11.5. Построение аксонометрических изображений простейших геометрических тел и задание точек на их поверхностях

Пример 1 (рис.11.17). Построить изометрическую и диметрическую проекции заданного прямого кругового конуса.

Рис.11.17

Помимо стандартных прямоугольных изометрической и диметрической проекций возможны и прямоугольные триметрические проекции. Выбор которых возможен как вариант п.5 (рис.11.5).

12. Плоскости и прямые, касательные к кривым поверхностям

12.1. Проведение касательных к плоским кривым линиям.

1. Проведение касательной из внешней точки к окружности (рис.12. 1).

Рис.12.1 Рис.12.2

2. Проведение касательной к кривой линии, параллельной направлению s (рис.12. 2).

3. Проведение касательной из внешней точки А к кривой второго порядка. На рис.12. 3 проведены касательные к эллипсу из внешней точки А.

Решение:

Это построение основано на теории поляр. Точка А - полюс (Р), линия р - поляра этого полюса.

Чтобы получить точки К₁ и К₂ касания касательных t₁ и t₂, проводим из точки А три секущих, пересекающих эллипс соответственно в точках 1 и 2, 3 и 4, 5 и 6.

Дальнейшее построение понятно из чертежа. Поляра р пересечет очерк эллипса в точках К₁ и К₂. Касательные t₁ и t₂ определены.

Рис.12.3

4. Касательные к пространственной кривой линии.

Теорема: Проекция касательной к пространственной кривой линии является в общем случае касательной к проекции этой кривой линии (рис.12.4, 12. 5).

Рис.12.4 Рис.12.5

12.2. Плоскости и прямые, касательные к кривой поверхности в данной точке

Для построения плоскости, касательной к кривой поверхности в данной точки К, достаточно провести через эту точку на поверхности две пересекающиеся инструментально простые линии. Такими линиями могут быть две линии каркаса поверхности, например, параллель и меридиан на поверхности вращения.

Проведя касательные к каждой из этих кривых линий, получим две пересекающиеся прямые, определяющие одну и только одну плоскость , касательную к данной поверхности в точке К, если данная точка является “гладкой точкой” поверхности.

Любая прямая лежащая в касательной плоскости и проходящая через точку касания К, будет касательной к заданной поверхности в этой точке.

Прямая n, проходящая через точку К и перпендикулярная к касательной плоскости , являются нормалью поверхности в точке К.

На рис.12.6, для иллюстрации, через точку К проведены две кривые линии, принадлежащие некоторой выпуклой поверхности.

Рис.12. 6

12.3. Примеры построения плоскостей, касательных к некоторым кривым поверхностям

Плоскость, касательная к поверхности цилиндра или конуса, определяется образующей поверхности, по которой происходит касание, и прямой, касательной к кривой основания поверхности в точке пересечения этой образующей (рис.12.7).

Рис.12.7 Рис.12. 8

Плоскость, касательная к сфере в некоторой точке К, перпендикулярна к радиусу сферы, проведенному в эту точку касания (рис.12.8).