Батыгин&co

ГЛАВА XIV

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

§ 1. Движение отдельных частиц в плазме

На движение заряженных частиц в плазме большое влияние оказывают электрические и магнитные поля. Они создаются электронами и ионами плазмы, а также внешними источниками. Если столкновения частиц в плазме происходят редко, то в течение промежутков времени, много меньших времени между столкновениями, каждая отдельная частица движется под действием существующих в плазме макроскопических полей Б и Н, и ее движение описывается уравнениями механики (XI.20) и (XI. 1). В случае неоднородных и переменных полей интегрирование точных уравнений движения является, как правило, сложной математической задачей.

Картина движения частиц существенно упрощается, если магнитное поле велико и медленно меняется в пространстве и во времени, а электрическое поле мало (см. неравенства (ХГУ.6)-(ХГУ.6"))- При этом действие электрического поля, а также пространственных и временных неоднородности магнитного поля можно учесть по методу возмущений. Движение частицы происходит следующим образом: в каждый момент времени частица быстро вращается вокруг направления магнитных силовых линий с циклотронной частотой сеН/ё, где е — заряд частицы, § — ее энергия. Центр, вокруг которого вращается частица (ведущий центр), движется вдоль магнитной силовой линии, а также медленно перемещается в поперечном направлении под действием электрического поля и неоднородностей магнитного поля. Наряду с этим происходит медленное изменение по абсолютной величине поперечного и продольного импульсов частицы.

Приближение, соответствующее такой картине движения частицы, называется приближением ведущего центра или дрейфовым приближением, а движение ведущего центра поперек магнитных силовых линий называется дрейфом. Уравнения движения в дрейфовом приближении выводятся путем усреднения точных уравнений движения по быстрому вращению частицы вокруг магнитной силовой линии с учетом неравенств (ХГУ.6)-(ХГУ.6")-

Система дрейфовых уравнений движения имеет вид

г = «цЬ + -^[Е х Н]+ ±v±R±[h х Ш\ +v]lRll[h х (h- V)h],

Здесь рц проекция импульса частицы на направление магнитного поля Н, р± — абсолютная величина поперечной относительно Н составляющей импульса, h = H/H — единичный вектор в направлении магнитного поля,

то и е — масса и заряд частицы. Все напряженности поля в правых частях уравнений (XTV.l)-(XrV.3) берутся в точке, в которой находится ведущий центр, г — скорость ведущего центра.

Первый член vyh в правой части уравнения (XIV.1) описывает движение ведущего центра вдоль магнитной силовой линии, второй член — поперечное движение под действием электрического поля (электрический дрейф). Третье и четвертое слагаемые дают соответственно поперечные дрейфы за счет изменения магнитного поля по величине и по направлению. Если на частицу, кроме электрического и магнитного полей, действует неэлектромагнитная сила F, то в правую часть уравнения (XTV.1) следует

добавить слагаемое — ^ [ F х Н],а в правую часть (XTV.2) — член (F • h).

еН

Уравнения (XTV.2) и (XTV.3) позволяют найти изменение полной энергии частицы во времени:

а приближенный интеграл движения, обусловленный малостью электрического поля и медленностью изменения магнитного поля. Такие приближенные интегралы движения называются адиабатическими инвариантами.

Уравнения (ХГУ.1)-(ХГУ.З) являются приближенными уравнениями движения частицы, справедливыми при медленном изменении ЕпН в про-

(XIV.6) где координата х может отсчитываться вдоль любого направления. Кроме того, должно выполняться условие малости электрического поля

и условие медленности изменения электрического и магнитного полей во времени

где и> — характерная частота изменения поля.

842. На нерелятивистскую частицу с зарядом е и массой т действуют однородное магнитное поле Н и постоянная сила F, ориентированная произвольным образом. Показать, что составляющая силы F, перпендикулярная Н, вызывает равномерное движение (дрейф) частицы с постоянной скоростью

е Яс 2 [FxH]

поперек магнитных силовых линий.

Пояснить качественно происхождение дрейфа, рассмотрев траекторию движения частицы и силы, действующие на нее в разных точках траектории.

843. Прямым расчетом доказать адиабатическую инвариантность величины Рх/Я для случая однородного и постоянного по направлению, но медленно меняющегося по абсолютной величине магнитного поля H(t). Для этого вычислить электрическое поле и проинтегрировать уравнение, описывающее изменение поперечного импульса частицы р± во времени, считая, что в течение одного циклотронного периода траекторию частицы можно считать окружностью, совпадающей с силовой линией электрического поля.

