Батыгин&co

220 ГлаваXII

§ 4. Разложение электромагнитного поля на плоские волны

Электромагнитное поле есть функция независимых переменных г, t. При рассмотрении многих вопросов удобно пользоваться разложениями Фурье для поля. Встречаются разложения следующих типов:

1. Р а з л о ж е н и е на м о н о х р о м а т и ч е с к и е в о л н ы :

r) dt.

Из уравнений Максвелла следует, что частота и>является функцией волнового вектора к. Уравнение, выражающее зависимость из = и>(к), называется дисперсионным уравнением. Вещественность компонентполя /(г, t) приводит ксоотношениям:

Формулами (XII.40), (XII.41) описывается поле во всем бесконечном пространстве. Соответственно этому, интегралы в этих формулах распространяются на все пространство волновых векторов и на все координатное

пространство. Другая употребительная форма разложения на плоские волны, при которой рассматривается поле в ограниченном объеме V, излагается во многих руководствах, например, в [65], стр. 167 или в [29], гл. 1.

При использовании разложений Фурье весьма полезны бывают соотношения (П 1.15) и (П 1.14) из теории 5-функции. В частности, с помощью соотношения (П 1.15) и формул (XII.42) могут быть доказаны формулы:

Jоо

(XII.43)

оо

/2 (r,i)(dr) = ( 2 7 r ) 3 | | | | / k | 2 ( d k ) .

Разложение на плоские монохроматические волны играет большую роль в квантовой электродинамике. Каждой такой волне в квантовой теории сопоставляются фотоны — частицы, движущиеся со скоростью света с. Энергия § и импульс р фотонов связаны с частотой ш и волновым вектором к соотношениями:

804.Доказать формулы (XII.43).

805.Найти связь между компонентами Фурье полей Б, Н и потенциалов А, <р (рассмотреть все три варианта разложений Фурье).

806.Записать уравнения Максвелла относительно компонент Фурье для трех вариантов разложения Фурье. Пространство заполнено однородной изотропной диспергирующей средой с параметрами е{ш), ц{е), вообще говоря, зависящими от частоты.

807.Записать уравнения Даламбера и условие Лоренца относительно компонент Фурье для потенциалов А(г, t) и <p(r, t). Рассмотреть все три варианта разложений Фурье. Пространство заполнено однородной изотропной средой с параметрами е(ш) и ц{ш).

808*. Разложить по плоским волнам потенциал ц> кулонова поля неподвижного точечного заряда.

809.Разложить по плоским волнам напряженность электрического поля Б неподвижного точечного заряда е.

810.Точечный заряд движется в вакууме со скоростью v = const. Разложить поле <р, А, Б, Н заряда на плоские монохроматические волны.

811*. Найти потенциалы ip(r, t), A(r, t) поля равномерно движущегося точечного заряда е (см. ответ к задаче 610), используя разложения этих потенциалов по плоским волнам, полученные в предыдущей задаче.

УКАЗАНИЕ. ДЛЯ вычисления интеграла по (dk) сделать замену перемен-

•^/1- v2/c2

ложением поля неподвижного точечного заряда на плоские волны (см. задачу 808*).

812*. Нейтральная точечная система зарядов движется в вакууме равномерно со скоростью v. Найти электромагнитное поле ip(r, t), A(r, t), воспользовавшись разложением Фурье по плоским монохроматическим волнам, если электрический р и магнитный m дипольные моменты в лабораторной системе отсчета заданы.

УКАЗАНИЕ. ПЛОТНОСТИ электрического заряда итока системы выражаются формулами:

j = crot[m<5(r - vt)] + J^[P<5(r - vt)],

p = —div[p<5(r — vt)].

813.Получить потенциалы поля равномерно движущегося магнитного диполя (момент т о в системе покоя диполя). Скорость диполя v. Ограничиться двумя частными случаями: а) когда mo || v, б) когда т о -L v. Воспользоваться формулами преобразования моментов, полученными в задаче 613.

814.Получить поле равномерно движущегося электрического диполя

(момент ро в системе покоя) с помощью результатов задачи 812* (см. ответ

кзадаче 612).

