10.7. Некоторые свойства поверхностей второго порядка

1. Прямая пересекает поверхность в двух точках: действительных, совпадающих или мнимых.

2. Поверхность пересекается плоскостью по кривой второго порядка, которая может распадаться на две прямые (пересекающиеся, параллельные или совпавшие).

3. Через два сечения поверхности второго порядка можно провести конус или цилиндр (задача имеет два решения).

4. Поверхность может быть задана двумя кривыми второго порядка и точкой, или касательной плоскостью. При этом на положение кривых накладывается такое ограничение: обе кривые должны принадлежать одной конической (цилиндрической) поверхности. Такие кривые называются гологичными.

5. Три кривые второго порядка, принадлежащие трем плоскостям попарно пересекающиеся в шести точках, определяют единственную поверхность второго порядка. Если одна из кривых распадается на две прямые, то поверхность будет линейчатой.

6. К центральным поверхностям второго порядка относятся: эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды. Отрезок прямой, проведенный через центр и соединяющий две точки пересечения с поверхностью, называется диаметром. Центр поверхности делит этот отрезок пополам.

7. Поверхность может быть задана девятью произвольными точками. Чтобы написать уравнение такой поверхности, необходимо подставить в уравнение поверхности координаты заданных точек и решив систему девяти линейных уравнений, получить значения коэффициентов.

8. Эллипсоид, двуполостной гиперболоид и эллиптический параболоид относятся к не линейчатым поверхностям. Все остальные - линейчатые.

Все эти свойства поверхностей второго порядка могут быть обнаружены методом сечений данных поверхностей плоскостями

При каноническом (нормальном) задании поверхностей исследование легко проводится с помощью проецирующих плоскостей.

Метод плоских сечений является основным методом исследования и задания поверхностей сложной формы в технике.

10.8. Сечение поверхности проецирующей плоскостью и прямой линией

Чтобы построить сечение поверхности какой-либо проецирующей плоскостью, необходимо сначала построить каркас линий, принадлежащей этой поверхности. Каркас поверхности может быть образован дискретным множеством линий, образующих данную поверхность. Примером таких линий могут быть параллели на поверхности вращения, образующие линейчатой поверхности и тому подобное.

Секущая плоскость, в данном случае проецирующая, пересечет линии каркаса в соответствующих точках, соединяя которые в определенной последовательности от одной линии каркаса к другой, следуя их расположению на каркасе, можно получить фигуру сечения поверхности заданной секущей плоскостью.

Покажем это на примерах.

Пример 1 (рис.10.22). Построить сечение цилиндра горизонтально проецирующей плоскостью (`).

Решение:

1.Строим каркас образующих на поверхности заданного цилиндра - линии :l, l₁, l₂, l₃,...

2. Заданная плоскость пересечет их соответственно в точках: 1, 2, 3,..., соединяя которые получим искомую линию пересечения.

Подобные задачи решаются на комплексных чертежах аналогично этому примеру

Рис.10.22

Пример 2 (рис.10.23). Построить линию сечения поверхности вращения фронтально проецирующей плоскостью  (^” ).

Решение понятно из чертежа.

Рис.10.23