Батыгин&co

271. Полная магнитная энергия тока, протекающего по проводнику, складывается из двух частей:

где

—энергия, запасенная внутри проводника и интегрирование ведется по объему проводника,

—энергия, запасенная в остальном пространстве.

Предположим, что можно ввести параметр го, имеющий размерность длины и удовлетворяющий условию

где а — радиус проводника, R — радиус кривизны осевой линии проводника (который в общем случае меняется от точки к точке). Тогда на расстояниях, меньших го, магнитное поле можно считать совпадающим с полем бесконечного прямого провода. В частности, внутри провода:

1 5

саг

(см. задачу 242). Это позволяет найти «внутреннюю» энергию W\:

wl = g

Для определения «внешней» энергии W2 построим вспомогательную поверхность 5, опирающуюся на произвольный контур, лежащий на поверхности проводника, и введем скалярный потенциал ф. Скалярный потенциал будет испытывать на 5 скачок

Интеграл, через который выражается W2, можно преобразовать следующим образом:

f(B-H)dV = - [BgradrpdV = - f div(^B)dV = -

(здесь опущен индекс 2 и использовано уравнение div В = 0). В последнем интеграле интегрирование должно проводиться по обеим сторонам вспомогательной поверхности 5 и по поверхности проводника S' (см. рис. 71, на котором изображено сечение проводника некоторой плоскостью). Интеграл по бесконечно удаленной поверхности обращается в нуль вследствие конечных размеров проводника с током. Таким образом,

(5)

Первый из этих интегралов обращается в нуль, так как в силу условия (2) магнитное поле на поверхности S' совпадает с полем прямолинейного провода и имеет, следовательно, только касательную составляющую. Для преобразования других двух интегралов нужно использовать равенство (4) и условие непрерывности компоненты Вп. Получим

На больших расстояниях от провода (г > го) магнитное поле не зависит от

которая опирается на замкнутый контур, лежащий на поверхности проводника. Используя выражение потока через коэффициент взаимной индукции (V.22), получим

С помощью формул (1), (3), (7), используя связь между коэффициентом самоиндукции и магнитной энергией системы, получим требуемую формулу для коэффициента самоиндукции:

(8)

272. Используя результат предыдущей задачи, получим

L' = 47r/ib(lnf - 2 ) ,

где цо — магнитная проницаемость среды, в которой находится проводник. Полная самоиндукция

21А. Используя результат задачи 273, получим

= 8\l- 2\Ja2 + 12 + 2\/2а2

=

275. L = 2цоЬ+ 8fib LIn V2-2 . a(l +

276. Используя прн интегрировании по углам в формуле (V.13) соот-

ение тЩк = h$ik (см. задачу 32), получим:

О

вслучае равномерного объемного распределения заряда,

вслучае равномерного распределения заряда по поверхности,

еа2

т = Ш

279' Hl = ^f^H °'H 2 = ^f^H °'

где Но — поле, создаваемое контуром с током в вакууме, Hi, H2 — поля

всредах с проницаемостями ц\, Ц2-

280.Магнитное поле в среде 1 совпадает с полем, создаваемым в вакууме двумя прямолинейными токами

ток $\ течет по тому же проводу, что и начальный ток $\ ток ^ течет вдоль провода, который является зеркальным изображением первого провода относительно плоскости раздела сред.

Магнитное поле в среде 2 совпадает с полем, которое создается в вакууме током J\ = * J, текущим по тому же проводу, что и начальный

ток J.

281. Векторы поля удовлетворяют во всем пространстве однородным уравнениям rot Н = 0, div В = 0, поэтому можно ввести скалярный потенциал ф (Н = —grad^), который будет удовлетворять уравнению Лапласа. В результате задача магнитостатики сведена к задаче электростатики. Решение имеет вид (см. задачу 149):

внутри шара

H l = ^ 2 H o ;

вне шара

Нг = Но + НдИП, где НдИП — поле, создаваемое магнитным диполем с моментом

Поскольку поле внутри шара однородно, намагниченность постоянна:

н

а( 2) °"

ПЛОТНОСТЬ эквивалентного объемного тока будет поэтому равна нулю:

JMOI = CTOtM = 0.

Плотность поверхностного тока можно определить по формуле

которая получается из (V.3) путем предельного перехода (ср. с выводом граничного условия для Н г из уравнения Максвелла). Подставляя М 2 = О и M i = М, найдем:

4тг(/х + 2) Я 0 sin i?ea .

Интересно отметить, что такой поверхностный ток можно получить, если заставить вращаться вокруг одного из диаметров сферу, заряженную равномерно по поверхности (см. задачу 253).

282. Если направить оси координат вдоль главных осей тензора магнитной проницаемости, то внутри шара компоненты поля будут рав-

Н2 = Но + НдИП, где НдИП — поле магнитного диполя с моментом т , причем

При /xi » /Х2 поле сильно ослабляется (Я «; Щ).

четырех членов в правой части равенства (5) обратятся в нуль, а остальные дадут

или окончательно, если выразить m через постоянную намагниченность,

расстояние от магнита до плоскости, в — угол между m и нормалью к плоскости. При ц з> 1 (мягкое железо в слабом магнитном поле) получим такой же результат, как в случае электрического диполя, находящегося вблизи металлической плоскости (см. задачу 148).

295. Искомые величины можно получить путем замены в ответе к задаче 201 электрических величин на соответствующие магнитные. В частности, при произвольном выборе координатных осей внутреннее поле Hi в эллипсоиде запишется в виде

где М — вектор намагниченности, Nki — коэффициентыразмагничивания (компоненты тензора размагничивающего действия формы). Главные значения этого тензора обозначены в задаче 197 через п^ и называются там коэффициентами деполяризации.

296. Формула, приведенная в ответе предыдущей задачи, остается справедливой и в случае анизотропного магнетика. Имеет место еще одно соотношение, связывающее М и Hi:

Н1к