815.Показать, что компоненты Фурье разложения безвихревого вектора на плоские волны параллельны к (продольны), а компоненты Фурье соленоидального вектора — перпендикулярны к (поперечны).

816*. Записать уравнения, которым удовлетворяют в вакууме безвихревая и соленоидальная части векторов электромагнитного поля Б и Н. Показать, что безвихревая часть электрического поля Ец(г,<) описывает мгновенное (незапаздывающее) кулоново поле, определяемое распределением зарядов в тот же момент времени, для которого определяется Ец.

нимает неограниченное пространство. Представить амплитуды Фурье этих

824.Найти дифференциальное ^ и полное а сечения рассеяния линейно поляризованной, поляризованной по кругу и неполяризованной монохроматических волн на свободном заряде, используя метод осцилляторов поля (ср. с задачами 799* и 800).

825.На свободном заряде рассеивается: а) неполяризованная волна

счастотой из; б) волна, поляризованная по кругу. Исследовать характер поляризации поля излучения, используя метод осцилляторов поля (см. задачи 799* и 800).

ЛИТЕРАТУРА

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [65], Стрэттон Дж. А. [100], Джексон Дж. [52], Гуревич Л. Э. [49], Френкель Я. И. [111], Пановский В., Филипс М. [86], Смайт В. [93], Иваненко Д. Д., Соколов А. А. [57], Власов А. А. [25], Беккер Р. [12], Гринберг Г. А. [46], Вайнштейн Л. А. [23], Компанеец А. С. [60], Зоммерфельд А. [54], Тихонов А. Н., Самарский А. А. [104], Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. [20], Горелик Г. С. [43], Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. [6], Гайтлер В. [29], Паули В. [87]. Гинзбург В. Л., Сазонов В. Н., Сыроватский С. И. [35], Гинзбург В. Л., Сыроватский С. И. [36].

ГЛАВА XIII

ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ С ВЕЩЕСТВОМ

В этой главе методами классической макроскопической электродинамики рассматриваются различные процессы потерь энергии быстрых частиц в веществе.

Макроскопическая теория, не учитывающая пространственной дисперсии электрической и магнитной проницаемостей, применима, если вещество можно рассматривать как сплошную среду, т.е. если пролетающая частица взаимодействует одновременно со многими атомами. Это означает, что с помощью макроскопических уравнений можно правильно определить энергию, передаваемую частицей только тем электронам вещества, которые находятся на достаточно больших расстояниях г от ее траектории, г ^ а, где а — величина порядка межатомного расстояния; в конденсированных средах а совпадает с линейным размером атома (и 10~8 см).

Скорость частицы v должна удовлетворять условию v 3>vam, где vam — средняя скорость атомных электронов. При меньших скоростях частица в основном передает энергию электронам, находящимся вблизи ее траектории, где макроскопическое рассмотрение неприменимо.

Потери энергии, вызванные ионизацией и возбуждением атомов среды, называются ионизационными потерями. Если частица движется через плазму, то значительная часть теряемой ею энергии идет на возбуждение колебаний электронного газа как целого (продольные плазменные волны, см. задачу 443).

Вещество существенно влияет и на излучение поперечных электромагнитных волн частицами. Если заряженная частица движется в непоглощающем диэлектрике с постоянной скоростью, превышающей фазовую скорость света, то она излучает поперечные электромагнитные волны (излучение Вавилова -Черенкова; теория этого явления была дана И. Е.Таммом и И.М.Франком [103]).

Электромагнитное поле, создаваемое в среде движущейся частицей, определяется из уравнений Максвелла; плотности заряда и тока в этих

226 Глава XIII

уравнениях удобно записывать в виде р = е6[г —го(£)], j = его<5[г — го(£)], где е — заряд частицы, го(£) — ее радиус-вектор. Интегрирование уравнений Максвелла в общем случае диспергирующей среды производится путем разложения искомых величин (векторов поля) в интеграл Фурье по координатам и времени. При этом для определения компонент Фурье получается система алгебраических уравнений (см., например, задачу 826*).

