8. Метрические задачи и способы их решения

Метрическими принято считать задачи, в условии или в решении которых присутствует численная характеристика. К метрическим задачам относятся задачи на построение изображений фигур по их размерам или координатам из точек, измерение расстояний, углов, площадей и другие. Метрические задачи бывают комплексными и включают в своем составе позиционные задачи. Из всего многообразия метрических задач выделяют две задачи, которые называются основными метрическими задачами.

Первая задача - задача на перпендикулярность прямой линии и плоскости (п.7.1).

Вторая основная задача - задача на измерение расстояния между двумя точками способом прямоугольного треугольника.

Эти задачи называют основными потому, что на их основании можно решить любую другую метрическую задачу, то есть решение любой метрической задачи можно свести к решению основных метрических задач.

Кроме этого, метрические задачи можно решать и способами преобразования комплексного чертежа.

8.1. Решение метрических задач в общем виде

Рассмотрим решение одной из метрических задач на примере, когда ее решение сводится к решению двух основных метрических задач.

Пример (рис.8.1).Измерить расстояние от точки А до плоскости (hf).

Рис.8.1

Решение:

1.Опустим из точки А перпендикуляр на плоскость (hf) и найдем его основание - точку К.

2.Способом прямоугольного треугольника измерим истинную величину отрезка АК.

Задача решена АК=А₀K`.

8.2. Решение метрических задач способами преобразования комплексного чертежа

Способами преобразования комплексного чертежа могут быть решены только те метрические задачи, которые имеют только один геометрический элемент, несущий на себе одну искомую численную характеристику.

Алгоритм решения метрической задачи с помощью преобразования комплексного чертежа сводится к следующему:

1) определяется геометрический элемент оригинала, несущий на себе искомую численную характеристику и,

2) определяется “решающее положение” оригинала по отношению к плоскости проекций. (Решающим положением оригинала называют такое положение, при котором геометрический элемент, несущий на себе искомую численную характеристику, может быть спроецирован на плоскость проекций без искажений).

Решающих положений может быть только четыре, и им соответствуют и четыре известных задачи на преобразование комплексного чертежа.

8.3. Измерение расстояний

1.Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на данную прямую. Это расстояние будет проецироваться на плоскость проекций без искажения в двух случаях:

• когда прямая перпендикулярна плоскости проекций, то есть когда решена вторая задача на преобразование (рис.8.2);

• когда прямая и точка расположены в плоскости, параллельной плоскости проекций, то есть когда решена четвертая основная задача (рис.8.3).

2.Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми будет проецироваться на плоскость чертежа без искажения, когда одна из прямых займет положение, перпендикулярное к одной из плоскостей проекций, то есть когда будет решена вторая основная задача на преобразование (рис.8.4).

3.Расстояние между двумя параллельными прямыми будет проецироваться на плоскость проекций в истинную величину в двух случаях:

• когда прямые расположатся перпендикулярно плоскости проекций;

• будут лежать в плоскости, параллельной плоскости проекций, то есть когда будут решены соответственно вторая и четвертая основные задачи (рис.8.5 и 8.6).

4.Расстояние от точки до плоскости проецируется на плоскость проекций без искажения, когда заданная плоскость будет проецирующей по отношению к плоскости проекций, то есть будет решена третья основная задача на преобразование чертежа (рис.8.7).

Рис.8.2 Рис.8.3

Рис.8.4 Рис.8.5

Рис.8.6 Рис.8.7