Батыгин&co

632*. Система 5' движется относительно системы 5 со скоростью V. Угловое распределение частиц, имеющих в 5' одинаковую энергию <§",опи-

сывается функцией ^ у = F'($',a'), где величина dW представляет собой

долю частиц, движущихся всистеме 5' внутри телесного угла <Ю!. Ее обычно нормируют так, что

fdW = /

Угол •&' отсчитывается от направления V. Найти угловое распределение таких частиц в системе 5. Рассмотреть, в частности, ультрарелятивистский случай.

633*. Число частиц dN,находящихся в элементе объема dV иимеющих составляющие импульсы, заключенные в пределах от рх дорх + dpx, от ру до ру + dpy, от pz до pz + dpz, выражается в виде

dN = f(r,p,t)dV(dp),

где (dp) = dpxdpydpz — элемент объема в пространстве импульсов, /(г, р, t) —функция распределения (или плотность числа частиц в фазовом пространстве). Найти закон релятивистского преобразования функции распределения /(г, р, t).

634. Частицы сорта 1, обладающие в системе 5 скоростью v b рассеиваются неподвижными частицами сорта 2. Как преобразуется сечение рассеяния dai2 при переходе к системе отсчета 5', в которой частицы сорта 2 обладают скоростью \'2, а частицы сорта 1 — скоростью v^?Рассмотреть, в частности, случай, когда скорости v^ и \'2 параллельны.

УКАЗАНИЕ. Сечениемрассеянияdo\i называется отношениечисла частиц, рассеиваемых вединицу времени втелесный угол dQ одним рассеивающим центром, к плотности потока рассеиваемых частиц J\i =n\vo, где ni —число рассеиваемых частиц в единице объема, vo = |vi —V2I — относительная скорость частиц 1-го

и2-го сорта (ср. сзадачей 560).

635.7г°-мезон движется со скоростью v и распадается на лету на два 7-кванта. Найти угловое распределение 7-квантов распада ^^- в ла-

бораторной системе отсчета, учитывая, что в системе покоя тг°-мезона оно сферически симметрично.

636. Выразить энергию тг°-мезона, рассмотренного в предыдущей задаче, через отношение / числа 7-квантов распада, испускаемых в переднюю полусферу, кчислу 7-квантов, испускаемых в заднюю полусферу.

637. 7г°-мезон распадается на лету на два 7-кванта. Показать, что минимальный угол i?min разлета 7-квантов определяется условием cos --p = - в той системе отсчета, в которой скорость тг°-мезона равна v.

638*. Найти зависимость энергии 7-кванта, возникающего при распаде 7г°-мезона (ср. с задачей 635), от угла i? между направлениями распространения кванта и движения тг-мезона. Определить энергетический спектр 7-квантов распада в лабораторной системе отсчета.

УКАЗАНИЕ. ИЗ законов сохранения энергии и импульса следует, что в системе покоя тг°-мезона энергия 7-кванта S' = тс /2 (т —масса тг°-мезона).

639. Показать, что какова бы ни была форма энергетического спектра тг°-мезонов, энергетический спектр 7-квантов распада в лабораторной

2

системе отсчета будет иметь максимум при § = §', §' = ^Щ-, где т —мас- са тг°-мезона. Пусть 8\ и §2 — произвольные значения энергии 7-квантов распада, расположенные по разные стороны указанного максимума и отвечающие одинаковым значениям функции распределения. Выразить массу т 7г°-мезона через 8\ и §2-

УКАЗАНИЕ. Воспользоваться энергетическим спектром 7-квантов,найденным

взадаче 638*.

640.Определить массу т некоторой частицы, зная, что она распа-

дается на две частицы с массами mi,m 2 . Из опыта известны величины импульсов р\, р2 частиц, образовавшихся при распаде, и угол i? между их направлениями. Вычислить массу заряженного тг-мезона, распадающегося по схеме тг —> ц + v, если из опыта известно, что тг-мезон до распада

641. Определить массу mi некоторой частицы, зная, что она представляет собой одну из двух частиц, образовавшихся при распаде частицы с массой т и импульсом р. Импульс рг. масса т г и угол 1?г вылета второй частицы, образовавшейся при распаде, также известны.

ми mi и т г . Вычислить кинетические энергии Т\ и Тг продуктов распада. Найти распределение энергии распада в системе покоя распадающейся частицы между а) а-частицей и дочерним ядром при а-распаде U2 3 8 ; б) ^-ме-

зоном и нейтрино (v) при распаде тг-мезона (тг —» ц + v); в) 7-квантом

иядром отдачи при излучении 7-кванта.

