11 Г. Б. Иосилевич и др.

центра кривизны кривой, несложно показать, что точка N прямой NB будет центром кривизны эвольвенты (мгновенным центром вращения), а отрезок NB - радиус кривизны эволь­венты в точке В.

Углы развернутости v, профиля а α и эвольвентный inv α (инволюта α), образуемые радиальными прямыми ОМ, ОВ и ON, связаны между собой зависимостью

inv α = v — α.

Так как дуга MN равна отрезку BN, перекатываемому по дуге без скольжения, то (MN = r_bv)

inv α = tg α — α.

Если учесть (r — радиус-вектор произвольной точки эволь­венты)

cos α = r_b/r,

то становится очевидным, что радиус r_b основной окружности является единственным параметром, определяющим эвольвенту. Зацепление эвольвентных профилей. Предположим, что тре­буется передать вращательное движение между параллельными осями О₁ и 0₂ (межосевое расстояние а_w) с постоянным передаточным отношением L Величины a_w и i определяют положение полюса зацепления П на отрезке O₁O₂ = a_w. С уче­том соотношения (20.4) несложно получить

(20.5)

Если в качестве профиля ведущего звена 1 принять эволь­венту Э₁ некоторой (произвольной) основной окружности диа­метром d_b1 (рис. 20.7) и через полюс П провести касатель­ную к этой окружности, то точка B₁ пересечения этой каса­тельной с профилем будет единственной точкой эвольвенты, для которой справедлив основной закон зацепления, и нормаль К эвольвенте N₁П проходит через полюс. Таким образом, точка В является единственно возможной точкой контакта дан­ного звена с сопряженным.

В других положениях звеньев точки контакта эвольвент также обязательно будут находиться на прямой, проведенной через полюс касательно к основной окружности. Линия за­цепления для эвольвентного профиля является прямой' и обеспечивает эвольвентному зацеплению существенное

преимущество перед зацеплениями других видов.

¹ Эвольвента — единственная кривая, дающая прямую линию зацепления.

Отметим, что прямой линии зацепления также соответствует только эволь­вентный профиль, и линия зацепления является общей для обоих профилей. Таким образом, сопряженный профиль ведо­мого звена 2 должен быть эвольвентным и его основная окружность должна быть касательной к линии зацепления.

Перпендикуляр O₂N₂ из центра О₂ на линию зацепления дает радиус г_ь2 основной окружности звена 2, определяющей эвольвенту Э₂ и точку В₂ на ней (совпадает с точкой B_t в данном положении).

По мере вращения звеньев с каждой точкой одного из профилей вступает в контакт вполне определенная (единст­венная) точка на втором профиле (см. точки C_t и С₂ на рис. 20.7).

Если ввести в рассмотрение угол α_w между линией зацеп­ления и перпендикуляром к линии центров {угол зацепления), то из рис. 20.7 следует

N₁П + ПN₂ = N₁B₁ + B₂N₂

или

(r_b1+ r_b2) tg α_w = r_b1 v_B1+ r _b2v_B2, (20.6)

где v_B1 и v_B2 — углы развернутости сопряженных точек B_t и В₂ на эвольвентах.

Уравнение (20.6) позволяет найти для любой заданной точ­ки на одном колесе сопряженную точку на другом колесе.

Существенно, что положение общей нормали (линии зацеп­ления) не изменяется, и она по-прежнему будет касаться основных окружностей. Положение полюса зацепления П на линии центров также остается неизменным при вращении колес. Из рис. 20.7 видно, что в процессе зацепления точка кон­такта перемещается по профилю ведущего звена, удаляясь от основной окружности, а по профилю ведомого звена — приближаясь к основной окружности. Но пути, проходимые точкой контакта по каждому из сопряженных профилей за равные промежутки времени, оказываются неравными. В ре­зультате при равномерном вращении колес точки контакта, двигаясь равномерно по линии зацепления со скоростью

будут перемещаться (в относительном движении) неравномерно по профилям зубьев, т. е. сопряженные профили перекаты­ваются один на другой со скольжением.

Отметим, что на каждом колесе имеется по одной соосной поверхности (цилиндр — в цилиндрической передаче), кото­рые касаются друг друга, и в любой точке касания (контакта) вектор относительной скорости равен нулю. Эти поверхности называют начальными, а концентрические окружности, принад­лежащие им,— начальными окружностями. Они описываются из центров и проходят через полюс. Из соотношений (20.5) следует, что диаметры начальных окружностей

(20.7)

Диаметр начальной окружности связан с диаметром основ­ной окружности соотношением (см. рис. 20.7)

(20.8)

Окружная скорость точки на начальной окружности

Межосевое расстояние передачи можно выразить и через диаметры основных окружностей

. (20.9)

Это уравнение характеризует зацепление двух зубьев с эвольвентными профилями. В реальном зубчатом зацеплении одновременно могут контактировать несколько пар зубьев. Если ввести в рассмотрение шаг р_ь по основной окружности — расстояние между соседними эквидистантными профилями по дуге основной окружности, то из равенства координат сопря­женных точек зубьев следует, что одновременный контакт нескольких пар зубьев возможен при условии

P _b1 = Р _b2,

где р_b1 и р _b2 — шаги по основной окружности первого и вто­рого колес.

