Батыгин&co

но 5' со скоростью V, параллельной оси х', S' — относительно 5 со скоростью V, параллельной оси х. Одноименные осивсех трех систем параллельны. Путем перемножения соответствующих матриц получить матрицу преобразования от 5 " к 5. Получить отсюда формулу сложения (см. (X. 11)) одинаково направленных скоростей.

601. Записать преобразование Лоренца (Х.1) в переменных х\, х2, яз. хо = et, выразив величину относительной скорости V через угол а по

формуле ^г = th а.

602. Получить матрицу преобразования <?от системы 5' к системе 5 путем перемножения матриц простых преобразований. 5' движется относительно 5 со скоростью V (-£- = t h a i в направлении, характеризуемом сферическими углами $, <р. Соответствующие оси S и S' параллельны.

§ 3. Релятивистская электродинамика

Приведем основные формулы релятивистской электродинамики в вакууме. Плотность трехмерного тока j = pv и плотность заряда р образуют 4-вектор плотности тока:

Электрическое и магнитное поля являются компонентами антисимметричного 4-тензора электромагнитного поляFik'.

При переходе от системы 5' к системе 5 компоненты поля преобразуются по формулам (оси х и х' параллельны относительной скорости):

являются инвариантами преобразования Лоренца. Векторный А и скалярный ip потенциалы образуют 4-вектор потенциала

Компоненты тензора энергии-импульса в вакууме определяются формулой

Девять пространственных компонент тензора Tik образуют трехмерный тензор натяжений Максвелла

Пространственно-временные компоненты Тц. пропорциональны составляющим плотности потока энергии S иплотности импульса поля g:

Временная компонента Т^ связана с плотностью энергии поля изсоотношением

Дивергенция тензора Tik определяет объемную плотность сил /» = = (^-^, f J, приложенных кзарядам:

(X.32)

дхк

Перейдем теперь к формулам электродинамики при наличии сред. В этом случае векторы поля Е,D, В, Н образуют два антисимметричных четырехмерных тензора II ранга: тензор поля

Четырехмерная /*, приложенная к единице объема среды состороны поля, определяется как

(Х.37)

где f — пондеромоторная сила, приложенная к единице объема, Q —джоу- лево тепло, выделяемое в единицу времени в единице объема.

603. Записать формулы преобразования для векторов поля Б, В; D, Н и поляризаций Р, М при переходе к системе S', движущейся относительно системы S с произвольно направленной скоростью V. Представить формулы преобразования в векторном виде.

УКАЗАНИЕ. Воспользоваться выражением коэффициентов преобразования, приведенным взадаче 602, и антисимметрией тензоров Fik, Нцс, Мцс.

604.В системе отсчета 5 имеется однородное электромагнитное поле Е,Н. Скакой скоростью относительно S должна двигаться система S',

вкоторой Б' || Н'? Всегда ли задача имеет решение иединственно ли оно? Чему равны абсолютные значения Е' и Н'?

605.В системе отсчета S электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны: Б ± Н. С какой скоростью относительно S должна двигаться система S', в которой имеется только электрическое или только магнитное поле? Всегда ли существует решение иединственно ли оно?

606.Бесконечнодлинный круговой цилиндр равномерно заряжен с линейной плотностью х. Вдоль оси цилиндра течет равномерно распределенный ток J?. Вовсем пространстве проницаемости е = ц = 1.Найти такую систему отсчета, в которой существует только электрическое или только магнитное поле. Найти величину этих полей.

не является релятивистски инвариантной и при переходе в другую инерциальную систему не сохраняет своего вида.

а) Показать,что для полей некоторого специального вида система урав-

может рассматриваться как релятивистски инвариантное обобщение системы (1).

б) Выяснить структуру полей, для которых такое обобщение возможно, путем рассмотрения условий совместности уравнений (2). Сколько независимых уравнений содержится в системе (2)?

в) Какой вид имеет условие интегрируемости системы (2)?

г) Убедиться в том, что силовые линии, определяемые системой (2),

XT

перемещаются в поперечном направлении со скоростью и = сЕ х -==^, т. е.

И

являются движущимися даже в случае статических полей.

608. Показать, что релятивистски инвариантная система уравнений для электрических силовых линий, аналогичная системе (2) предыдущей задачи, имеет вид eikimFim dxk = 0 (1). Какие требования налагаются на Е

иН, а также на распределение зарядов и токов условиями совместности

иинтегрируемости системы (1)? Как перемещаются силовые линии, определяемые системой (1)?