644.Покоящаяся частица а распадается по схеме а —» 6 + d. Выра-

зить энергию распада Qa = та —ть —та (с = 1) через кинетическую энергию Ть одной из частиц распада и массы mb,rrid. Вычислить энергию распада и массу Е+-частицы, распадающейся по схеме Е + —»п + тг+,

пользуясь найденным из опыта значением Тж+ = 91,7Мэв и массами нейтрона и тг+-мезона, приведенными в табл. XI. 1. Сделать то же самое для распада Е + подругой схеме Е + —»р + тг°, если известна Тр = 18,8Мэв.

645.Покоящееся свободное возбужденное ядро (энергия возбуждения AS) излучает 'у-квакт.Найти его частоту ш. Масса возбужденного ядра тп. В чемпричина того, чтои Ф AS/H7 Как изменится результат, если ядро жестко закреплено в кристаллической решетке (эффект Мёссбауэра)?

646*. Покоящаяся частица а с массой m распадается по схеме а —» —» ai + П2 + аз на три частицы с массами mi, тг , гпз и кинетическими энергиями Ti, Т-2, Тз. Исследовать кинематику такого распада с помощью диаграммы Далица. Для этого ввести переменные х = (Тг —Тз)/\/3, у =Т\ и рассмотреть плоскость (х, у). Каждому конкретному распаду отвечает определенная точка наэтой плоскости.

а) Доказать, что закон сохранения энергии ограничивает на плоскости (х, у) область, имеющую форму равностороннего треугольника. Убедиться в том,что длины перпендикуляров, опущенных из точки, изображающей данный распад, на стороны треугольника, равны кинетическим энергиям образующихся частиц.

б) Убедиться в том, что двух введенных величин х и у достаточно для определения величин импульсов образующихся частиц и углов между импульсами в системе покоя распадающейся частицы.

в) Закон сохранения трехмерного импульса приводит к тому, чтоне все точки внутри треугольника отвечают истинным распадам. Найти на плоскости ху область, внутри которой распады кинематически возможны, для частного случая т г = т з = 0, т\ Ф 0.

647. Построить диаграмму Далица (см. условие предыдущей задачи) для распадов ц- и А'-мезонов:

а) ц± -• е± + 2v, б) К* -»тг° + е±± + v.

В последнем процессе электрон, как правило, рождается ультрарелятивистским, и его массой покоя можно пренебречь. Определить максимальные энергии частиц.

648. Построить диаграмму Далица (см. задачу 646*) для распада покоящегося А"+-мезона по схеме

К+ ->7Г~ +7Г+ +7Г+.

Энергия распада Q = тц —3mw и ЧЪМэв < m w (с = 1), поэтому рождающиеся тг-мезоны можно приближенно считать нерелятивистскими. Какова максимальная энергия каждой из частиц?

649. Построить диаграмму Далица (см. условие задачи 646*) для распада иьмезона по схеме

U> —> 7Г+ + 7Г~ + 7Г°.

Считать массы трех мезонов одинаковыми, энергия распада Q = тш — —dm* « 360А/эв> т.*, тш « 780А/эв (с = 1). Какова наибольшая энергия каждого из мезонов?

650*. В условии задачи 646* изложены правила построения диаграммы Далица для распада трех частиц. Вероятность dW распада имеет вид

dW = pdT.

Здесь р — величина, зависящая от сил взаимодействия, ответственных за распад, и от импульсов частиц, a dT — элемент фазового объема Г, определяемого интегралом

где Pi — 4-импульс распадающейся частицы (р* = (m, 0) при распаде из состояния покоя), pai = (<?а, ра), а = 1, 2, 3, 4 — 4-импульсы образующихся частиц, (dpa) — элемент объема импульсного пространства а-й частицы. Четырехмерная ^-функция выражает собой закон сохранения 4-импульса при распаде и показывает, что интегрирование производится только по тем значениям импульсов pi, рг, рз, которые совместимы с законами сохранения энергии и импульса.

Выразить dT через dx, dy и показать, что фазовый объем Г выражается в соответствующем масштабе площадью разрешенной области на диаграмме Далица. Доказательство произвести для общего случая mi ф

651.Частица с массой m налетает на покоящуюся частицу с массой mi. Происходит реакция, в которой рождается ряд частиц с общей массой М. Если т + mi < М, то при малых кинетических энергиях налетающей частицы реакция не идет — она запрещена законом сохранения энергии. Найти минимальное значение кинетической энергии налетающей частицы (энергетический порог То реакции), начиная с которого реакция становится энергетически возможной.