Из уравнения (20.9) следует также:

а) пара эвольвентных профилей с заданными диаметрами d_b1 и d_b2 может зацепляться при различных межосевых рас­стояниях а_w

б) эвольвента заданной основной окружности d_bl может сцепляться с эвольвентами любых основных окружностей d_b2 при одних и тех же или при различных α_w;

в) эвольвентные колеса с любыми числами зубьев могут сцепляться друг с другом, если их шаги равны;

Рис. 20.8. Активная линия зацепления

г) эвольвентные колеса могут сопрягаться с рейкой, имею­щей произвольный угол профиля, если их основные шаги равны.

Коэффициент перекрытия. Отметим точки Р₁ и Р₂ пересе­чения окружностей вершин колес с линией зацепления (рис. 20.8, а). Тогда эти точки будут обозначать начало входа и конец выхода из зацепления пары зубьев, а участок Р₁Р₂ соответ­ствует активной линии зацепления.

Для сохранения свойственного эвольвентному зацеплению постоянного передаточного отношения необходимо, чтобы сле­дующая пара зубьев вступала в зацепление в точке Р₁ в тот момент (или ранее), когда точка контакта предыдущей пары зубьев придет в точку Р₂ (рис. 20.8,6). Следовательно, длина активной линии зацепления должна быть не менее основ­ного шага.

Отношение длины активной линии зацепления к основ­ному шагу

называют коэффициентом перекрытия. Для обеспечения непре­рывности вращения рекомендуется ε_α > 1,2.

Исходный и рабочий контуры рейки. Для единообразного изготовления зубчатых колес и обеспечения их взаимозаме­няемости в передачах параметры зацепления стандартизованы. В основу стандарта положен реечный контур (рис. 20.9), так как рейка сохраняет постоянный угол зацепления в паре с колесом любого радиуса и при любом относительном поло­жении колес.

Рис. 20.9. Исходный и рабочий контуры зубчатой рейки по ГОСТ 13755—81 (ДП — делительная прямая)

Этот контур называют теоретическим исходным контуром. Одним из основных параметров контура является модуль*

т = р/π, (20.10)

измеряемый в мм и регламентированный ГОСТ 9563-60. В соотношении (20.10): р — шаг исходного контура, расстоя­ние между одноименными профилями соседних зубьев рейки по делительной или другой, параллельной ей прямой. Дели­тельной прямой называют прямую, на которой теоретическая толщина зуба равна ширине впадины.

Стандартом предусмотрен широкий набор модулей, обес­печивающий потребности приборов в миниатюрных зубчатых передачах, а также потребности машин в крупногабаритных передачах.

Для модулей свыше 1 мм исходный контур (ГОСТ 13755 — 81) является прямобочным и имеет следующие пара­метры (рис. 20.9, а). Профильный угол α = 20°, глубина захода h₁ = 2h_α*m (здесь h_α* = 1 — коэффициент высоты головки зуба); толщина зуба по делительной прямой S = 0,5р; радиальный зазор с — с*т (здесь с* = 0,25 — коэффициент радиального за­зора) и радиус закругления у корня зуба р_i = 0,384m.

*Предпочтительный ряд значений модулят в диапазоне от 1 до 12 мм: 1; 1,25; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12.

Рис. 20.10. Изготовление зубчатых колес копированием с помощью фрез (я и б)

и обкаткой с помощью долбяка и гребенки (виг):

/ — пальцевая фреза; 2 — дисковая фреза; 3 — долбяк; 4 — гребенка

Для обеспечения плавного вхождения зубьев в зацепление и сни­жения динамических нагрузок на вершине зубьев исходного контура преднамеренно отступают от теоретической эвольвентной формы, выполняя срез профиля — фланк (рис. 20.9, б). Расчетный контур с фланком называют номинальным исход­ным контуром (рабочим контуром).

Однозначность перечисленных основных параметров делает исходные контуры различных модулей геометрически подоб­ными.

Изготовление колес. Зубчатые колеса изготовляют преиму­щественно методами резания на универсальных фрезерных и специальных станках. Зубья нарезают либо методом копи­рования, либо методом огибания (обкатки).

При использовании метода копирования впадина между зубьями вырезается специально спрофилированным инстру­ментом — фрезой, протяжкой, шлифовальным кругом (рис. 20.10).

Для нарезания зубьев методом обкатки применяют спе­циальный инструмент — рейку, долбяк, червячную фрезу. Инструменту и нарезаемому колесу на специальных станках сообщается такое же относительное движение, как и в реаль­ном зацеплении. Основное преимущество такого метода изго­товления — высокая точность.

Мелкомодульные зубчатые колеса иногда изготовляют накатыванием зубьев (обработкой давлением).

Точность изготовления. Для обеспечения требуемого каче­ства передач разработаны показатели точности. Так, ГОСТ 1643 — 81 устанавливает допуски цилиндрических зубчатых пе­редач с модулями m = 1 -г- 50 мм, обеспечивающими 12 сте­пеней точности передач (самая низкая степень точности — две­надцатая). Требуемая степень точности определяется уровнем скоростей колес и действующих нагрузок. Быстроходные пере­дачи (окружная скорость колеса v > 20 м/с) изготовляют с повышенной точностью (степени точности 6 и 5).