9.3. Пространственные кривые
Пространственные кривые линии - это, главным образом, линии пересечения кривых поверхностей. Так, например, две поверхности второго порядка пересекаются по линии четвертого порядка, представляющей собой пространственную кривую.
9.4. Проецирование кривых линий
Кривая линия в общем случае проецируется кривой линией (рис.9.10).
Рис.9.10
Алгебраические кривые проецируются кривыми линиями того же порядка, что и сами кривые. Кривые второго порядка проецируются кривыми линиями второго порядка. При параллельном проецировании эллипс и окружность проецируются в эллипс или, в частном случае, в окружность; проекция параболы - парабола, проекция гиперболы - гипербола. При проецировании окружности любая пара ее взаимно перпендикулярных диаметров проецируется парой сопряженных диаметров эллипса.
9.5. Особые точки кривой линии
Прямая, пересекающая кривую линию в двух и более точках, называется секущей. Если эти точки оказываются бесконечно близкими (совпадают), прямую, проходящую через эти точки, называют касательной к кривой. На рис.9.11 показано, как секущая l, вращаясь вокруг точки К, превращается в касательную t.
Рис.9.11 Рис.9.12 Рис.9.13.
К особым точкам кривых линий относят:
Точки самопересечения линий (рис.9.12). В этих точках к кривой можно провести две и более касательных.
Точки перегиба кривой - точки, которые разделяют участки, кривизна которых имеет различное направление (рис.9.13).
Точки возврата - точки, в которых кривая имеет только одну касательную и относительно которой, ветви кривой располагаются по одну сторону.
Экстремальные точки - точки, наиболее близкие или наиболее удаленные от наблюдателя или от плоскости проекций.
10. Поверхности
В окружающем нас мире мы встречаем бесконечное множество разнообразных поверхностей. Некоторые поддаются математическому описанию, другие настолько сложны, что невозможно в данный момент описать их математически. В математике под поверхностью понимается непрерывное множество точек. Если между координатами точек этого множества может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида F(x,y,z)=0, где F(x,y,z) –многочлен n-й степени, или в форме какой-либо трансцендентной функции. В первом случае поверхности называются алгебраическими, а во втором -трансцендентными.
10.1. Способы образования и задания кривых поверхностей
В начертательной геометрии все геометрические объекты задаются графически. Поэтому кривая поверхность может рассматриваться как совокупность всех положений некоторой линии, движущейся в пространстве. Движущуюся линию в этом случае называют образующей поверхности, а линии (иногда и точки), определяющие закон ее перемещения, - направляющими. Такой способ образования поверхности получил название кинематический.
Рис. 10.1
Совокупность точек, линий и различных условий, определяющих закон перемещения образующей, называют также определителем поверхности.