длина волны внутри шара велика по сравнению с его радиусом. В случае идеально проводящего шара, распространения волны внутри шара не происходит, и достаточно, чтобы выполнялось условие a -С А, где А — длина волны в веществе, окружающем шар.
461. Так же, как и в задаче 458, нужно рассмотреть излучение индуцированных электрического р и магнитного m моментов. Выберем систему координат, как показано на рис. 86. Вектор к первичной волны лежит в плоскости xz. Рассмотрим
Рис. 86 два случая поляризации падающей волны: а) вектор Ео лежит в плоскости падения xz; б) вектор Е о нормален к плоскости падения.
В случае а) компонента внешнего электрического поля, продольная относительно плоскости диска: Е$\\ = —EQX= -Eocosa; поперечная компонента: Ео± = —Eoz= Ео sin a. Электрический момент р в рассматриваемом приближении (а <С А) можно вычислить как статический момент проводящего диска в однородном электрическом поле.
Согласно результатам задач 197, 199, продольная поляризуемость диска: /?е|| = 4г-, а поперечная поляризуемость: 0е± = 0. Поэтому
рх = 0е\\ЕОх = —^Еоcosa, py = pz = 0.
Магнитное поле имеет только продольную составляющую. Но продольная магнитная поляризуемость диска равна нулю (см. задачу 390), поэтому m = 0.
Дифференциальное сечение рассеяния
dcra = ± ^ ф £ cos2 a ( l -
sin21? cos2 <p) dSl.
(1)
97ГС4
Полное сечение рассеяния
cra =
128a6w4 „„„2
(2)
27тгс4
cos a.
§3. Дифракция
421
В случае б) имеем
ру = -JT—EQ,
рх =Pz = 0,
mz
= -о~Ео sin а,
тх = ту = О;
das = 1 6 а ^
[l + sin21? Q
sin2
а - sin2 <Л + sin i?sin a cos<p] du, (3)
Для неполяризованной волны, с помощью (1),(2) и (3),находим
£. U + Sin2 tf (1 -
I Sin2 a
- sin2
а cos2
C
L
\
4
+ cos2
a + sin i?sin a cosip du, (4)
= 128a6a;4
277ГС4
...
,
aW(£-l)2 ., , 2
., ,_
.
462.
dos
=
•j-z—— (1 + cos 17) as2, где v — угол рассеяния,
18c£
87ra4/i2w4(e - I)2 27cV
463. Выберем координатную систему, как показано на рис. 87. Вектор к первичной волны лежит в плоскости xz. Цилиндр аппроксимируем вытянутым эллипсоидом вращения с полуосями а и h. Как следует изрешений задач 197, 198, 390,продольная электрическая поляризуемость сильно вытянутого эллипсоида вращения по порядку величины в h/a раз больше его поперечных электрической и магнитной поляризуемостей. Поэтому сечение рассеяния существенно зависит от того, имеется ли продольная составляющая электрического поля в падающей волне.
Если эта составляющая имеет заметную величину, то вторичное излучение обусловлено г-компонентой электрического дипольного момента. Остальными компонентами электрического момента и магнитным моментом можно пренебречь. Выбирая Е о в плоскости xz, получим
dos =
г
sin2 a sin2
9c4ln2(/i/a)
os=
4 2l ( / )
s
*™lh« sin2 a.
27c4ln2(/i/a)
422
Глава VIII
Если продольная компонента Бо равна нулю, рассеяние обусловлено поперечной составляющей электрического момента и магнитным моментом, имеющими одинаковый порядок величины. В этом случае
daa = 2-9сЬ-4У-[(i + 2nx sin a ) 2 + 3 cos2 a + +n 2 (4 — sin 2 a)+8n z cosa+2n x n z sin2a] du,
где п\ (г =
х, у, z)
— компоненты единичного
вектора, указывающего направление рассеяния.
Рис. 87
Сечения рассеяния неполяризованной вол-
ны:
dV
18c4ln2(/i/a) •sin2c*sin2$,'
as* =
27c4ln2(/i/a) sin2 a.
464. Вектор Бо поляризован в плоскости xz (рис. 87):
x sin2 a - -(e + l)nxnz sin 2a\ du.
Вектор Бо поляризован нормально к плоскости xz:
465. Полную напряженность электрического поля в некоторой точке пространства можно представить в виде
Здесь
§ 3. Дифракция
423
— поле падающей волны, Е'(г,t) — поле рассеянного (вторичного) излучения.
В каждой точке внутри тела (которое может быть неоднородным)вектор поляризации Р(г, t) пропорционален Е, а приближенно — So, так как рассеянное поле много меньше падающего (Е' -С8 о) при(е —1)/4тг «СI.1
Рассеянное поле Е' может быть выражено через вектор Герца
Z(r, t) = f ^
^ exp[i(kR
- ШГ)\ dV
(2)
(см. гл. XII,формула (XII.13)) формулой
Е' = rotrotZ —4тгР =—.— rotrotSn
=
/ ехр|г(к — kn) • r'l dV'.