Чтобы найти энергию излучения Вавилова-Черенкова на единице пути частицы, нужно определить электромагнитное поле, создаваемое частицей в среде, и подсчитать поток энергии через цилиндрическую поверхность единичной длины и бесконечного радиуса, окружающую траекторию частицы. Интеграл по времени от указанного потока энергии и даст полную энергию, излучаемую частицей на единице пути в виде электромагнитных волн.

Если радиус цилиндрической поверхности будет конечным (о), то интеграл по времени от потока энергии будет включать не только энергию излучения Вавилова-Черенкова, но и ту энергию, которая передается электронам среды, находящимся на расстояниях г > а от траектории частицы.

826*. Частица с зарядом е движется со скоростью v = const в однородной и изотропной среде. Диэлектрическая проницаемость среды е(и>), магнитная проницаемость ц = 1. Определить составляющие электромагнитного поля, создаваемого движущейся частицей.

827*. Частица движется в непоглощающем диэлектрике с постоянной скоростью v = 0с. Используя результаты предыдущей задачи, исследовать создаваемое частицей поле на больших расстояниях от ее траектории. Показать, что достаточно быстрая частица будет излучать поперечные электромагнитные волны (эффект Вавилова-Черенкова). Найти условия возникновения этого излучения и полную величину черенковских потерь wB _4 на единице пути.

828. Частица с зарядом е движется с постоянной скоростью через вещество, диэлектрическую проницаемость которого можно приближенно описать формулой

статическое значение диэлектрической проницаемости. В каком интервале углов сконцентрировано излучение? Сделать численную оценку, положив

ш0 = 6 • 1015 сек'1, £0 = 2, v = с.

Излучение привзаимодействии заряженных частиц с веществом 227

829.Получить условие cos0 = -£-, определяющее направление из-

рп

лучения Вавилова-Черенкова, из рассмотрения интерференции отдельных волн, испускаемых частицей в разных точках ее траектории.

830.Черенковское излучение частицы можно рассматривать как следствие резонанса между собственными колебаниями среды и вынуждающей силой, связанной с движущейся частицей. Получить условие, возникновения эффекта Вавилова-Черенкова из сравнения частот собственных колебаний среды и вынуждающей силы.

831.Релятивистская частица, имеющая скорость v, проходит через диэлектрическую пластинку толщиной I перпендикулярно ее плоскости. Показатель преломления пластинки п, дисперсию не учитывать. Найти длительность твспышки черенковского излучения, которую зарегистрирует неподвижный относительно пластинки наблюдатель. Определить поток энергии / черенковского излучения через поверхность пластинки во время вспышки. Краевым эффектом пренебречь.

832.Показать, что минимальная скорость движения частицы vmm, при которой возникает излучение Вавилова-Черенкова в данном направлении, удовлетворяет условию

vmincos6 = vg(um),

где vg — групповая скорость электромагнитных волн в диэлектрике, и)т — частота, при которой показатель преломления имеет максимум, в — угол между направлениями излучения и скорости частицы. Диэлектрик считается непоглощающим.

833*. Частица движется с постоянной скоростью v = (Зс в недиспергирующей среде с проницаемостями е, ц. Определить электромагнитные потенциалы (р и А. Рассмотреть два случая v < vv и v > vv, где vv — фазовая скорость электромагнитных волн в рассматриваемой среде.

834. Прямолинейный провод, параллельный оси х, перемещается вдоль оси у со скоростью v = const в непоглощающей среде с проннцаемостями £(ш), //(<*>). В лабораторной системе отсчета провод электронайтрален, по нему течет ток J в направлении оси ж.1 Найти условие, при котором возникает излучение Вавилова-Черенкова. Определить полную энергию излучения а>в_ч с единицы длины провода на единице пути. Подсчитать тормозящую силу f, действующую на единицу длины провода со стороны созданного им поля.

1Быстро перемещающиеся токонесущие пучки частиц могут существовать в ускорителях

ипри некоторых видах разряда.

УКАЗАНИЕ. Векторный потенциал имеет одну компоненту Ах(у, z, t). При выполнении обратного преобразования Фурье использовать правило обхода полюсов, сформулированное в задаче 833*.

