касательных к плоским кривым линиям…………………..

12.2. ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ В

ДАННОЙ ТОЧКЕ…………………………………………………………………………………………..

12.3. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ, КАСАТЕЛЬНЫХ К НЕКОТОРЫМ КРИВЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ…………………………………………………………………………………………………….

12.4. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ПРЯМЫХ, КАСАТЕЛЬНЫХ К КРИВЫМ

ПОВЕРХНОСТЯМ В ДАННОЙ ТОЧКЕ………………………………………………………………..

12.5. ВЗАИМНОЕ КАСАНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ………………………………………..

12.6. ПОСТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Литература………………………………………………………………………………………………………

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее учебное пособие представляет собой краткое изложение основных разделов курса начертательной геометрии.

Предметом начертательной геометрии, как и геометрии вообще, являются пространственные формы и отношения между ними. Начертательную геометрию из геометрии в целом выделяет особенность ее метода ,основанного на операции проецирования и операции сечения. Аппаратом и средством решения задач в начертательной геометрии являются чертежи, выполненные на уровне полных графических моделей соответствующих пространственных форм и отношений. Начертательная геометрия является теоретической основой построения технических чертежей, которые представляют собой полные графические модели конкретных инженерных изделий.

Изучение начертательной геометрии способствует развитию пространственного представления и воображения, конструктивно геометрического мышления, развитию способностей к анализу и синтезу пространственных форм и отношений между ними. Освоению способов конструирования различных геометрических пространственных объектов (в основном - поверхностей), способов получения их чертежей на уровне графических моделей и умению решать на этих чертежах задачи, связанные с пространственными объектами и их геометрическими характеристиками. Основание начертательной геометрии как науке было положено французским ученым и инженером Гаспаром Монжем (1746-1818) в его труде “Начертательная геометрия”, Париж, 1795 г.

Гаспар Монж дал общий метод решения стереометрических задач геометрическими построениями на плоскости, то есть на чертеже, с помощью чертежных инструментов. Отсюда следует:

Методом начертательной геометрии является графический метод, основанный, как было сказано выше, на операции проецирования. Поэтому большинство чертежей, рассматриваемых в курсе начертательной геометрии, называются проекционными чертежами.