- •Курс лекций по
- •1. Понятие об операции проецирования
- •1.1. Основные свойства ортогонального поецирования
- •1.2. Эпюр гаспара монжа или комплексный чертеж
- •1.3 Безосный комплексный чертеж
- •2. Прямая. Проекции прямой линии
- •2.1. Прямые общего и частного положения
- •2.2. Определение натуральной величины и углов наклона отрезка прямой к плоскостям проекций.
- •2.4. Следы прямой линии
- •2.5. Взаимное положение двух прямых в пространстве
- •3. Плоскость. Задание плоскости на комплексном чертеже.
- •3.1 Плоскости общего и частного положений в пространстве.
- •3.2. Прямые и точки на плоскости. Главные линии на плоскости.
- •3.3. Линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций
- •4. Взаимное положение прямых и плоскостей.
- •4.1 Взаимная параллельность прямой и плоскости.
- •4.2 Взаимная параллельность двух плоскостей
- •4.3 Взаимное пересечение прямой и плоскости.
- •4.4 Взаимное пересечение двух плоскостей
- •4.5 Взаимное пересечение плоскостей, заданных следами.
- •5. Изображение многогранников
- •5.1 Виды многогранников
- •5.2 Пересечение прямой линии с поверхностью многогранника
- •5.3 Пересечение многогранника плоскостью общего положения
- •6. Способы преобразования комплексного чертежа
- •6.1. Способ введения новых плоскостей проекций
- •6.2. Построение изображений фигур по заданному направлению
- •6.3. Способы вращения вокруг прямых частного положения
- •6.3.1. Способ вращения вокруг проецирующих прямых
- •6.3.2. Способ вращения вокруг линии уровня
- •6.4. Cпособ плоскопараллельного перемещения
- •7. Взаимная перпендикулярность прямых и плоскостей
- •7.1. Взаимная перпендикулярность прямой и плоскости
- •Признак перпендикулярности прямой и плоскости на чертеже.
- •7.2. Взаимная перпендикулярность двух прямых общего положения в пространстве
- •7.3. Взаимная перпендикулярность двух плоскостей общего положения в пространстве
- •8. Метрические задачи и способы их решения
- •8.1. Решение метрических задач в общем виде
- •8.2. Решение метрических задач способами преобразования комплексного чертежа
- •8.3. Измерение расстояний
- •8.4. Измерение углов
- •9. Кривые линии и кривые поверхности
- •9.1. Кривые линии
- •9.2. Плоские кривые линии
- •9.3. Пространственные кривые
- •9.4. Проецирование кривых линий
- •9.5. Особые точки кривой линии
- •10. Поверхности
- •10.1. Способы образования и задания кривых поверхностей
- •10.2 Классификация поверхностей
- •10.3. Линейчатые поверхности
- •10.4. Поверхности вращения
- •10.5. Поверхности, задаваемые каркасом
- •10.6. Поверхности второго порядка
- •10.7. Некоторые свойства поверхностей второго порядка
- •10.8. Сечение поверхности проецирующей плоскостью и прямой линией
- •10.9 Конические сечения
- •10.10 Пересечение прямой с кривой поверхностью
- •10.11. Взаимное пересечение кривых поверхностей
- •1. Возможности применения способа вспомогательных секущих плоскостей в качестве “посредников”.
- •2. Возможности применения вспомогательных секущих сфер в качестве “посредников”.
- •10.12. Взаимное пересечение поверхностей второго порядка
- •10.13. Развертки кривых поверхностей
- •11. Аксонометрические проекции
- •11.1. Теоремы ортогональной аксонометрии
- •11.2. Стандартные аксонометрические проекции
- •Прямоугольная диметрическая проекция
- •11.3. Изображение окружности в координатной плоскости изометрической проекции
- •11.4. Изображение окружностей в координатных плоскостях диметрической проекции
- •11.5. Построение аксонометрических изображений простейших геометрических тел и задание точек на их поверхностях
- •12. Плоскости и прямые, касательные к кривым поверхностям
- •12.1. Проведение касательных к плоским кривым линиям.
- •12.2. Плоскости и прямые, касательные к кривой поверхности в данной точке
- •12.3. Примеры построения плоскостей, касательных к некоторым кривым поверхностям
- •12.4. Примеры построения прямых, касательных к кривым поверхностям в данной точке
- •12.5. Взаимное касание кривых поверхностей
- •12.6. Построение геометрических мест и их применение к решению задач
11. Аксонометрические проекции
1.Общие замечания.
При построении комплексного чертежа предмета последний обычно располагают так, чтобы направления трех главных измерений его были параллельны плоскостям проекций: направление длины - параллельно оси х, ширины - оси y и высоты - оси z.
