§ 3. Расчет прямых валов на прочность и жесткость

Для обеспечения работоспособности валы и оси должны удовлетворять условиям прочности и жесткости.

Нагрузки на валы и расчетные схемы. Для расчета на прочность необходимо знать напряжения в сечениях вала от внешних нагрузок (постоянных и переменных), которые пере­даются от сопряженных деталей (зубчатых колес, шкивов и др.). Нагрузки рассчитывают (в редукторах, конвейерах, грузоподъемных устройствах и т. п.) или определяют экспери­ментально.

Рис. 24.7. Расчетные схемы валов

Если внешние нагрузки известны, то при расчетном опре­делении внутренних силовых факторов в сечениях вал рас­сматривают обычно как балку, шарнирно закрепленную в же­стких опорах (рис. 24.7, а).

Такая модель формы вала и условий закрепления близка к действительности для валов, вращающихся в опорах ка­чения.

Если в одной опоре размещают два подшипника качения, то условную опору (опоры) размещают так, как показано на рис. 24.7, б.

Для валов, опирающихся по концам на подшипники сколь­жения, условную опору располагают на расстоянии (0,250,3)l от внутреннего торца подшипника (рис. 24.7, в), что обуслов­лено смещением в эту сторону максимальных контактных давлений вследствие деформаций вала и подшипника. Нагрузки от зубчатых колес, шкивов, звездочек и других подобных деталей передаются на валы через поверхности контакта. В расчетах валов эти нагрузки для упрощения заменяют сосредоточенными эквивалентными силами, приложенными в середине ступицы (рис. 24.7, г).

Расчет и проектирование валов ведут по обычной трехэтапной схеме. На первом этапе (предварительный расчет) при отсутствии данных об изгибающих моментах диаметр вала приближенно можно найти по известной величине вращаю­щего момента Т из условия прочности по заниженным значениям допускаемых напряжений при кручении

(24.1)

где T—вращающий момент, Нм; []_к — допускаемое напря­жение на кручение, МПа для стальных валов;Р — передаваемая мощность, кВт; п — частота вращения вала, об/мин.

Иногда на этом этапе диаметр хвостовика вала прини­мают конструктивно (на основе практики проектирования) равным 0,8 —1,0 диаметра вала приводного двигателя.

Наименьший диаметр промежуточного вала принимают обычно равным внутреннему диаметру подшипника.

На втором этапе разрабатывают конструкцию вала, обес­печивая технологичность изготовления и сборки.

Далее, на третьем этапе производят проверочный расчет —

-оценку статической прочности и сопротивления усталости вала.

На статическую прочность валы рассчитывают по наиболь­шей возможной кратковременной нагрузке (с учетом динами­ческих и ударных воздействий), повторяемость которой мала и не может вызвать усталостного разрушения (например, по нагрузке в момент пуска установки). Валы могут быть нагру­жены постоянными напряжениями, например, от неуравнове­шенности вращающихся деталей.

Так как валы работают в основном в условиях изгиба и кручения, а напряжения от осевых сил малы, то эквива­лентное напряжение в точке наружного волокна

где _и и _к — соответственно наибольшее напряжение от изгиба вала моментом М_и и кручения вала моментом Т;

W, и W_K — соответственно осевой и полярный моменты сопро­тивления сечения вала (d — диаметр вала);

Так как W_K = 2W_m то с учетом этих соотношений можно

Записать

Запас прочности по пределу текучести

(24.2)

Обычно принимают n_Т = 1,2- 1,8.

.Сечение (сечения), в котором следует определить запас n_т (опасное сечение), находят после построения эпюр изгибающих и вращающих моментов. Если нагрузки действуют на вал в разных плоскостях, то сначала силы проектируют на коорди­натные оси и строят эпюры моментов в координатных пло­скостях. Далее производят геометрическое суммирование изги­бающих моментов, очерчивая эпюру прямыми линиями, что идет в запас прочности.

Если угол между плоскостями действия сил не превосхо­дит 30°, то для простоты считают, что все силы действуют в одной плоскости.

Переменные напряжения в валах могут вызываться изме­няющейся во времени внешней нагрузкой. Существенно, что постоянные по величине и направлению силы передач вызы­вают во враа(ающихся валах переменные напряжения изгиба, изменяющиеся по симметричному циклу (см. с. 248).

В расчетах валов условно принимают, что вращающий момент и напряжения от кручения изменяются по пульсаци-онному циклу.