844.Система одинаковых невзаимодействующих частиц находится

воднородном магнитном поле Н и имеет изотропное распределение по импульсам. Все частицы имеют одинаковую энергию So- Затем магнитное поле адиабатически возрастает до величины пН. Найти угловое распределение du){d) и среднее значение квадрата энергии частиц 82 в конечном состоянии.

845*. Пусть магнитное поле, оставаясь постоянным по направлению, слабо меняется в пространстве по абсолютной величине. Показать, что эта неоднородность поля в первом приближении приводит к дрейфу частицы поперек поля со скоростью

где vj_ — составляющая скорости частицы, перпендикулярная направлению поля, R± = - ^ — ларморов радиус частицы (ср. с общей формулой (XIV. 1)).

Рис. 43

846. Исходя из инвариантности величины / = р\/Н показать, что в дрейфовом приближении сохраняются магнитный поток через орбиту циклотронного вращения частицы и магнитный момент нерелятивистской частицы, создаваемый ее циклотронным вращением. При каких дополнительных условиях сохраняется магнитный момент релятивистской частицы?

847. Частица движется в слабо неоднородном постоянном магнитном поле. Пользуясь инвариантностью величины / = р\/Н и законом сохранения энергии, показать, что в дрейфовом приближении на частицу действует

сила F, направленная вдоль магнитной силовой линии, и найти величину этой силы. Выразить ее через магнитный момент циклотронного вращения частицы.

848. Между областями I и II, в которых статическое магнитное поле однородно и равно Н, находится область III, в которой поле усилено («магнитная пробка»). Максимальное значение поля равно Нт, схематический вид силовых линий показан на рис. 43. В области I движется частица, импульс р которой в некоторый момент времени составляет угол д с направлением силовой линии. Считая изменение поля медленным, найти соотношение между д, Н и Нт, при котором частица отразится от области

ссильным полем.

849.Структура магнитного поля в адиабатической ловушке с аксиаль- но-симметричным полем имеет вид, схематически изображенный на рис. 44. В среднюю часть ловушки, где напряженность поля равна Н, впрыснута порция частиц с изотропно распределенными скоростями. Какая доля частиц R удержится в ловушке в течение длительного времени?

Н< Н,

Н,

Рис.44

850.В ловушку с аксиально-симметричным полем, изображенную на рис. 44, захвачена порция частиц. Частицы проводят большую часть времени в средней части ловушки, где поле почти однородно. Пусть поле ловушки медленно нарастает во времени таким образом, что форма магнитных силовых линий не меняется. Найти, как изменяется расстояние ведущего центра каждой из частиц до оси ловушки.

851.В однородном магнитном поле с напряженностью Н находится неподвижный точечный заряд q. Частица с зарядом е и массой т, имеющая

на бесконечности продольную составляющую скорости иц, рассеивается на заряде q. Считая применимым дрейфовое приближение и пренебрегая изменением продольной скорости при рассеянии, найти, по какой силовой линии будет двигаться ведущий центр частицы после рассеяния. До рассеяния он двигался по силовой линии, уравнение которой в цилиндрических координатах с осью z, проходящей через заряд q и ориентированной вдоль поля, имеет вид г = I, (р = 0.

852. Магнитное поле Земли можно представить приближенно как поле точечного диполя с магнитным моментом \i = 8,1 • 10 5 гаусс • см3. Протон с энергией § = 50 Мэв в некоторый момент времени находится в плоскости магнитного экватора на расстоянии двух земных раднусов от центра Земли и движется поперек магнитных силовых линий. Найти в дрейфовом приближении закон движения ведущего центра протона. За какое время Т он совершит полный оборот вокруг земного шара? Каков ларморов радиус R протона? Радиус земного шара г» = 6380 км, его масса М = 6 • 102 7 г.

