Батыгин&co

чтобы показать, что рассматривается одночастичная задача, придадим индексу кзначок «штрих» иопустим спиновый индекс а

к' G'

. • • Щ . . .) =

Умножим левую и правую часть этого уравнения на сопряженную функцию

Используя свойство ортогональности одночастичных волновых функций и раскрывая соответствующие матричные элементы, находим

Здесь, как и ранее, индексы нумеруют электронные состояния. Пусть состояние j определено как (к + G), где G — вектор обратной решетки:

Сумму обратных векторов можно обозначить одним вектором

Таким образом, последнее выражение можно переписать так:

Это есть уже полученная нами ранее система уравнений (6.7) (в других обозначениях) для определения коэффициентов оц в выражении волновой функции возмущенной системы (6.24). Следовательно, тот же результат может быть получен, используя метод операторов вторичного квантования.

Лекция 7

7.1. Приближение Кронига-Пенни

До сих пор мы не делали никаких предположений, касающихся значения периодического потенциала системы ионов U(r). В действительности этот потенциал не представляет собой монотонную функцию, а имеет резкие перевалы вблизи каждого узла решетки. Это значит, что у него имеются фурье-компоненты с очень малой длиной волны, это приводит к плохой сходимости рядов, составленных из фурье-образов UQ- В связи с этим приближение почти свободных электронов в чистом виде не может быть реализовано и становится пригодным благодаря введению приема, связанного с псевдопотенциалом. Тем не менее, все качественные выводы модели почти свободных электронов носят абсолютно всеобщий характер и составляют основу всех последующих приближений. Оставляя рассмотрение указанного приема до следующего параграфа, сделаем сейчас некоторые предположения относительно потенциала U(r). Грубым приближением к реальному распределению его в одномерной решетке является предположение о наличии обрезающего потенциала С/о, позволяющее записать потенциальную энергию электрона в поле решетки в виде:

•

(r-na), (7.1)

здесь S(x) — дельта-функция Дирака. Та-

Рис 4

ким образом, потенциальную энергию электрона можно графически изобразить в форме ступенчатой кривой из одинаковых элемен-

тов-ступенек (рис. 4), а — ширина потенциальной ямы, ао — параметр решетки.

Лекция 7

Разрешим его, последовательно подсчитывая определители третьего порядка, относительно волнового вектора к. Имеем, после перехода к тригонометрическим и параболическим функциям:

cos(k(a +b)) = ch(ab) cos(/3a) 2af3 • sh(o:6) sin(/3a). (7.14)

Это выражение дает важную связь волнового вектора к с параметрами а и /3. Так как, согласно (7.7) и (7.8), имеем

пг

то, задавая волновому вектору различные значения, можно найти зависимости а(к) иР(к), или е(к).

Используя зависимость (7.14), затем можно было бы определить исами функции и (г). Однако прямое решение уравнения (7.14) невозможно вследствие его трансцендентности. Согласно Кронигу-Пенни, это уравнение может быть значительно упрощено впредельном случае малых толщин потенциальных барьеров. Пусть bстремится кнулю, сдругой стороны можно потребовать, чтобы обрезающий потенциал Щстремился к бесконечности. Сучетом этих условий и условия (7.15) уравнение (7.14) упрощается:

чтобы величина Р оставалась постоянной, можно потребовать постоянства иф при переменных UQ И Ь.

Это хорошо известное уравнение Кронига-Пенни, определяющее явную связь между собственным значением энергии е и волновым вектором к. Величина Р теперь является приведенным обрезывающим потенциалом.