Расчет на сопротивление усталости также ведут в форме определения запаса прочности. Если амплитуда и средние нап­ряжения возрастают при нагружении пропорционально, то за­пас прочности находят из обычного соотношения (см. с. 257)

(24.3)

где и n_T — запасы по нормальным и касательным напря­жениям,

(24,4)

В равенствах (24.4): и пределы выносливости стандартных образцов соответственно при симметричном из-

Таблица 24.1. Механические характеристики основных материалов
Марка стали	Диаметр заготовки, мм (не более)	Твер- дость НВ, не менее						Коэффи- циенты
			МПа
Ст5	Не ограни-	190	520	280	220		130	0	0
	чен
45	Не ограни-
	чен	200	560	280	250		150	0	0
	120	240	800	550	350		210	0,1	0
	80	270	900	650	380		230	0,1	0,05
40Х	Не ограни-
	чен	200	730	500	320		200
	200	240	800	650	360		210	0,1	0,05
	120	270	900	750	410		240
20	60	145	400	240	170		100	0	0
20Х	120	197	650	400	300		160	0.05	0
12ХНЗА	120	260	950	700	420		210	0.1	0,05
12Х2Н4А	120	300	1100	850	500		250	0,15	0,1
18ХГТ	60	330	1150	950	520		280	0,15	0,1

Таблица 24.2. Эффективные коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и кручении валов в месте кольцевой канавки (см. рис. 24.5, а)

Коэф­фици­енты	-	При r/d
	МПа	0,01	0,03	0,05	0,1	0,01	0,02	0,03
			При	t/r = 0,5		При t/г =2
	600	1,98	1,82	1,71	1,52	2,43	2,32	2.22
	800	2,09	1,92	1,82	1,59	2,56	2,45	2,35
	1000	2,20	2,02	1,93	1,66	2,70	2,58	2,47
	1200	2,31	2,12	2,04	1,73	2,84	2,71	2,59
			При	t/r=1		При t/r =3
	600	2,21	2,03	1,91	_	2,56	2,42	_
	800	2,37	2,14	2,03	_	2,73	2,56	-
	1000	2,45	2,25	2,15	_	2,90	2,70
	1200	2,57	2,36	2,27	-	3,07	2,84	-
k	600	1,80	1,60	1,46	1,23	_	_	_
	800	2,00	1,75	1,57	1,28	_	_	-
	1000	2,20	1,90	1,69	1,34	_	_	—
	1200	2,40	2,05	1,81	1,40	—	—	—

гибе и кручении (табл. 24.1);, и т_а, - амплитуды переменных напряжений цикла при изгибе и кручении;- и — средние напряжения цикла при изгибе и кручении; к_а и /с, — эффек­тивные коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и кручении (табл. 24.2-24.4); .и- коэффициенты масштаб­ного эффекта (табл. 24.5); (_о и - коэффициенты, учи­тывающие состояние поверхности (технологию изготовления и обработку вала) при изгибе и кручении (табл. 24.6); \|/ и \|/_г — коэффициенты, характеризующие чувствительность мате­риала к асимметрии цикла напряжений (см. табл. 24.1).

В приближенных расчетах принимают \|/ = \|/_г = 0,1 -г 0,2 для углеродистых сталей при _в < 500 МПа; \|/_о = \|/_T = 0,2 -0,3 для легированных и углеродистых сталей при _в > 500 МПа.

Амплитуды и средние напряжения циклов нормальных и касательных напряжений с учетом сделанного выше замечания о характере циклов нормальных и касательных напряжений

(24.5)

Таблица 24.3. Эффективные коэффициенты концентрации напряжений в ступен­чатом переходе с галтелью (см. рис. 24.5,6)

Коэффи-						При r/d
циент	МПа	0,01	:	0,03	0,05		0,1	0,01		0,02			0,05
			При t/r = 1					При		t/r = 3
	600	1,38		1,67	1,64		1,50	1,94		2,02			2,03
	800	1,41		1,76	1,73		1,61	2,03		2,13			2,16
	1000	1,45		1,84	1,83		1,72	2,12		2,25			2,30
	1200	1,49		1,92	1,93		1,83	2,21		2,37			2,44
			При t/r = 2					При		l/r=5
	600	1,57		1,88	1,82		_	2,17		2,23			_
	800	1,62		1,99	1,95		_	2,28		2,38			_
	1000	1,67		2,11	2,07		_	2,39		2,52			—
	1200	1,72		2,23	2,19		-	2,50		2,66			-
Кt			При t/r = 1					При		t/r=Ъ
	600	1,29		1,42	1,44		1,39	1,59		1,66			1,68
	800	1,30		1,45	1,47		1,43	1,64		1,72			1,74
	1000	1,31		1,48	1,51		1,46	1,68		1,79			1,81
	1200	1,32		1,52	1,54		1,50	1,73		1,86			1,88
			При t/r = 2					При		t/r =5
	600	1,40		1,57	1,57		_	2,24		2,12
	800	1,43		1,61	1,62		_	2,37		2,22			—
	1000	1,46		1,66	1,68		-	2,48		2,31			-
	1200	1,47		1,71	1,74		-	2,6		2,4			—

Таблица 24.4. Эффективные коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и кручении валов

МПа	Тип концентратора
	Шлицы		Шпоночная канавка		Резьба		Поперечное отверстие
	ко	к*Т	к**	кТ	к	кТ		к Т
600 800 1000 1200	1,55 1,65 1,72 1,75	2,36/1,46 2,55/1,58 2,70/1,58 2,80/1,60	1,46/1,76 1,62/2,01 1,77/2,26 1,92/2,50	1,54 1,88 2,22 2,39	1,96 2,20 2,61 2,90	1,54 1,71 2,22 2,39	2,05/1,85 2,10/1,90 2,20/2,00 2,30/2,10	1,80 1,95 1,90 2,00

* В числителе приведены значения для валов с прямобочными шли­цами, в знаменателе — для эвольвентных шлицев.

