4.3 Взаимное пересечение прямой и плоскости.

Задача на взаимное пересечение прямой и плоскости может быть сведена к одному из трех типов задач:

1. Обе геометрические фигуры проецирующего положения по отношению к плоскостям проекций (рис.4.4а и 4.4б).

Рис. 4.4 а Рис. 4.4 б

В этом случае искомый элемент - точка пересечения на чертеже уже есть, ее надо только выделить и обозначить.

2. Одна из заданных фигур проецирующего положения в пространстве, а другая - общего (рис.4.5а и 4.5б).

Рис.4.5а Рис.4.5б

В этом случае одна из проекций искомой точки пересечения на чертеже уже есть. Она принадлежит геометрической фигуре проецирующего положения, а другая ее проекция находится по принадлежности к фигуре не проецирующего положения.

3. Обе геометрические фигуры - линия и плоскость - общего положения в пространстве по отношению к плоскостям проекций. В этом случае задача решается с помощью вспомогательной секущей плоскости “ в качестве посредника”, которую проводят через заданную прямую.

На рис. 4.6а и 4.6б приведены примеры пересечения прямой l с плоскостью треугольника АВС и прямой а с плоскостью , заданной следами.

Рис. 4.6а Рис.4.6б

4.4 Взаимное пересечение двух плоскостей

Эта задача также может быть сведена к одной их трех типов задач, рассматриваемых выше в случае пересечения прямой с плоскостью.

1. Обе плоскости проецирующего положения по отношению одной или разным плоскостям проекций (рис.4.7а и 4.7б).

Рис. 4.7а Рис. 4.7б

В этом случае искомая линия пересечения плоскостей на чертеже уже есть. Ее нужно только выделить и обозначить.

2. Одна из плоскостей проецирующего положения, а другая - общего положения (рис.4.8а и 4.8б).

Рис.4.8а Рис.4.8б

3. Обе плоскости общего положения в пространстве.

В этом случае задача решается с помощью двух вспомогательных секущих плоскостей в качестве посредников. Такими посредниками могут быть только проецирующие плоскости.

Пример 1 (рис.4.9). Найти линию пересечения двух плоскостей:  (аb) и  (cd).

Рис.4.9

Вспомогательные секущие плоскости ₁ и ₂ пересекают заданную плоскость  (аb) по линиям проходящим через точки 1-2 и 5-6, а плоскость  (cd) по линиям проходящим через точки 3-4 и 7-8. Пересечение этих линий дает 2 совместных точки M и N через которые и проходит искомая линия пересечения двух заданных плоскостей.

4.5 Взаимное пересечение плоскостей, заданных следами.

Линия взаимного пересечения плоскостей, заданных следами, проходит через точки пересечения их одноименных следов. Решение задачи показано на рис.4.10а и 4.10б.

Рис. 4.10а Рис. 4.10б

Литература: Фролов С.А. Начертательная геометрия. 2-е изд., изд.Машиностр. 1983., §§44;с.170. Гордон В.О. и др. Курс начерт. геом., Глава IV до перпендикулярности. Локтев В.О. Краткий курс начерт.геом. 1985. §§11, 12.