Очевидно, что если правая часть уравнения (7.18) будет меньше единицы, то волновой вектор является вещественным числом и решения (7.11) и (7.12) имеют смысл, если правая часть больше единицы, то к есть мнимая величина и (7.11) и (7.12) обращаются в бесконечность. Трансцендентное уравнение (7.18) уже можно решить графически для любого значения вектора к. Для этого построим зависимость правой части уравнения от (За; Если Ра = О, то, учитывая, что

lim - ^ ± = 1,

„, ^n (_X

находим

С ростом (Задо +тг эта функция убывает, становясь равной —1 при тг =(За, при /За > тг функция продолжает убывать и, достигая минимума, затем вновь растет, принимая при /За = 2тг значение +1. Далее при /За > 2тг она становится больше единицы, достигает максимума и затем опять убывает и т. д. Аналогичная картина складывается, когда /За изменяется в сторону отрицательных углов. На рис. 5 приведен качественный ход рассматриваемой зависимости

Очевидно, что при |/3a| = 2ттп, где п = ± 1, ±2, ... , ±ЛГ, функция / = +1, при |/За| = (2п + 1)тг имеем / = - 1 .

Значения /За, удовлетворяющие условию (7.18), т. е. корни этого уравнения, получим, проводя прямые параллельные оси /За, и на расстоянии cos ka от нее. Меняя ка от 0 до тг и проводя соответствующие прямые,

Рис. 5

параллельные оси (За, находим точки пересечения прямых с кривой, описываемой функцией /. Эти точки и есть решения трансцендентного уравнения (7.18). При этом видно, что там, где |/| > 1, вещественных корней нет. Это значит, что значения (За,соответствующие |/| > 1, а значит и энергии, не являются в этих интервалах собственными энергиями в уравнении Шредингера (7.2). Следовательно, весь интервал изменения (За, а значит и е, является дискретным, т. е. распадается на зоны разрешенных и запрещенных энергий и значений /За. Разрешенные значения /За на рис. 5 показаны жирной чертой. С возрастанием \(3а\ ширина разрешенных значений \(3а\, а значит и энергий, растет за счет уменьшения запрещенных. Каждому разрешенному значению энергии соответствует два значения(За, отличающиеся знаком. Следовательно, приближение Кронига-Пенни дает нам тот же результат, что и приближение почти свободных электронов, т. е., спектр энергий электрона в периодическом поле решетки состоит из непрерывных полос, разделенных интервалами запрещенных значений энергии. Равноценность выводов обоих приближений позволяет утверждать, что распад энергетического спектра на полосы в приближении Кронига-Пенни не связан с принятыми предельными условиями. Обсуждая уравнение Кро- нига-Пенни, мы не делали никаких заключений о величине приведенного обрезывающего потенциала. Однако энергетический спектр электрона су-

и, следовательно, ±fca + 2тгп = (За. Это значит, что (За может принимать

любые значения, т. е. разрешенными являются все значения энергии то нуля до бесконечности. Такая ситуация, как мы знаем, свойственна свободным электронам, когда энергетический спектр непрерывен и отсутствуют интервалы запрещенных энергий.

Предположим другой крайний случай, т. е. Р = со. Мы знаем, что если величина Р растет, то, согласно рис. 5, зоны дозволенных значений (За уменьшаются и когда Р = со эти зоны вырождаются в дискретные уровни. Действительно, если внимательно изучить рис. 5, то легко увидеть, что в этом предельном случае величина (За вообще не зависит от к, а определяется соотношением

Как известно, эта формула определяет энергетические уровни электрона в изолированном атоме. Следовательно, этот случай соответствует полностью связанному электрону. Сопоставляя оба предельных случая, можно сказать, что величина обрезывающего приведенного потенциала Р характеризует энергию связи электрона, т. е. его свободу или локализацию.

Рассмотрим еще случай, когда величина Р сравнительно велика и электроны сильно связаны. Зоны дозволенных энергий тесно примыкают к значениям /За, равным дат. Пусть ширина этих зон есть Д, тогда разрешенные значения /За можно задать так:

Подставляем это условие сильно связанных электронов в уравнение Кро- нига-Пенни:

Действительно, так как

cos(/3a) = cos(n7r + Д) = cos(nn) cos Д + sin(nTr) sin Д = ( — 1)™, sin((3a) = sin(mr + Д) = sin(nTr) cos Д + cos(nTr) sin Д = (—1)" Д, pa = nn + Д ~ П7Г.