10.9 Конические сечения

К коническим сечениям относятся кривые линии и частные случаи таких линий, получающиеся при пересечении конуса второго порядка плоскостью. К этим линиям относятся: эллипс (в частном случае окружность), гипербола (в частном случае две пересекающиеся прямые) и парабола ( в частном случае две совпавшие прямые линии) (рис.10.24, 10.25, 10.26).

Эллипс (плоскость  пересекает все образующие конуса).

Парабола (плоскость  параллельна только одной образующей конуса).

Гипербола (плоскость  параллельна двум образующим конуса SL₁ и SL₂).

Рис.10.24 Рис.10.25

Рис.10.26

10.10 Пересечение прямой с кривой поверхностью

При построении точек пересечения прямой линии с кривой поверхностью вспомогательную секущую плоскость стараются выбрать таким образом, чтобы она пересекла кривую поверхность по линии, легко определяемой на чертеже, то есть по инструментально простой линии: прямой или окружности.Алгоритм решения:

1. Заданную прямую заключают во вспомогательную секущую плоскость (чаще проецирующую);

2. Строят сечение заданной поверхности этой плоскостью;

3. Находят общие точки фигуры сечения с заданной прямой;

4. Определяют видимость прямой линии относительно поверхности. В этом случае можно воспользоваться конкурирующими точками.

Пример 1 (рис.10.27). Найти точки пересечения прямой l с поверхностью конуса.

Рис.10.27

На рис.10.27 вспомогательная секущая плоскость проведена через прямую l и вершину S конуса. Она пересекла конус по образующим SL₁ и SL₂. Вспомогательная секущая плоскость задана прямыми S1 и S2, а ее горизонтальный след - линия АВ.

Задачи на взаимное пересечение прямой линии с кривой поверхностью - задачи третьего типа могут быть сведены к задачам второго типа путем преобразования комплексного чертежа.

Пример 2. (Рис. 10.28) Найти точки пересечения прямой l с поверхностью сферы. Прямая l занимает общее положение.

Решение легко находится после преобразования чертежа, после которого прямая l преобразуется в прямую уровня (фронталь).

Рис.10.28

Пример 3.(рис.10.29). Найти точки M и N пересечения прямой l с цилиндрической поверхностью вращения.Решение:

Преобразуем заменой плоскостей проекций чертеж так, чтобы цилиндрическая поверхность стала проецирующей. Одновременно с этим прямая l (1,2) преобразуется в линию l^IV(1^IV,2^IV), точки пересечения которой с очерком цилиндрической поверхности - M^IV и N^IV и будут искомыми. Обратным преобразованием найдем эти точки на исходных проекциях. Построения ясны из чертежа.

Рис.10.29

10.11. Взаимное пересечение кривых поверхностей

Для построения линий взаимного пересечения двух кривых поверхностей пользуются методом вспомогательных секущих поверхностей. В качестве, которых используются не только вспомогательные секущие плоскости, но и вспомогательные секущие поверхности: цилиндрические, конические и сферы, выбор которых в качестве “посредников” позволяет находить точки искомой линии пересечения.

1. Возможности применения способа вспомогательных секущих плоскостей в качестве “посредников”.

Вспомогательные секущие плоскости применимы, если заданы:

- две поверхности вращения, оси которых перпендикулярны к одной из плоскостей проекций;

- два цилиндра или два конуса, или конус и цилиндр;

- две линейчатые поверхности с общей плоскостью параллелизма;

- две каркасные поверхности.

Пример 1(рис.10.30). Построить линию пересечения сферы с конусом.

Решение: 1. Находим характерные и опорные точки искомой линии пересечения. Такими точками будут точки пересечения очерковых образующих: А, В, С и С₁. Точки С и С₁получены с помощью вспомогательной секущей плоскости, проходящей через экватор сферы. 2. Промежуточные точки искомой линии находим с помощью семейства вспомогательных секущих плоскостей:₁,₂,... 3. Соединяя последовательно найденные точки А, М, С, N,..В получаем проекции искомой линии. 4. Определяем видимость.

Рис.10.30

Пример 2 (рис.10.31). Построить линию взаимного пересечения поверхностей цилиндра и тора.

Решение:

Обе заданные поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций и потому точки искомой линии пересечения можно найти с помощью вспомогательных секущих плоскостей: , ₁, ₂,...

Построение начинаем с опорных точек А и В искомой линии, принадлежащих очерковым образующим.

Рис.10.31