Батыгин&co

496. Плоская монохроматическая волна проходит одновременно через призму и отверстие в непрозрачном экране, находящемся на расстоянии / (рис. 30). Призма тонкая, преломляющий угол а < 1 , а показатель преломления ее вещества п. На фотопластинке возникает некоторое распределение интенсивности поля за счет интерференции между «опорной» плоской волной (часть волны, прошедшая через призму и отклоненная вниз) и волной, дифрагировавшей на отверстии (угол дифракции считать малым). Найти это распределение.

Фронт

дефрагированной

волны

Фронт опорной волны

Рис. 30

497. Найти распределение пропускания Т(х) сквозь голограмму, полученную в условиях, описанных в предыдущей задаче. Считать при этом, что при создании голограммы интенсивность опорной волны была велика по сравнению с интенсивностью волны, прошедшей сквозь отверстие. Проследить за процессом восстановления первоначальных волновых фронтов при пропускании через эту голограмму нормально падающей плоской монохроматической волны uo = А'о exp[i(kz —u>t)} (длина волны та же, что и у первичной волны). В частности, проследить за возникновением точечного изображения первоначального отверстия.

УКАЗАНИЕ. Волновое поле за голограммой можно получить простым умножением падающей на голограмму волны ио(х) на пропускание Т(х). Дня интерпретации получившегося выражения следует обратиться к решениям задач 493, 494.

498. На установке, рассмотренной в задачах 496, 497, получается голограмма двух отверстий, находящихся на расстоянии 2D друг от друга в плоскости призмы. По этой голограмме восстанавливается изображение двух отверстий. Найти это изображение и выяснить, в каком случае оно будет увеличенным.

УКАЗАНИЕ. Голограмму можно освещать при восстановлении изображения светом с длиной волны Л', не совпадающей с той Л, которая применялась при получении голограммы.

499. Определить разрешающую способность голограммы, которая получена наустановке типа, рассмотренного в задаче 496.Голограмма выполнена на фотопластинке с размером зерен эмульсии d

§ 5. Дифракция рентгеновых лучей

При рассмотрении рассеяния рентгеновых лучей на макроскопических телах существенным является то обстоятельство, что длина волны А сравнима с размерами о атомов. В конденсированных средах тот же порядок величины имеют межатомные расстояния, в газах эти расстояния много больше а. Вследствие этого становится невозможным усреднение по физически малым элементам объема, содержащим много атомов. Однако в том случае, когда частота рентгеновых лучей велика по сравнению с характерными атомными частотами шет ~ vm/c, электроны среды можно рассматривать как свободные. Так как для свободных (к тому же нерелятивистских) электронов уравнения движения во внешнем электромагнитном поле легко интегрируются, то может быть вычислен наведенный полем ток и определена диэлектрическая проницаемость, зависящая от координат г:

=1 _ *!*2 £).

ти>

Здесь п(г)—концентрация электронов в теле, определяемая законами квантовой механики, усредненная по равновесному статистическому распределению состояний теплового движения атомов.

Уравнения Максвелла имеют свой обычный вид (VIII.1)-(VIII.4) сди-

электрической проницаемостью (VIII.42) и магнитной проницаемостью ц =

= 1,если Аже^п/тпш1 <£ 1.

Пусть на некоторое тело конечной протяженности падает плоскаяволна Еоехр[г(ког —u>t)} рентгеновой частоты и> > шет.Для того чтобы падающее излучение можно было рассматривать какплоскую поляризованную волну, необходимо, чтобы размеры тела были малы по сравнению с длиной

Атомный формфактор представляет собой просто компоненту Фурье от распределения па(т) электронов в атоме и через него можно с помощью обратного преобразования Фурье выразить па (г).

Подробнее вопрос о дифракции рентгеновых лучей рассмотрен,например, в [63], [66].

500.Выяснить, при каких условиях сеченне рассеяния рентгеновых лучей на телах конечной протяженности принимает вид сечения рассеяния на свободных зарядах (формула Томсона). Написать соответствующие выражения для сеченнй. Число атомов в теле N, число электронов в каждом атоме Z.

501.Распределение электронной концентрации в Z-электронном ато-

ме аппроксимируется выражением па(г) = поа ехр — £ , где поа = Z/жа3,

а = UQ/Z1/3, ао = 0,529 • 10~8 см — боровский радиус. Найтидифференциальное сечение рассеяния волны рентгенового диапазона на одноатомном газе, содержащем N атомов, считая распределение атомов совершенно хаотическим.

502.Найти сечение рассеяния рентгеновых лучей на объеме газа, содержащем N двухатомных молекул. Атомы в молекуле одинаковы и находятся на фиксированном расстоянии R друг от друга. Принять,что форм-

фактор Fa(q) атома, входящего в состав молекулы, тот же, что и у изолированного атома.

503.Как изменится сечение рассеяния рентгеновых лучей на объеме газа из двухатомных молекул, рассмотренном в предыдущей задаче, если учесть тепловые колебания атомов в молекуле.