853*. Протон находится в плоскости геомагнитного экватора (см. условие предыдущей задачи) на расстоянии г от центра Земли, его импульс составляет угол а с направлением магнитной силовой линии, а) Пренебрегая гравитационным полем, показать, что ведущий центр протона, наряду с движением вдоль магнитных силовых линий, будет испытывать азимутальный дрейф, и найти угловую скорость дрейфа w^, выразив ее через г и геомагнитную широту А. б) Указать значения Ат , соответствующие точкам отражения частиц в земном магнитном поле,

в потоке п. Вычислить силу, действующую на неподвижную частицу, пренебрегая взаимодействием налетающих частиц друг с другом. Объяснить причину того, что при радиусе пучка sm —уоо эта сила обращается в бесконечность. Сохраняется ли для силы бесконечное значение, если заряд е' является одним из зарядов нейтральной плазмы?

УКАЗАНИЕ. Воспользоваться результатом задачи 713*.

855. «Пробная» частица с зарядом е и массой m движется со скоростью v в газе, состоящем из одинаковых заряженных частиц. Их массы тп',

заряды е', концентрация п', распределение по скоростям описывается функцией /(v) (//(v)(dv) = п'). Записать выражение для средней силы F(v), действующей на «пробную» частицу.

УКАЗАНИЕ. Использовать результат, полученный при решении предыдущей задачи. Зависимостью кулонова логарифма от скорости пренебречь.

856.Пробная частица с зарядом е и массой т движется в среде, состоящей из беспорядочно распределенных неподвижных бесконечно тяжелых одинаковых частиц с зарядом е' и концентрацией п. Как меняется во времени энергия и импульс пробной частицы под действием средней силы со стороны среды?

857.Частицы среды имеют одинаковые по абсолютной величине скорости г>о, распределенные сферически симметрично, заряды е и массы т. Вычислить среднюю силу F, действующую на пробную частицу с зарядом е' и массой т', которая движется со скоростью v.

858.Решить предыдущую задачу для случая, когда частицы среды движутся с одинаковой по величине и направлению скоростью v0 .

859*. Электроны в плазме совершают беспорядочное тепловое движение и, кроме того, имеют упорядоченную составляющую скорости, которая возникает под действием однородного электрического поля Б, созданного внешним источником. Произвести порядковую оценку зависимости средней силы трения F от упорядоченной скорости и, считая, что трение вызвано столкновениями с неподвижными ионами. Показать, что F как функция и имеет максимум, и оценить величину F m a x . Как будет вести себя электронный газ под действием электрического поля Е при Е < / т а х /е и Е > Fmax/e.

§ 2. Коллективные движения в плазме

Плазма, т.е. ионизованный газ или проводящая жидкость, состоит из свободных зарядов. При наложении на такую систему электрического и магнитного полей могут возникать макроскопические движения вещества. В свою очередь макроскопические движения приводят к возникновению электромагнитного поля. Поэтому плазма, как правило, представляет собой систему сильно взаимодействующих между собой вещества и электромагнитного поля. Анализ поведения такой системы очень сложен, цельная и законченная теория поведения реальной плазмы в настоящее время отсутствует.

Если свободный пробег частиц плазмы много меньше характерных размеров области, в которой плазма движется, то ее движение можно описывать с помощью уравнений гидродинамики, в которых учтены электромагнитные силы. Электромагнитное поле описывается уравнениями Максвелла в пренебрежении током смещения по сравнению с током проводимости, что справедливо при достаточно медленном изменении поля во времени. Такое приближение называется магнитогидродинамическим. Око применимо для достаточно плотной среды, в которой малость свободного пробега обеспечивается частыми столкновениями частиц друг с другом. Но гидродинамическое приближение можно применять и для списания движения бесстолкновительнои (разреженной) плазмы поперек сильного магнитного поля. Роль длины свободного пробега в этом случае играет радиус циклотронного вращения частиц вокруг магнитных силовых линий.

Уравнения магнитной гидродинамики для несжимаемой проводящей жидкости можно записать в следующем виде:

Здесь v(r, t) — гидродинамическая (усредненная) скорость движения вещества; р = const — его плотность; р — давление; а — проводимость; г\ — коэффициент вязкости.

Плотность тока и электрическое поле в движущейся жидкости могут быть найдены из уравнения Максвелла rot H = Щ-] и закона Ома, который

При очень высокой проводимости (<т —* оо) последний член в уравнении (XTV.8) играет малую роль, и оно принимает вид

Щ = rot[v х Н]. (XIV.12)

Силовые линии магнитного поля в этом случае «вморожены» в вещество: при движении вещества они движутся вместе с находящимися на них частицами вещества. Поэтому магнитный поток через любой контур, перемещающийся вместе с жидкостью, остается постоянным.