4тт
r
J
(3) Разность к — kn представляет собою изменение волнового вектора при
рассеянии; обозначим ее через q (q =2A;sin^, в — угол рассеяния). При вычислении интеграла выберем полярную ось вдоль q, тогда
г/ /м IIj i мл A smqa-qacosqa
. .
exp[r(q • г )]r dr dil= 4тг
1 —.
(4)
Q
При вычислении двойного вихря в(3) оставляем только члены, пропорциональные 1/г:
r o t r o t ^ o — ^ — - =к I n x Со х п ) ] ^ — - .
Окончательно, для рассеянного поля Е' получим
(5)
С" «
где
3(sin q —qacos qa)
м5 :
'Метод, применяемый при решении этой задачи, аналогичен методу Борна в квантовой механике. Последний широко применяется при решении задач о рассеянии частиц квантовомеханическими системами.
424
Глава VIII
Сравним выражение (5) с тем, которое имеет место при малых а (см. задачу 460). Переходя в (5) к пределу qa -С 1, получим
Е' = ^ ^ [ п х ( « о х
п ) ] ^ ,
(6)
так как <p(qa) и 1 при qa -С 1.
С другой стороны, вычисляя Е' по формуле
где
P =
— статический дипольный момент шара, найдем
В (6') вместо множителя 1/3 стоит 1/(е+2). Однако противоречия между (6) и (6') нет, так как (6) справедливо с точностью до 1/(е —1).
Дифференциальное сечения рассеяния
daa(ea)
w 4 o 6 ( e - l ) 2
, . .. ,
,
, л .
^
'
L
Ч>Чча) (sin2
a + cos2
acos2 в)
(7)
(углы в и а обозначены на рис. 85).
Это сечение отличается от сечения рассеяния малой диэлектрической сферой (см. ответ к задаче 460) заменой в знаменателе (е+2)2 на 9 и множителем ip (qa), учитывающим интерференцию вторичных волн от различных элементов сферы. Поэтому степень деполяризации рассеянного света будет такой же, как в случае малой диэлектрической сферы:
р = cos2
9.
(8)
Усреднение по поляризациям дает
daa(9)
_
w 4 o 6 ( e - l ) 2
du
~
lie4
V
Рассмотрим еще случай очень большой сферы, т. е. ка ~Э> 1. Если углы таковы, что и qa » 1, то tp(qa) —» 0, и сечение в этой области углов очень мало. Из явного вида q следует, что qa » 1 эквивалентно условию в » 1/ка; таким образом, если шар велик, то рассеяние происходит вперед в интервал углов в < 1/ка.
§ 3. Дифракция
425
466. При ka ~> 1 функция ip2{qa), входящая в выражение дифференциального сечения (см. предыдущую задачу), заметно отлична от нуля
только в узком интервале углов в ^ •£-.В этом интервале множитель (1 + + cos2 в) может считаться постоянным и равным 2. Поэтому имеем:
Введем новую переменную у = qa = 2kasinO/2. В предельном случае ka ~> 1, получим окончательно:
(Т. =
18с2
Для малого шара (ka <g: 1), заменяя (см. ответ к задаче 460) е + 2 на 3, имеем:
8тги;4а6(£ - I)2
Как видно из этих результатов, сечения по-разному зависят от частоты (
и~ ш2) и от размера шара (~ а6 и ~ а4 ).
467.Исходим из соотношения
= - ^
R« / ( Е х Н*) • nr 2 dfi,
(1)
Ео
J
где п = £, аа — сечение поглощения и интегрирование ведется по поверхности сферы большого радиуса, окружающей рассеиватель. Формула (1) выражает тот факт, что сечение поглощения пропорционально потоку энергии через поверхность сферы, направленному к центру.
Подставляя в (1) выражение для Б из условия задачи и
Н = Яо{(по х e)eikz + [n x F ( n ) ] ^
426
Глава VIII
и используя условие поперечное™ п • F(n) = 0, получим:
1
IFI2
2
Ц IFI
- ^ Re(E х Н*) • п = (по • п) + Ц - +
+ 1[(в • F) + (п0
• п)(е • F) - (е • п)(п0 • F )
]
^
^ +
+ ±[(е* • F*) + (п0
• п)(е* • F*) - (е* • п)(п0 • F
*
)
] ^ ^ . (2)
При интегрировании по углам первое слагаемое даст нуль, а второе — полное сечение рассеяния <тв. Интегралы от остальных слагаемых могут быть преобразованы с помощью интегрирования по частям:
£ /"(no-n)
2ir
• n)(e •
n ) ( e
Последний интеграл при повторном интегрировании по частям дает члены, пропорциональные 1/г, и поэтому может быть отброшен. Кроме того, нужно отбросить член с осциллирующим множителем е2гкг, так как он дает нулевой вклад в полный поток энергии. Чтобы убедиться в этом, учтем, что представление о строго монохроматической волне является идеализацией. В действительности, всякая реальная «монохроматическая» волна является суперпозицией гармоник, частоты которых лежат в более или менее узком интервале Аи. При усреднении множителя 2гкг по любому такому интервалу получим нуль, так как г очень велико. Поэтому
п)(е • F ) e i f c ^ > r 2 du = ^ [ е • F(n0 )].