УКАЗАНИЕ. Считать, что расстояния R между атомами распределены около среднего значения До » 6 по закону dWx = —— ехр — ^ dx, где х = R — До,

b = 4 /-^-5-, Т — температура, fj, — приведенная масса, ш — частота собственных V №

колебаний атомов в молекуле.

504. Вывести уравнение Лауэ (VIII.46) и условие Брэгга-Вуль-

фа fcsin($/2) = 7r|g|, где |g| — длина вектора обратной решетки, рассматривая интерференцию волн, рассеянных на отдельных центрах идеальной кристаллической решетки.

505. Найти сечение рассеяния рентгеновых лучей на идеальном монокристалле, состоящем из N одинаковых атомов с формфакторами Fa(q) (считать, что эти формфакторыте же, что и в случае изолированных атомов).

Элементарная ячейка имеет форму куба с ребром а, кристалл имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами L\, L2, L3, параллельными ребрам элементарной ячейки. Определить положение главных максимумов, убедиться в выполнении уравнения Лауэ (VIII.46). Найти величину сечения

вэтих максимумах.

506.Кристалл состоит из кубических элементарных ячеек с ребром а

иимеет форму прямой призмы с прямоугольным равнобедренным треугольником в основании (катеты основания L\ = L2, боковое ребро Lz). Определить положения главных максимумов, найти величину сечения в этих максимумах.

507.Найти распределение интенсивности в дифракционном пятне вблизи одного из главных максимумов при рассеянии рентгеновых лучей на монокристалле, рассмотренном в задаче 505. Волновой вектор падающих рентгеновых лучей параллелен ребру Ьз, а к ~> 1/а. Определить ширину дифракционного максимума и полное сечение, отвечающее рассеянию

впределах одного дифракционного пятна.

508.Вычислить распределение интенсивности в дифракционном пятне вокруг главного максимума при произвольном направлении падения

ипроизвольном соотношении между к и 1/а. Рентгеновы лучи рассеиваются на монокристалле, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами L\, L2, L3 (см. задачу 505).

509.Решить предыдущую задачу для случая рассеяния на монокристаллическом образце шарообразной формы (радиус К).

ЛИТЕРАТУРА

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [65, 66], Борн М. [16], Бейтмен Г. [10], Тамм И. Е. [101], Зоммерфельд А. [55], Френкель Я. И. [111], Стрэттон Дж. А. [100], Смайт В. [93], Джексон Дж. [52], Альперт Я. Л., Гинзбург В. Л., Фейнберг Е. Л. [3], Ахиезер А. И., Барьяхтар В. Г., Каганов М. И. [5], Власов А. А. [25], Пановский В., Филипс М. [86], Вайнштейн Л. А. [23], Гуревич А. Г. [48], Шифрин К. С. [116], Силин В. П., Рухадзе А. А. [91], Борн М., Вольф Э. [18], Микаэлян А. Л. [78], Горелик Г. С. [43], Эйхенвальд А. А. [118], Альвен X., Фельтхаммар К. Г. [2], Компанеец А. С. [60], Гинзбург В. Л., Мотулевич Г. П. [34], Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. В. [42], Строук Дж. [99], О'Нейл Э. [84], Вольф Э., Мандель Л. [27], Кривоглаз М. А. [63], Франсон М., Сланский С. [120].

данного типа колебаний характеризуются добротностью Qv, которая определяется отношением

или

Здесь Wv —энергия, запасенная в резонаторе, Р„ — средняя (по времени) мощность потерь; и>„ —резонансная частота, которая может отличаться от резонансной частоты идеального резонатора; 1„ —декремент затухания.

В отличие отрезонатора, волновод представляет собою полость (трубу) неограниченной длины. Вдоль осиволновода (осьz) возможно распространение бегущих волн, в поперечном направлении волна является стоячей. В общем случае волны в волноводе не являются поперечными. Волны, у которых Ez ф О,Hz = 0 называются волнами электрического типа,волны с Hz Ф О, EZ = 0 — волнами магнитного типа. Только в волноводах с неодносвязной формой поперечного сечения возможны чисто поперечные электромагнитные волны.

Типы волн, которые могут распространяться вданном волноводе, определяются путем решения уравнений Максвелла присоответствующих граничных условиях. Волна, бегущая вдоль осиволновода, описывается функциями

E(r, t) = t(x, у)е«к*-и», H(r,t) = Щх, у)е*кг-ш*.

Здесь и> — частота волны, к — составляющая волнового вектора в направлении осиволновода. Величину к называют также постоянной распространения.

В случае волн электрического типа (.Е-волн) #€z = 0, a 8Z удовлетворяет уравнению

на стенке волновода.

В уравнениях (IX.5) и (IX.7) Д — двумерный оператор Лапласа. Граничные условия (IX.6) и (IX.8) строго справедливы только для волноводов с идеально проводящими стенками.