652.Найти энергетические пороги Го следующих реакций: а) рожде-

ние тг-мезона при столкновении двух нуклонов (N+N —» N+N+к); б) фоторождение тг-мезона на нуклоне (N + 7 —* N + тг); в) рождение А"-мезона и Л-гиперона при столкновении тг-мезона с нуклоном (тг + N —»Л + К); г) рождение пары протон-антипротон при столкновении протона массы тр с ядром массы т. Рассмотреть, в частности, столкновение с протоном. Оценить порог для рождения антипротона на ядре с массовым числом А, считая т

653.Найти приближенное выражение энергетического порога То реакций, в которых изменение ДМ массы сталкивающихся частиц составляет малую часть их общей массы М («реакция между нерелятивистскими частицами»). Применить полученную формулу к нахождению энергетического порога Го реакций: а) фоторасщепление дейтерия (реакция 7+Н?—»р+п); б) реакция He^+He^ —» Li£ + р. Сравнить полученные приближенные значения с точными (см. задачу 651).

654.Доказать, что рождение пары электрон-позитрон 7-квантом воз-

можно только, если в реакции участвует частица с массой покоя mi Ф О (с этой частицей не происходит никаких изменений; ее роль состоит в том, что она принимает часть энергии и импульса, делая возможным выполнение законов сохранения). Найти порог То реакции рождения пары.

655.Доказать, что законом сохранения энергин-импульса запрещена аннигиляция пары электрон-позитрон, сопровождаемая испусканием одного 7-кванта, но нет запрета на реакцию аннигиляции пары с испусканием двух фотонов.

656.Частица с энергией § и массой mi налетает на покоящуюся частицу с массой т^. Найти скорость v центра инерции относительно лабораторной системы отсчета при таком столкновении.

657*. Частица с массой mi и энергией So испытывает упругое соударение с неподвижной частицей, масса которой т?. Выразить углы рассеяния i?i, i?2 частиц в лабораторной системе отсчета через их энергии §\, §2 после столкновения.

658.Основываясь на решении предыдущей задачи, выразить энергию частиц, испытавших упругое рассеяние, через углы рассеяния в лабораторной системе отсчета.

659.Ультрарелятивистская частица с массой т и энергией So упруго рассеивается на неподвижном ядре с массой М 3> т. Определить зависимость конечной энергии S частицы от угла $ ее рассеяния.

660.Решить предыдущую задачу для случая неупругого рассеяния частицы на ядре. Энергия возбуждения ядра АЕ в системе его покоя удовлетворяет неравенству тс2 -С АЕ «С Mer.

661.Частица с массой т испытывает упругое столкновение с неподвижной частицей такой же массы. Выразить кинетическую энергию Ti рассеянной частицы через кинетическую энергию То налетающей частицы

иугол рассеяния 1)\.

662.Используя результаты задачи 658, найти в нерелятивистском случае зависимость кинетических энергий Т\ и Тг частиц, испытавших упругое соударение, от начальной кинетической энергии То первой частицы и углов рассеяния $i и $2 в лабораторной системе отсчета (вторая частица до столкновения покоилась).

663.Частицы с массами т\ и т г испытывают упругое столкновение.

Их скорости в системе ц. и. v[ и v'2 угол рассеяния д', скорость системы ц. и. относительно лабораторной системы V. Определить угол х разлета частиц в лабораторной системе. Рассмотреть, в частности, случай mi = т г .

664.Квант света с частотой OJQ рассеивается на равномерно движущемся свободном электроне. Вектор импульса электрона ро составляет угол до с направлением движения кванта. Найти зависимость частоты и> рассеянного фотона от направления его движения. Рассмотреть, в частности, случай, когда электрон до столкновения покоился (эффект Комптона). Рассмотреть, в частности, случай, когда электрон до столкновения покоился.

665.Фотон с энергией fko0 рассеивается на ультрарелятивистском электроне с массой m и энергией So 3> HUJQ. Найти максимальную энергию hjj рассеянного фотона.

666.Найти изменение энергии электрона при столкновение его с фотоном. Начальная энергия электрона So, фотона hwo, угол между их импульсами ??. Исследовать результат. При каких условиях электроны будут ускоряться под действием фотонных ударов?

