1. Понятие об операции проецирования

Аппарат проецирования состоит из двух основных частей и таких аппаратов проецирования в основном два: аппарат центрального проецирования и аппарат параллельного проецирования.

Аппарат центрального проецирования состоит из плоскости проекций  и центра проецирования S. Причем центр проецирования не принадлежит плоскости проекций (рис. 1.1). Проецирование осуществляется с помощью проецирующих лучей, исходящих из центра проецирования S.

Аппарат параллельного проецирования состоит из плоскости проекций  и направления проецирования S, которое не параллельно плоскости проекций (рис.1.2). Проецирующие лучи, в данном случае, проводятся параллельно направлению S.

В точке пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций и располагается соответствующая проекция точки. Проекции точек, как и сами точки, обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, но с соответствующими индексами. На рис. 1.1 и 1.2 они обозначены индексами “штрих”.

Рис.1.1 Рис.1.2

Частным случаем параллельного проецирования является проецирование ортогональное, то есть прямоугольное, когда направление проецирования S перпендикулярно плоскости проекций. Этот способ является основным способом проецирования, принятым при построении технических чертежей.

1.1. Основные свойства ортогонального поецирования

Основные свойства ортогонального проецирования известны из курса стереометрии средней школы. Вот некоторые из них:

1. Проекция точки - есть точка;

2. Проекция прямой (в общем случае) – есть прямая линия;

3. Если точка лежит на прямой, то проекция этой точки будет принадлежать проекции прямой: А  l  A`  l`;

4. Если две прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции также параллельны: a  b  a`  b`;

5. Если две прямые пересекаются в некоторой точке, то их одноименные проекции пересекаются в соответствующей проекции этой точки: m  n = K  m`  n` = K`;

6. Пропорциональность отрезков, лежащих на одной прямой или на двух параллельных прямых, сохраняется и на их проекциях (рис.1.3): АВ:СD = А`B`:C`D`

7. Если одна из двух взаимно перпендикулярных прямых параллельна плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость прямым углом (рис.1.4).

Рис.1.3 Рис.1.4

1.2. Эпюр гаспара монжа или комплексный чертеж

Чертежи в начертательной геометрии строятся главным образом на основании операции ортогонального, то есть прямоугольного, проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций: фронтальную и горизонтальную плоскости. Полученные таким образом два изображения позволяют однозначно определять положение того или иного геометрического образа (фигуры) в пространстве. (рис.1.5).

Путем вращения одной из этих плоскостей проекций вокруг линии пересечения - оси х, до совмещения в единую плоскость получается плоское изображение, которое называют эпюром Гаспара Монжа или комплексным чертежом. Покажем это на примере изображения точки А (рис.1.5 и 1.6). Плоскости ₁ и ₂ делят пространство на четыре четверти, отмеченные римскими цифрами.

Рис.1.5 Рис.1.6

Иногда бывает необходимо ввести третью плоскость проекций ₃, перпендикулярную к первым двум плоскостям проекций. Такие три плоскости разделят пространство на восемь частей, называемых октантами. Их нумерация показана на рис.1.7.

Рис.1.7 Рис.1.8

Положительные направления осей координат указаны стрелками, фронтальная плоскость проекций - ₂, горизонтальная - ₁ и профильная - ₃.

На рис.1.9 изображены точки А, В, С, D и Е, расположенные в различных октантах и на плоскостях и осях проекций. А - II - второй октант; В - ₁; С - ₃; D - III октант; Е - ось Х.

Пример (рис.1.10). Найти проекции точек: А (10,15,20), В(25,-5,35); С(-25,5,10) и D(55,20 и удаленную от оси X на 45 мм).

Рис. 1.9 Рис. 1.10