** В числителе приведены значения для канавок, полученных пальцевой фрезой, в знаменателе — дисковой.

*** В числителе приведены значения для валов с диаметром отверстия

а = (0,05 -0,15)d, в знаменателе - при а =(0,15 -0,25)d

Таблица 24.5. Коэффициенты и

Напряжен. сост		Значения Е при диаметре вала, мм
и материал		15	20	30		40	50		70		100	200
Изгиб для углеродистых сталей Изгиб для высокопрочной углеро­дистой стали и кручение для всех сталей		0,95 0,87	0,92 0,83	0,S8 0,77		О,85 0,73	О,81 О,70		0,76 0,65		0,70 0,59	0,61 0,52
Таблица 24.6. Коэффициент В npи изгибе и кручении (Во=Вт)
Вид обработки		Знамения В						ДЛЯ	валов
	(сердцевина), МПа	гладких			при =1,5					при =1,8-2
Точение Шлифование	800-1200	1,1-1,2			-					-
Закалка с нагревом ТВЧ	600-800 800-1200	1,5-1,7 1,3-1,5			1,6-1,7 -					2,4-2,8
Азотирование	900-1200	1,1-1,25			1,5- 1,7					1,7-2,1
Цементация	700-800 1000-1200	1,4-1,5 1,2-1,3			- 2					- -
Дробеструйная об­работка	600-1500	1,1-1,25			1,5-- 1,6					1,7-2,1
Обкатка роликом	600-1500	1,2-1,3			1 ,5 - 1,6					1,8-2,0
Примечание. — теоретический концентрации напряжении.

Для обеспечения надежной работы должно быть n = 1,5 — 2,5. Допускаемые значения запасов прочности назначают на основе опыта эксплуатации подобных конструкций и т.д

Для повышения сопротивления усталости валов используют различные методы упрочнения поверхносхтным пластическим деформированием.

Прочность при нестационарных нагрузках .Если вал Работает при нестационарных нагрузках, то растет на прочность ведут по эквивалентному напряжению

(26,4)

где N_o - число циклов, соответствующее точке перегиба кри вой усталости, обычно принимают N_o = (3-5)10⁶ циклов — для валов небольших сечений и N₀ = 10⁷ циклов - для валов больших сечений; n — общее число иагружений при напряже­нии ; 1 — номер ступени нагружения;т — показатель сте­пени кривой усталости, т = 9 для обычных конструкций сталь­ных валов.

При известном значении Oэкв запас прочности находится обычным методом. Если окажется, что Оэкв > Omax, то прини­мают Оэкв = Omax так как вал в этом случае работает в зоне неограниченной долговечности (в зоне горизонтального участка кривой усталости).

В заключение отметим, что высокооборотные валы в ряде конструкций работают в условиях изгибных, крутильных и изгибно-крутильных колебаний, вызывающих появление пере­менных напряжений. Эти напряжения могут быть опасными для прочности вала на резонансных режимах работы.

Для предотвращения резонансных колебаний валов прово­дят их расчет на колебания.

Расчет жесткости вала. Упругие перемещения валов ока­зывают неблагоприятное влияние на работу связанных с ними соединений (шлицевых, прессовых и др.), подшипников, зубча­тых колес и других деталей (узлов): увеличивают концентра­цию контактных напряжений и износ деталей, снижают сопро­тивление усталости деталей и соединений, понижают точность механизмов и т. п.

Большие перемещения сечений вала от изгиба могут при­вести к выходу из строя конструкции вследствие заклинива­ния подшипников. Изгибная и крутильная ^жесткость валов существенно влияет на частотные характеристики системы при возникновении изгибных и крутильных колебаний.

При проектировании валов следует проверять прогибы и углы поворота сечений. Их вычисляют, используя интеграл Мора или по правилу Верещагина.

Допускаемые величины перемещений (прогибов и углов поворота) сечений вала зависят от требований, предъявляемых к конструкции, и особенностей ее работы.

Допускаемые величины углов поворота сечения вала в ме­стах расположения деталей (в рад):

Подшипников качения:

шариковых однорядных . . ............ 0,005

шариковых сферических.............. 0,05

роликовых цилиндрических............. 0,0025

роликовых конических............... 0,0016

Подшипников скольжения.............. 0,001

Зубчатых колес......................... 0,001-0,002

Максимальный прогиб валов, несущих зубчатые колеса, обычно не должен превышать 0,0002 - 0,0003 от расстояния между опорами, а допускаемый прогиб под колесами состав­ляет 0,01m — для цилиндрических и 0,005m — для конических, гипоидных и глобоидных передач (здесь т — модуль зуба).

Допускаемые углы закручивания валов также зависят от требований и условий работы конструкции и лежат в пре­делах 0,20 — 1° на 1 м длины вала.