Батыгин&co
.pdf630 |
Приложения |
где п — целое, функции Jn(x) |
и J-n{x) = (—l)n Jn (x) линейно зависи- |
мы, и тогда в качестве общего решения можно взять, например, линейную
комбинацию Jn и Nn.
Цилиндрические функции от чисто мнимого аргумента называются модифицированными функциями Бесселя. При целом п они определяются равенствами:
In(x) = rnJn(ix), Kn(x) = | Г " (П 3.5)
Функция Кп(х) называется функцией Макдональда.
В физических задачах часто требуется знать приближенный вид цилиндрических функций при малых и больших значениях аргумента. При |х| <?С1 имеем:
Jp(x) |
|
2nnV |
|
In{x) |
2nnV |
|
|
|
|
||
2"(n - 1)! |
|
|
|
|
(П3.6) |
Kn{x) |
и |
|
|
|
|
7ГХ" |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
гдеп ^ 1, In7 = 0,5772. |
|
|
|
|
|
Выражения для функций Ханкеля при |
|х| |
1 могут быть получены |
|||
из (П3.6) с помощью (П3.4). В частности, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(П3.7) |
Асимптотические выражения для цилиндрических функций (|х| » 1):
(П3.8)
7ГХ
х
3. Цилиндрические функции |
631 |
г(1,2^
Между функциями Jp, Npn Нр ' ' (общий символ Zp ), а также /„, Кп существуют следующие соотношения:
|
|
|
|
|
|
|
(П3.9) |
|
Zp_1(x)-Zp+1(x) |
= 2Z'p(x), |
Z'0{x) = -l |
|
|||
|
|
|
|
|
|
= |
2I'p(x), |
|
|
|
|
|
|
|
(П3.10) |
Кр-1(х) +Кр+1(х) = |
-2К'р(х). |
|
|
|
|||
Функции Бесселя могут быть представлены в виде интегралов |
|||||||
|
|
a+2ir |
|
|
a+2ir |
|
|
J ' |
1 |
Г |
|
( — i ) n |
Г |
|
|
/-Л i. |
I „i(2sin<р—nip) |
dm ' ' |
J |
0i{xcoBip—тир\ |
-j,- ^TT о 11 \ |
||
|
27Г |
J |
|
27Г J |
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
где a —любое вещественное число. |
|
|
|
||||
|
Интегралы с функциями Бесселя могут быть вычислены с помощью |
||||||
формул (П3.9), (П 3.10). В частности, |
|
|
|
||||
г |
|
|
г |
|
|
|
|
J |
p |
p - |
> J |
p |
|
p+i i |
• |
|
J xJp(ax)Jp(0x)dx |
= — — |
•2_^2 |
(П3.13) |
|||
|
|
|
|
|
/3 -Q |
|
|
|
В настоящем сборнике задач используются также следующие инте- |
||||||
гральные формулы (ReА;> 0): |
|
|
|
||||
|
|
|
2 = / e-kWj0 |
|
(П3.14) |
||
|
oo |
cospxdx |
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
(П3.15) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
Jo(xr)xdx = |
K0(kr). |
|
|
(П3.16) |
|
|
/ |
X2 + k2 |
|
|
|
|
|
632 |
Приложения |
Сферические функции Бесселя первого рода и сферические функции Ханкеля первого и второго рода (общий символ zi(x)) определяются равенствами:
:). (П3.17)
При малых х:
ji(x) = / 2 ; + П!!' hlh2)(x) |
Расходится какж"'" 1 . |
(П 3.18) |
При больших х:
ji(x) |
=± cos [ж 2—^j, |
1 |
X |
Если R = |г — r'l (см.рис.7),то имеет место разложение:
^=4nikJ2ji(br')h\1)(kr)Ylm(#,a)Yl*m(d',a') |
(г > г'). (П3.20) |
Функции z/(fcr)Y/m(i9,a) являются частными решениями волнового уравнения для монохроматических волн А<р + к^ср = 0. Последнему уравнению удовлетворяют также суперпозиции функций указанного вида.
ЛИТЕРАТУРА
Иваненко Д. Д., Соколов А. А. [57], Гельфанд И. М, Минлос Р. А., Шапиро 3. Я. [31], Лебедев Н. Н. [68], Гобсон Е. В. [39], Грей Э., Мэтьюз Г. Б. [44], Розет Т. А. [89], Стрэттон Дж. А. [100], Рыжик И. М., Градштейн И. С. [90], Двайт Г. Б. [50], Янке Е., Эмде Ф. [119].
ЛИТЕРАТУРА
[1]А б р а г а м-Б е к к е р, Теория электричества, ГОНТИ, 1939.
[2]А л ь в е н Г., Ф е л ь т х а м м а р К. Г., Космическая электродинамика, «Мир», 1967.