Аналогично вычисляются интегралы от других слагаемых. Члены, содержащие множители (е • п) и (е* • п), при интегрировании не дадут вклада, вследствие того, что (е • по) = 0. Подставляя вычисленные интегралы в (1), получим окончательно
^
(3)
§ 3. Дифракция
427
Оптическая теорема (3) допускает простую физическую интерпретацию: полное сечение дает меру ослабления первичной волны. Это ослабление является результатом интерференции падающей волны с той частью рассеянной волны, которая имеет ту же поляризацию и направление распространения, что и падающая волна. Поэтому полное сечение оказывается связанным с амплитудой рассеяния «вперед».
468. Рассеянная волна создается электрическим и магнитным дипольными моментами, которые индуцируются падающей волной. Амплитуда рассеяния F(n) (см. предыдущую задачу) определяется по формулам (XII.17) и (XII.20).
Окончательный результат:
469. (та--
470. Сила направлена вдоль волнового вектора падающей волны и имеет величину
где 7о — средняя плотность потока энергии в падающей волне и интегрирование производится по всему телесному углу.
471. Для идеально проводящего шара:
-я 43а6о)4 F 2
для диэлектрического шара:
Т= Зс4
472.Применяем дифракционную формулу (VIII.25). В качестве поверхности интегрирования выберем плоскость, в которой находится экран. Тогда на поверхности интегрирования
„ifcHi
dSn
2ir
и = А—=—,
= Зтгг dr cos(R\, z) = 2n-=— dr,
Hi
Hi
428
Глава VIII
где А = const. После подстановки этих выражений в (VIII.25) переходим
кновой переменной интегрирования р = R + R\:
/г
а
Ро
где
Интегрированием по частям можно представить (1) в виде ряда по возрастающим отрицательным степеням кр; условие А <С а позволяет отбросить все члены ряда, кроме первого. Это дает
uP(z) = и0
PO
где uo = Л
e»*V° +zi
— — амплитуда падающей волны на границе экрана.
у/а2
+ z2
Переходя к интенсивности / ~ |ир|2 , имеем
(2)
В точке, симметричной относительно экрана (z\ = z):
2 2
Таким образом, в симметричной точке за экраном, не слишком близкой к нему, будет светлое пятно.
Этот результат, противоречащий представлению о прямолинейном ходе световых лучей, был теоретически предсказан Пуассоном (1818 г.), который выдвигал его в качестве возражения против теории дифракции Френеля и волновой теории света в целом. Однако эксперименты, выполненные Араго и Френелем, подтверждали наличие пятна, появляющегося вследствие симметрии экрана. Волны, огибающие его края, приходят в среднюю точку с одинаковыми фазами. Очевидно, таким свойством обладают все точки, лежащие на средней линии: в этих точках интенсивность света будет значительно больше, чем в соседних, не лежащих на оси z.
§ 3. Дифракция
429
473.
Используя принцип Бабине (см. (VIII.31)), получим
при z =
x » a:
где /о — интенсивность первичной волны на краю отверстия.
474.
При z » а, / = 4/0 sin2 ^-.
Интенсивность света на средней линии круглой диафрагмы осциллирует бесконечное число раз, уменьшаясь до нуля при z —>оо. Убывание интенсивности по оси связано с тем, что параллельный пучок становится из-за дифракции на отверстии расходящимся и поток энергии через отверстие с увеличением z распределяется на все большую площадь.
475. Пользуясь формулой (VIII.30) для дифракции Фраунгофера, находим
т
[аМака)ЬЫЬка)}\„
al = 10
а2г
аи,
где а — угол дифракции, IQ — интенсивность падающего света. В случае круглого отверстия
al =
7ГСГ
•,21|tto|., 2
где IQ ~ 7ra — полная интенсивность падающего на отверстие света.
476. Дифрагированная волна будет описываться функцией
где к' —к = q, qy и qj. — составляющие q в плоскости экрана и в перпендикулярном направлении.
При интегрировании по плоскости отверстия воспользуемся полярными коордииатами с началом в центре отверстия и полярной осью вдоль qy. Это дает