835. Два точечных заряда е\ и е2 движутся с одинаковыми постоянными скоростями v вдоль одной прямой на расстоянии / друг от друга в среде с проницаемостями е(ш), ц = 1 (/ измерено в лабораторной системе отсчета). Найти энергию излучения Вавилова-Черенкова и>в_ч на единице пути. Рассмотреть два случая: а) е\ = ег = е; б) е\ = —ег = е. Путем предельного перехода получить черепковские потери энергии точечного электрического диполя, ориентированного вдоль направления движения.

836*. Два точечных заряда +е и —е движутся с одинаковыми постоянными скоростями v на расстоянии I друг от друга в среде с проницаемостями е(ш), ц, = 1. Линия, соединяющая заряды, составляет угол а с направлением скорости (/ и а измерены в лабораторной системе). Методом, использованным в предыдущей задаче, найти энергию излучения Вавилова-Черенкова и>в_ч на единице пути, считая / весьма малым.

837*. Магнитный диполь1 движется с постоянной скоростью v = /Зс в непоглощающей среде, проницаемости которой е(и>) и ц,(ш). Магнитный момент, измеренный в лабораторной системе, имеет величину m и ориентирован вдоль скорости. Определить потери энергии на излучение ВавиловаЧеренкова и>в_ч на единице пути.

УКАЗАНИЕ. С помощью преобразования Фурье проинтегрировать уравнения для потенциалов. Движущийся магнитный момент создает токj(r, t) = с rotm<5(r—

-vt).

838*. Быстрая частица с зарядом е движется через непоглощающий диэлектрик с проницаемостью

е(ш) =

г д е о,2 = 4 ^. Определить потери энергии ( — ^-) в расчете на единицу

\ al /

пути на расстояниях от траектории частицы, превышающих межатомные

расстояния а (параметр а должен быть выбран так, чтобы в области г > а было справедливо макроскопическое рассмотрение). Выяснить физический смысл отдельных членов в выражении потерь энергии.

1 Нейтральная система (сгусток) частиц, имеющая магнитный момент, излучает как магнитный диполь, если длина волны в среде много больше размеров сгустка.

«далеких» столкновений. Под далекими нужно понимать столкновения с параметром удара г > а, где а — расстояние, на котором становится справедливым макроскопическое рассмотрение.

840*. Точечный заряд е движется в вакууме нормально к границе идеального проводника. Определить спектральное и угловое распределение излучения, возникающего при переходе заряда из вакуума в проводник, пренебрегая ускорением заряда под действием силы электрического изображения. Скорость заряда v = 0с.

УКАЗАНИЕ. Поле в вакууме создается зарядом и его изображением, движущимися навстречу друг другу с равными постоянными скоростями. Когда частица пересекает границу проводника, ее заряд мгновенно экранируется свободными электронами проводника, что эквивалентно внезапной остановке заряда и его изображения в одной и той же точке на границе проводника.

841*. Точечный заряд е имеет скорость v = 0с и движется в вакууме нормально к границе непоглощающего диэлектрика с проницаемостью е(и>) (ц = 1). При переходе заряда из вакуума в диэлектрик возникает излучение. Пренебрегая ускорением заряда под действием силы электрического изображения, определить спектральное и угловое распределение излучения в вакуум (т.е. в область z > 0, см. рис. 133).

УКАЗАНИЕ. ПЛОТНОСТИ заряда итока, создаваемые движущейся частицей, заменить эквивалентным набором гармонических осцилляторов. Для определения поля

ническим осциллятором р в , находящимся в точке В; ЕА(В) — поле, создаваемое в точке В осциллятором рл, находящимся в точке А. Так какточка наблюдения А находится набольшом расстоянии отточки встречи заряда с диэлектриком (в волновой зоне), то привычислении ЕА(В) МОЖНО воспользоваться формулами Френеля.

ЛИТЕРАТУРА

Тамм И. Е., Франк И. М. [103], Ферми Э. [105], Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [66], Болотовский Б. М. [14], Гинзбург В. Л. [32], Гинзбург В. Л., Франк И. М. [37], Силин В. П., Рухадзе А. А. [91], Джелли Дж. [53], Маркс Г., Дьёрдьи Г. [77], Гинзбург В. Л., Сыроватский С. И. [36].