Поперечные составляющие векторов 8 и Ж могут быть выражены с помощью уравнений Максвелла через продольные составляющие этих векторов.

Е- или Я-волна заданного типа (т.е. с определенным значением а) может распространяться в волноводе с односвязной формой сечения только в том случае, если ее частота больше некоторой граничной частоты U>Q.

Соответствующая «длина волны в вакууме» Ао = ^ ^ — порядка линейного

размера сечения волновода. При и < ш0 постоянная распространения к становится чисто мнимой, поэтому распространение волны невозможно. Однако и при и > LJQ к в общем случае комплексно.

Это связано с тем, что стенки волновода имеют конечную проводимость, поэтому в них происходит диссипация энергии и электромагнитная волна затухает по закону e~az. Коэффициент затухания а (мнимая часть к) равен отношению энергии, диссипируемой в единицу времени в стенках волновода на единице его длины, к удвоенному потоку энергии вдоль волновода. В случае, когда поверхностный импеданс С = С' + К" стенок мал, можно получить приближенные выражения коэффициента затухания для .Е-волн:

и для Я-волн:

а=

Здесь §z и &€z — компоненты полей, вычисленные при £ = 0 (т.е. в предположении идеальной проводимости стенок волновода), dl — элемент контура поперечного сечения волновода, dS — элемент площади этого сечения.

510.Определить типы волн, которые могут распространяться в прямоугольном волноводе с идеально проводящими стенками (длины сторон а, 6). Найти для них закон дисперсии и конфигурации полей (т.е. зависимость компонент поля от координат).

511.Определить коэффициентызатухания а разных типов волн в прямоугольном волноводе. Поверхностный импеданс стенок волновода Сзадан.

512.Бесконечно протяженный диэлектрический слой заполняет в вакууме область —а ^ х ^ а и имеет проницаемости е и д. Показать, что такой слой может действовать как волновод (для этого нужно, чтобы поле бегущей электромагнитной волны концентрировалось, в основном, внутри слоя). Определить типы волн, которые могут распространяться в таком волноводе. Ограничиться случаем, когда векторы поля не зависят от координаты у.

513.Диэлектрический слой с проницаемостями е, ц, заполняющий область 0 ^ х ^ а, нанесен на поверхность идеального проводника. В области х > а — вакуум. Какие типы электромагнитных волн с амплитудой, убывающей при удалении от слоя, могут распространяться вдоль слоя? Сравнить возможные типы волн с системой волн, полученной в предыдущей задаче.

514.Найти возможные типы волн в круглом волноводе радиуса а, считая его стенки идеально проводящими. Определить граничную частоту и>о для такого волновода.

515.Используя результат предыдущей задачи, найти коэффициенты затухания а разных типов волн в круглом волноводе. Поверхностный импеданс стенок £ задан.

516.Определить фазовую vv и групповую vg скорости волн в прямоугольном и круглом волноводах с идеально проводящими стенками. Построить их зависимость от А = Щр-.

517.Определить фазовую % и групповую vg скорости волн в волноводе геометрическим методом. Для этого рассмотреть простейшую волну

в идеально проводящей коаксиальной линии (большой и малый радиусы соответственно Ь и а). Подсчитать средний поток энергии 7 вдоль линии. Рассмотреть предельный случай одиночного идеально проводящего провода.

519.Определить возможные типы непоперечных электромагнитных волн в коаксиальной линии с идеально проводящими стенками (радиусы а

иЬ > а).

520.Определить коэффициент затухания а поперечной электромагнитной волны в коаксиальной линии. Заданы радиусы a, b > а и поверхностный импеданс С = С + К"-

УКАЗАНИЕ. Использовать приведенное в начале главы определение коэффициента затухания через потери энергии.

521*. Рассмотреть распространение аксиально симметричной волны электрического типа вдоль одиночного бесконечно длинного цилиндрического проводника с конечной проводимостью, находящегося в вакууме. Определить фазовую скорость волны. Показать, что в случае идеально проводящего провода волна перейдет в поперечную электромагнитную волну (см. задачу 518. Использовать приближенное граничное условие Леонтовича (см. (VIII.10)).

522. Аксиально симметричная .Е-волна распространяется в круглом волноводе радиуса Ь,частично заполненном диэлектриком. Диэлектрик имеет проницаемость е и занимает область а ^ г ^ Ь. Считая а < 6 , определить зависимость фазовой скорости от частоты и граничную частоту. При каких условиях фазовая скорость будет меньше с? Рассмотреть предельный случай волновода, полностью заполненного диэлектриком.

б)

Рис.31

523. Между двумя идеально проводящими плоскостями х = ± а (рис. 31а) помещена в плоскости у = 0 лестничная перегородка (рис. 316), состоящая из тонких металлических полосок, ориентированных вдоль оси х. Расстояния между полосками и их ширина малы по сравнению с длиной волны. Область у > 0 над лестничной перегородкой заполне-