667.Выразить инвариантные переменные s, t, и (XI. 13) для случая упругого рассеяния одинаковых частиц через массу т, абсолютную величину импульса q и угол рассеяния $ в системе ц. и.

668.Пусть в лабораторной системе частица Ь покоится. Выразить

энергию @а частицы о в лабораторной системе, а также энергии 8'а, @'ь частиц в системе ц. и. через инвариантную переменную s (см. (XI. 13)). Сделать то же самое для абсолютных величин трехмерных импульсов ра, р'

=Рь = Р1)- Использовать систему единиц, в которой скорость света с =

= 1.

669.Выразить энергии ёс, §а, частиц, возникающих в результате двухчастичной реакции,через инвариантные переменные (XI. 13). Энергии §с, Sa относятся к лабораторной системе отсчета.

670.Выразить угол в между трехмерными импульсами р а , р с в лабораторной системе при двухчастичной реакции через инвариантные переменные s, t, и (XI. 13). Выразить через эти же переменные угол в1 между импульсами р^, р'с в системе ц. и.

671.Построить область допустимых значений переменных s a t (см. (1.13)) для реакции 7 + Р —* тг° + р (фоторождение тг°-мезона на протоне). Какая точка этой области соответствует порогу реакции? Каково пороговое значение То энергии 7-кванта в лабораторной системе отсчета?

Какую кинетическую энергию Тп имеет в лабораторной системе тг°-мезон при пороговой энергии 7-кванта?

672.Два 7-кванта превращаются в пару электрон-позитрон. Энергия одного из них задана и равна <§Ь-При каких значениях <§2 энергии второго кванта и угла $ между их импульсами возможна эта реакция? Изобразить эти значения на плоскости переменных S?, cos $. Найти также область допустимых значений переменных s,t (XI. 13). Энергию записывать в единицах тс2, где т — масса электрона.

673.Построить на кинематической плоскости переменных s, t (XI. 13) физические области, соответствующие следующим трем процессам:

а) тг+ + р —у тг+ + р — упругое рассеяние, б) тг~ + р —у тг~ + р — упругое рассеяние античастиц,

в) тг+ + тг~ —> р + р — рождение пары протон-антипротон.

Массы всех мезонов и всех нуклонов одинаковы (т и М соответствен-

но).

674.Доказать, что излучение и поглощение света свободным электроном в вакууме невозможно. Исходить из закона сохранения энергии-им- пульса.

происходить излучение сразу двух фотонов, один из которых (с частотой и>г) может быть жестким, так что для него п(и>2) —» 1. Выяснить, каким условиям должны удовлетворять частота u>i другого фотона и скорость vo частицы (huJi -С сро), чтобы был возможен такой процесс (жесткое излучение Вавилова -Черенкова). Какова наибольшая энергия жесткого кванта?

680.Рассмотреть кинематику жесткого излучения Вавилова-Че- ренкова (см. предыдущую задачу), считая электрон ультрарелятивистским, §о > тс , а угол #2 вылета жесткого кванта малым. Определить максимальное значение (ftu^max энергии жесткого кванта, которого можно достичь в этом случае; рассмотреть характерные частные случаи.

681.Кристаллическая решетка способна принимать импульс толь-

ко дискретными порциями q = 2nhg, где g — вектор обратной решетки. В случае кристаллической решетки, элементарная ячейка которой имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами ai, a,2,аз, вектор g =

= (щ-, щ, ^ | ) , где Tii, П2,пз — любые целые числа. Считая, что кристалл,

имеющий очень большую массу, не может принимать от частицы энергию, выяснить, какой характер будет иметь угловое распределение частиц, рассеиваемых на монокристалле.

682. Учитывая связь ро = 2ТГ/Г/АО между импульсом ро частицы и соответствующей длиной волны Ао, вывести условие Брэгга-Вуль-

фа: la sin ^ = пХо, где а — расстояние между кристаллическими плоскостями, 1? — угол рассеяния частицы.

683. Выяснить, какой характер будет иметь энергетический спектр тормозных квантов, возникающих при рассеянии заряженных частиц на монокристалле (ср. с задачей 681). Угол между направлением распространения тормозного кванта и первоначальным импульсом частицы фиксирован и мал, 1? «; 1. Частица ультрарелятивистская, So > тс2.

§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле

В электромагнитном поле Е, Н на точечную частицу с зарядом е, движущуюся со скоростью v, действует сила Лоренца