[3]А л ь п е р т Я. Л., Г и н з б у р г В. Л., Ф е й н б е р г Е. Л., Распространение радиоволн, Гостехиздат, 1953.
[4]А р ц и м о в и ч Л. А., Управляемые термоядерные реакции, Физматгиз, 1961.
[5]А х и е з е р А. И., Б а р ь я х т а р В. Г., К а г а н о в М. И.,Спиновые волны в ферромагнетиках и антиферромагнетиках, УФН 71, в. 4, 533 (1960).
[6]А х и е з е р А. И., Б е р е с т е ц к и й В. Б., Квантовая электродинамика, Физматгиз, 1959, изд. 2-е; «Наука», 1969, изд. 3-е.
[7]А х и е з е р А. И., Ф а й н б е р г Я. Б., Медленные электромагнитные волны, УФН 44, в. 3, 321 (1951).
[8] Б а л д и н А. М., Г о л ь д а н с к и й В. И., Р о з е н т а л ь И. Л., Кинематика ядерных реакций, Физматгиз, 1959.
[9]Б а с о в Н.Г., К р о х и н О. Н., П о п о в Ю. М., Генерация, усиление и индикация инфракрасного и оптического излучения с помощью квантовых систем, УФН 72, в. 2, 161 (1960).
[10]Б е й т м е н Г., Математическая теория распространения электромагнитных волн, Физматгиз, 1958.
[11](Бейтме н |
Г., Э р д е л и |
А., М а г н у с В., |
О б е р х е т т и н - |
|
гер Ф., |
Т р и к о м и |
Ф.) |
Bateman H., Erdelyi |
A., Magnus W., |
Oberhettingen R, Tricomi |
R, Higher Transcendental |
Functions, v. I, II, |
||
McGraw-Hill Book Company, Inc., 1953. |
|
|||
[12]Б е к к е р Р., Электронная теория, ГОНТИ, 1936.
[13]Б е р г м а н П. Г., Введение в теорию относительности, ИЛ, 1947.
Литература |
635 |
[32]Г и н з б у р г В. Л., Некоторые вопросы теории излучения при сверхсветовом движении в среде, УФН 69, в. 4, 537, 1959.
[33]Г и н з б у р г В. Л., Распространение электромагнитных волн в плазме «Наука», 1967.
[34] |
Г и н з б у р г |
В. Л., М о т у л е в и ч Г. П., Оптические свойства ме- |
||
|
таллов, УФН 44, в. 3, 321 (1951). |
|
|
|
[35] |
Г и н з б у р г |
В. Л., С а з о н о в В. Н., |
С ы р о в а т с к и й |
С И . , |
|
О магнитотормозном (синхротронном) излучении и его реабсорбции, |
|||
|
УФН 94, в. 1, 63 (1968). |
|
|
|
[36] |
Г и н з б у р г |
В. Л., С ы р о в а т с к и й |
С И . , происхождение кос- |
|
|
мических лучей, Изд. АН СССР, 1963. |
|
|
|
[37] |
Г и н з б у р г |
В. Л., Ф р а н к И. М., Об эффекте Доплера при сверх- |
||
|
световой скорости, ДАН СССР 56, в. 6 (1947). |
|
||
[38] |
Г и н з б у р г |
В. Л., Ф р а н к И. М., Излучение равномерно движу- |
||
|
щегося электрона, возникающее при его переходе из одной |
среды |
||
в другую, ЖЭТФ 16, в. 1 (1946).
[39]Г о б с о н Е. В., Теория сферических н эллипсоидальных функций, ИЛ, 1952.
[40] Г о в о р к о в В. А., К у п а л я н С. Д., Теория электромагнитного поля в упражнениях и задачах, «Сов. радио», 1957.
[41]Го л д с т е й н Г., Классическая механика, Гостехиздат, 1957.
[42]Г о л ь д ш т е й н Л. Д., 3 е р н о в Н. В., Электромагнитные поля
иволны, «Сов. радио», 1956.
[43]Г о р е л и к Г. С, Колебания и волны, Физматгиз, 1959.
[44]Г р е й Э., М э т ь ю з Г. Б., Функции Бесселя и их приложения к физике и механике, ИЛ, 1953.
[45]Г р и н б е р г А. П., Методы ускорения заряженных частиц, Гостехиздат, 1950.
[46]Г р и н б е р г Г. А., Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений, Изд. АН СССР, 1948.
[47]Г у р е в и ч А. Г., Полые резонаторы и волноводы, «Сов. радио», 1952.
[48]Г у р е в и ч А. Г., Ферриты на сверхвысоких частотах, Физматгиз, 1960.