Тогда длина и высота проецируются в натуральную величину на фронтальную плоскость проекций, длина и ширина не искажаются на горизонтальной проекции, а ширина и высота - на профильной.
Такой чертеж нетрудно строить, по нему просто производить измерения, судить о размерах изображаемого предмета. Однако, он недостаточно нагляден. На каждой из проекций отсутствует одно из трех измерений. Чтобы воспроизвести форму предмета, надо мысленно воссоздать ее по двум, трем, а иногда и большему числу проекций.
Более наглядный чертеж можно получить, проецируя предмет на одну плоскость проекций и располагая его так, чтобы ни одно из направлений главных измерений не проецировалось точкой.
2. Чтобы образовать аксонометрический чертеж некоторой фигуры, например, точки А, необходимо жестко связать эту фигуру с некоторой декартовой системой координат 0хyz. При этом на координатных осях: 0х, 0y, и 0z зададим единую определенную натуральную единицу измерения е (в мм, см и тому подобное).
Так как точка А жестко связана с натуральной системой координат, то можно построить ее проекции на любую координатную плоскость. Например, построить проекцию А` точки А на плоскость 1(0хy). После этого точку А и ее проекцию А` и натуральные координатные оси параллельно проецируем на плоскость аксонометрического чертежа 0 по направлению s (рис.11.1).
Рис.11.1
Полученную совокупность проекций (А0, А`0, х0, y0 и z0) на 0 будем называть аксонометрическим чертежом заданной фигуры - точки А,
Прямые х0, y0 и z0 называются аксонометрическими осями.
Проекция А0 называется главной аксонометрической проекцией точки А, а проекции А`0 - вторичной. Очевидно, на полученном чертеже могут быть построены и другие вторичные проекции точки А: А``0 и A```0.
3. Отношение длины аксонометрического координатного отрезка 00Ах0 к длине натурального координатного отрезка 0Ах называется показателем искажения по оси 00х0 и обозначается буквой u: u=00Ax0: 0Ах. Иначе, ех: е=u.
Такой же смысл имеют показатели искажения ey и ez:
v=00Ay0: и w=00Ax0:0Az.
Показатели искажения по осям в общем случае различны:
uvwu. В частном случае, когда u=v=w акснометрический чертеж называют изометрическим чертежом или короче - изометрией.
Если показатели искажения по двум осям равны между собой, а по третьей оси показатель искажения отличается от первых двух (u=wv и т.п.), то чертеж называется диметрическим, или кратко, - диметрией.
В общем случае, когда uvw, то такой чертеж называют триметрией.
4.Основная теорема аксонометрии - торема Польке (1851), утверждает:
Любые три отрезка на плоскости, исходящие из одной точки, могут быть приняты за параллельную проекцию трех равных и взаимно перпендикулярных пространственных отрезков.
В зависимости от направления параллельного проецирования по отношению к плоскости аксонометрического изображения различают косоугольные и прямоугольные аксонометрические проекции.
Между показателями искажения и углом наклона проецирования по отношению к плоскости аксонометрического изображения существует зависимость: u2+v2+w2=2+ctg2.
Для прямоугольной аксонометрической проекции угол =900, следовательно: u2+v2+w2=2. Где:
1<u2+v2<2 и 1<u2+w2<2.
Теорема Вейсхбаха (1840):
Оси прямоугольной аксонометрической проекции являются биссектрисами углов треугольника, стороны которого пропорциональны квадратам коэффициентов искажения.
Таким образом, зная коэффициенты искажения некоторой прямоугольной аксонометрической проекции, можно найти ее аксонометрические оси (рис.11.2)
Рис.11.2
5.Построение осей и коэффициентов искажения прямоугольной аксонометрической проекции по треугольнику следов.
Если плоскость аксонометрической проекции пересекает плоскости пространственной системы координат, то фигурой сечения будет остроугольный треугольник XYZ - треугольник следов: XY, XZ и YZ. Оси пространственной системы координат спроецируются на плоскость аксонометрического изображения - высотами этого треугольника (совпадут с направлениями высот данного треугольника) (рис.11.3) и (рис.11.4).
Рис.11.3 Рис.11.4
Если задано направление аксонометрических осей Ox, Оy и Оz, то, построив произвольный треугольник следов, можно найти величины коэффициентов искажения по этим осям, задавшись величиной единичного отрезка е (рис.11.5).
Решение:
1.Строим треугольник следов (произвольный);
2. Находим совмещенное положение треугольников XOY и XOZ с плоскостью аксонометрического изображения. Получаем XOY и ZOY.
3. Отложив на направлении OX, OY и OZ отрезки равные e (единичный масштаб), находим его проекции: ех, еy и еz на аксонометрических осях.
Рис.11.5