609.Найти величину э.д. с. электромагнитной индукции, возникающей при движении проводника в магнитном поле В. Воспользоваться либо формулами преобразования напряженностей поля, либо формулами преобразования потенциалов.

610.Найти поля ip, A, E, H точечного заряда е, движущегося равномерно со скоростью V, произведя преобразование Лоренца от системы отсчета, в которой заряд покоится.

611.Показать, что электрическое поле равномерно движущегося точечного заряда «сплющивается» в направлении движения. При этом происходит ослабление поля Е на линии движения заряда по сравнению с кулоновым полем. Как согласуется это ослабление с формулой преобразования Е\\=

612.Электрический диполь с моментом ро в системе покоя равномерно движется со скоростью V. Найти создаваемое им электромагнитное поле ip, А, Е, Н.

620*. Система состоит из частиц и электромагнитного поля в вакууме и занимает конечный объем. Из рассмотрения баланса полного момента импульса Кар этой системы найти выражение для плотности потока Я момента импульса поля. Воспользоваться выражением для К^, приведенным в условии предыдущей задачи.

ЛИТЕРАТУРА

Фок В. А. [107], Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [65,66], Бергман П. Г. [13], Френкель Я. И. [111, 112], Эйнштейн А. [117], Мандельштам Л. И. [76], Джексон Дж. [52] Беккер Р. [12], Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. [106], Гуревич Л. Э. [49], Паули В. [87], Гайтлер В. [29], Компанеец А. С. [60], Минковский Г.[79], Борн М. [17], Лефферт К., Донайе Т. [72], Пановский В., Филипс М. [86], Вайскопф В. [24], Соколовский Ю. И. [97].

ГЛАВА XI

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА

§ 1. Энергия и импульс

Импульс р релятивистской частицы связан с ее скоростью v соотношением

где т —масса частицы. Полная энергия 8 свободно движущейся частицы может быть выражена через скорость:

Энергия, импульс и скорость частицы связаны формулой:

8w = c2 p. (XI.5)

Энергия и импульс частицы являются временной и пространственной составляющими 4-вектора энергии импульса (4-импульса):

При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой энергия и импульс преобразуются поформулам (Х.4). Квадрат 4-импульса является релятивистским инвариантом:

Частица называется нерелятивистской, если ее кинетическая энергия мала, и ультрарелятивистской, если ее кинетическая энергия велика по сравнению с энергией покоя. Скорость ультрарелятивистской частицы близка к скорости света, импульс связан с энергией соотношением

Частицы с нулевой массой и энергией покоя (фотоны, нейтрино) всегда являются ультрарелятивистскими, их скорость точно равна с.

Энергия и импульс фотона в вакууме связаны с его частотой формула-

ми:

где h = 1,05 • 10~27 эрг • сек — постоянная Планка.

Полные энергия и импульс замкнутой системы частиц сохраняются. Отсюда следует, что если до начала и после окончания некоторой реакции (распада или столкновения) частицы не взаимодействуют между собой, то полный 4-импульс в начальном и конечном состояниях одинаков:

где суммирование производится по всем частицам, имеющимся до и после реакции.

При рассмотрении столкновений удобно пользоваться одной из двух систем отсчета: лабораторной системой S или системой центра инерции S' (система ц. и.), в которой полный импульс р равен нулю. Следует обратить внимание на полезный прием, состоящий в использовании инвариантности квадратов 4-импульсов (см. решения задач 651, 657*, 675).

Различаются два типа столкновений: упругие, при которых не меняются внутренние состояния и, следовательно, массы частиц, и неупругие, при которых меняются внутренние энергии (массы) сталкивающихся частиц, исчезают старые или рождаются новые частицы. При неупругом столкно-

гетическим выходом реакции.

Таблица XI.2

Изотопы н? Не£

В, Мэв 2,23 28,11 38,96

624. Найти приближенные выражения кинетической энергии Т частицы с массой тп: а) через ее скорость г; и б) через ее импульс р с точностью

625.Найти скорость v частицы с массой тпи зарядом е, прошедшей разность потенциалов V (начальная скорость равна нулю). Упростить общую формулу для нерелятивистского и ультрарелятивистского случаев (учесть по два члена разложения).

626.Найти скорость v частиц в следующих случаях: а) электроны

вэлектронной лампе {8 = 300эв); б) электроны в синхротроне на 300 Мэв;