§ 2. Кинематика зубчатых передач

Основной кинематической характеристикой зубча­той передачи (рис. 20.4) является передаточное отношение

Рис. 20.4. Кинематическая схема двухступенча­той зубчатой передачи

(20.1)

выражающее отношение угловых скоростей ω₁ и ω₂ колес при пере­даче движения от колеса 1 к коле­су 2. При передаче движения от ве­дущего колеса к ведомому индекс 12 при i часто опускают.

Зубья равномерно расположены на теле колеса и поворотведущего колеса на один зуб вызывает поворот ведомого колеса тоже на один зуб. Несложно убедиться, что

Отношение числа зубьев большего колеса к числу зубьев меньшего колеса (шестерни) называют передаточным числом и. Передаточное число либо равно передаточному отношению, либо является его обратной величиной.

По геометрическим и конструктивным соображениям желательно, чтобы колесо имело не меньше 10—13 зубьев и не больше 100—130 зубьев. При этом передаточное отношение зубчатой пары в среднем составит от 10 до 0,1. Если необ­ходимо передаточное отношение, выходящее за эти пределы, применяют несколько последовательно расположенных зубча­тых пар — ряд зубчатых колес.

Предположим, что требуется передать движение от вала 1 к валу 3 (см. рис. 20.4) с передаточным отношением, выхо­дящим за пределы, допускаемые одной парой колес. Тогда, располагая между этими валами вал 2 и закрепляя на валах колеса z₁ z₂, z₃ и z₄, получим ряд зубчатых колес, состо­ящий из двух ступеней; z₁ и z₂ и z₃ и z₄.

Если угловая скорость вала 1 равна ω₁, то угловая ско­рость вала 2

Угловая скорость вала 3

учетом этих равенств получим

Таким образом, угловая скорость ведомого вала ряда рав­на угловой скорости ведущего вала, умноженной на дробь, в числителе которой произведение числа зубьев ведущих колес ступеней, а в знаменателе — произведение чисел зубьев ведо­мых колес.

Общее передаточное отношение ряда

(20.2)

равно произведению передаточных отношений отдельных пар колес (ступеней).

§ 3. Элементы теории зацепления передач

Рассмотрим передачу вращения двумя звеньями (рис. 20.5). Если предположить, что звенья 1 и 2 являются абсолютно твердыми (недеформируемыми) телами, то, действуя друг на друга в точке С контакта, они будут вращаться в противоположные стороны с угловыми скоростями ω₁, и ω₂. Найдем соотношение между этими скоростями.

Окружные (линейные) скорости точки С на каждом из звеньев

Проведем в точке С кон­такта нормаль п — п и касатель­ную τ — τ к профилям звеньев и разложим скорости v_cl и v_c2 на нормальные и касательные составляющие.

Тогда нормальные состав­ляющие скоростей (см. рис. 20.5)

(20.3)

Рис. 20.5. Передача вращения двумя звеньями

где α_Ci- — угол между абсолютной скоростью точки контакта тела v_Ci и нормалью к профилю в этой же точке, числен­но равен углу между радиусом O_iC и перпендикуляром O_iN_i опущенным из центра вращения звена O_i на нормаль п — п. Условие контакта тел будет обеспечено лишь при равен­стве нормальных составляющих скоростей

что вытекает из равенства координат сопряженных (имеющих общую внешнюю нормаль) точек контакта.

Последнее равенство с учетом зависимостей (20.3) дает

Если соединить прямой центры О₁ и О₂ и обозначить через П точку пересечения этой прямой с нормалью п — п, то из подобия полученных треугольников O₁N₁П и O₂N₂П следует, что

(20.4)

Зависимость (20.4) выражает собой основной закон зацеп­ления: нормаль к профилям в точке контакта делит расстоя­ние между центрами (межцентровое расстояние) на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям звеньев. Суще­ственно, что при постоянном передаточном отношении (i₁₂ = const) и зафиксированных центрах О₁ и О₂ точка П будет занимать на линии центров неизменное положение. Отсюда или из равенства (20.4) следует, что для обеспечения постоян­ства передаточного отношения в процессе зацепления профили звеньев должны быть подобраны так, чтобы в любом поло­жении профилей нормаль в точке их контакта пересекала бы линию центров в одной и той же точке П. Эта точка, таким образом, оказывается неподвижной в пространстве и назы­вается ПОЛЮСОМ.

Теоретически один из профилей зубьев может быть выбран произвольно, но для обеспечения условия i₁₂ = const форма профиля второго зуба должна быть вполне определенной. Профили зубьев, зацепление которых обеспечивает постоянное передаточное отношение, называют сопряженными.

Для реальных передач важно использовать профили наи­более технологичные и рациональные при изготовлении и в эксплуатации.

Одним из таких профилей является эвольеентный профиль, широко применяемый при изготовлении зубчатых колес.

Преимуществом эвольвентного зацепления, впервые предло­женного Л. Эйлером, по сравнению с зацеплениями других видов (например, циклоидальным) является высокая техноло­гичность:

а) эвольвентный профиль легче изготовить с высокой точ­ностью, так как эвольвентные зубья могут быть обработаны инструментом с прямолинейной режущей кромкой;

б) эвольвентные профили нечувствительны к отклонениям межцентрового расстояния и поэтому не изменяют закона движения и передаточного отношения передачи.

Используют и другие виды зацеплений (циклоидальное, цевочное, часовое и т. д.). Среди «неэвольвентных» зацеплений наибольшее распространение получило зацепление Новикова (см. с. 337), характеризуемое высокой прочностью зубьев.

§ 4. ЭВОЛЬВЕНТНОЕ ЗАЦЕПЛЕНИЕ Основные сведения. Эвольвентой (от латинского сло­ва evolvens) называют плоскую кривую, являющуюся разверт­кой другой плоской кривой, называемой эволютой. Для обра­зования зубьев колес в качестве эволюты используют окруж­ность, называемую основной (d_b — диаметр основной окруж­ности). Эвольвенту этой окружности будет описывать любая точка прямой линии (производящей прямой), перекатываемой по ней без скольжения (рис. 20.6). Предельная точка М эволь­венты лежит на основной окружности. Используя известные из дифференциальной геометрии соотношения для определения

Рис. 20.6. К образованию эвольвент­ного профиля

Рис. 20.7. Сопряженные профили