636 |
Литература |
[49]Г у р е в и ч Л. Э., Электродинамика, Изд. ЛГУ, 1940.
[50]Д в а й т Г. Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы, ИЛ, 1948.
[51]Д е - Б р о й л ь Л., Электромагнитные волны в волноводах и полых резонаторах, ИЛ, 1948.
[52]Д ж е к с о н Дж., Классическая электродинамика, «Мир», 1965.
[53]Д ж е л л и Дж., Черенковскоеизлучение и его применения,ИЛ, 1960.
[54]З о м м е р ф е л ь д А., Электродинамика, ИЛ, 1958.
[55]З о м м е р ф е л ь д А., Оптика, ИЛ, 1953.
[56]З о м м е р ф е л ь д А., Строение атома и спектры, т. I, Гостехиздат, 1956.
[57] И в а н е н к о Д. Д., С о к о л о в А. А., Классическая теория поля, Гостехиздат, 1951.
[58]К е л ь м а н В. М., Явор С.Я.,Электронная оптика,Изд.АНСССР,
1959.
[59]К и т т е л ь Ч., Введение в физику твердого тела, Гостехиздат, 1957.
[60]Ко м п а н е е ц А. С, Теоретическая физика,Гостехиздат, 1957.
[61]К о н т о р о в и ч М . И.,Операционноеисчисление инестационарные явления в электрических цепях, Гостехиздат, 1955.
[62]Ко ч и н Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, Изд. АН СССР, 1951.
[63]К р и в о г л а з М., А., Теория рассеяния рентгеновских лучей итепловых нейтронов реальными кристаллами, «Наука», 1967.
[64] Ландау |
Л. Д., Лифшиц |
Е. М., Механика, Физматгиз, 1958. |
|
[65] Ландау |
Л. Д., Лифшиц |
Е. М., Теория поля, «Наука», 1967. |
|
[66] Ландау |
Л. Д., |
Л и ф ш и ц |
Е. М., Электродинамика сплошных |
сред, Гостехиздат, |
1957. |
|
|
[67] (Ландау |
Л. Д., Лифшиц |
Е. М.), Landau L., Lifshitz E., On the |
|
theory of the dispersion of magnetic permeability in ferromagnetic bodies, Phys. Zs. d. Sowijetunion 8, №2, 153 (1935).
[68]Л е б е д е в Н. Н., Специальные функции и их приложения, Гостехиздат, 1953.
Литература |
637 |
[69]Л е б е д е в Н. Н., С к а л ь с к а я И. П., У ф л я н д Я. С, Сборник задач по математической физике, Гостехиздат, 1955.
[70] Л е в и ч |
В. Г., Курс теоретической физики,т. I, Физматгиз, 1962. |
||
[71] |
Л е в и ч |
В. Г., В д о в и й |
Ю. А., М я м л и н В. А., Курс теорети- |
|
ческой физики,т. II, Физматгиз, 1962. |
||
[72] |
Л е ф ф е р т К., Д о н а й е |
Т., Парадокс часов и физика разрывных |
|
|
гравитационных полей, УФН 69, в. 1. 111 (1959). |
||
[73]Л и в и н г с т о н М. С, Ускорители. Установки для получения заряженных частиц больших энергий, ИЛ, 1956.
[74] |
Л о н г м а й р К., Физика плазмы, Атомиздат, 1966. |
[75] |
( Л о н д о н Ф.) London E, Superfluids, v. I, New York, 1950; см. также |
Ш е н б е р г Д., Сверхпроводимость, ИЛ, 1955.
[76]М а н д е л ь ш т а м Л. И., Полное собрание трудов, т. V, Лекции по теории относительности, Изд. АН СССР, 1950.
[77]( М а р к с Г., Д ь ё р д ь и Г.) Marx G., Dyorgyi G., Uber den Energie- Impuls-Tensor des electromagnetischen Feldes in Dielektrika, Ann. d. Phys., ser. 6, 16, №5-8, 241 (1955).
[78]М и к а э л я н А. Л., Магнитное вращение плоскости поляризации на сантиметровых волнах, УФН 51, в. 2, 213 (1953).
[79]М и н к о в с к и й Г , Пространство и время, УФН 69, в. 2,303 (1959).
[80]М о р р и с о н Ф., Ядерные реакции, в сб. «Экспериментальная ядерная физика» под ред. Э. Сегре, т. II, ИЛ, 1955.
[81] М о р с Ф. М., Ф е ш б а х Г., Методы теоретической физики, ИЛ,
т. I, 1958; т. II, 1960.
[82]Н о р т р о п Т., Адиабатическая теория движения заряженных частиц, Атомиздат, 1967.
[83]О к у н ь Л. Б., Слабое взаимодействие элементарных частиц, Физматгиз, 1963.
[84]О ' Н е й л Э., Статистическая оптика, «Мир», 1967.
[85]П а й н с Д., Элементарные возбуждения в твердых телах, «Мир», 1965.
[86]( П а н о в с к и й В., Ф и л и п с М., Классическая электродинамика, Физматгиз, 1963.
638 |
Литература |
[87] Паул и |
В., Теория относительности, Гостехиздат, 1947. |
[88]П е т р у н ь к и н В. Ю., Электромагнитные колебания, ч. III, изд. Ленинградского политехнического института, 1959.
[89]Р о з е т Т. А., Элементы теории цилиндрических функций с приложениями к радиотехнике, «Сов. радио», 1956.
[90] Р ы ж и к И. М., Г р а д ш т е й н И. С, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Физматгиз, 1963.
[91]С и л и н В. П., Р у х а д з е А. А., Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред, Госатомиздат, 1961.
[92] С к а ч к о в СВ., К о н с т а н т и н о в Л. В., С т р о г а н о в а Р.П., Ю р о в а Л. Н., Т о п о р к о в а Э. П., Сборник задач по ядерной физике, Гостехиздат, 1958.
[93]С м а й т В., Электростатика и электродинамика, ИЛ, 1954.
[94]С м и р н о в В. И., Курс высшей математики, т. II, Физматгиз, 1958.
[95]С м и р н о в В. И., Курс высшей математики, т. 111, ч. 1, Физматгиз, 1958.
[96] С м о л е н с к и й Г. А., Г у р е в и ч |
А. Г., Ферромагнитные полу- |
проводники, в сб. «Полупроводники |
в науке и технике» под ред. |
А.Ф.Иоффе, т. II, Изд. АН СССР, 1958.
[97]С о к о л о в с к и й Ю. И., Теория относительности в элементарном изложении, Изд. ХГУ, 1960.
[98]С п и т ц е р Л., Физика полностью ионизированного газа, «Мир», 1965.
[99]С т р о у к Дж., Введение в когерентную оптику и голографию, «Мир», 1967.
[100] С т р э т т о н Дж. А., Теория электромагнетизма, Гостехиздат, 1948.
[101]Т а м м И. Е., Основы теории электричества, «Наука», 1966.
[102]Та мм И. Е., Общие свойства излучения, испускаемого системами, движущимися со сверхсветовыми скоростями, и некоторые приложения к физике плазмы, УФН 68, в. 3, 387 (1959).
[103]Т а м м И. Е., Ф р а н к И. М., Когерентное излучение быстрого электрона в среде, ДАН СССР 14, 107 (1937).
Литература |
639 |
[104] Т и х о н о в А. Н., С а м а р с к и й А. А., Уравнения математической физики, Гостехиздат, 1953.
[105]( Ф е р м и Э.) Fermi E., Ionisation energy losses in gases and condenced media, Phys. Rev. 57, 485 (1940).
[106] Ф е й н м а н Р., Л е й т о н Р., С э н д с М., Фейнманские лекции по физике, «Мир», в. 1,2, 3, 4, 1965; в. 5, 6, 7, 1966.
[107]Ф о к В. А., Теория пространства, времени и тяготения, Физматгиз, 1961.
[108]Ф р а н к И. М., Оптика источников света, движущихся в преломляющих средах, УФН 68, в. 3, 397 (1959).
[109]Ф р а н к - К а м е н е ц к и й Д. А., Лекции по физике плазмы, Атомиздат, 1964.
[110]Ф р е л и х Г., Теория диэлектриков. Диэлектрическая проницаемость
идиэлектрические потери, ИЛ, 1960.
[111]Ф р е н к е л ь Я. И., Электродинамика, т. I, Общая теория электричества, ГОНТИ, 1934; Собрание избранных трудов, т. 1, изд. АН СССР,
1956.
[112]Ф р е н к е л ь Я. И., Электродинамика, т. II,Макроскопическая электродинамика материальных тел., ГОНТИ, 1935.
[113]Ц ы т о в и ч В. Н., Нелинейные эффекты в плазме, «Наука», 1967.
[114]Ч е л л е н Г., Физика элементарных частиц, «Наука», 1966.
[115]Ш и м о н и К., Теоретическая электротехника, «Мир», 1964.
[116]Ш и ф р и н К. С, Рассеяние света в мутной среде, Гостехиздат, 1951.
[117]Э й н ш т е й н А., Сущность теории относительности, ИЛ, 1955.
[118]Э й х е н в а л ь д А. А., Теоретическая физика, ч. 6, Электромагнитное поле, ГОНТИ, 1931.
[119]Я н к е Е., Э м д е Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми, Физматгиз, 1959.
[120]Ф р а н с о н М., С л а н с к и й С, Когерентность в оптике, «Наука», 1967.