Батыгин&co

Распределение излучения по направлениям характеризуется дифференциальным эффективным излучением dxn, которое определяется выражением:

ного угла при одиночном столкновении с прицельным расстоянием s, усредненная по азимуту в плоскости, перпендикулярной потоку частиц. Анало-

где Pfaosfi) = | cos2 д — ^ — полином Лежандра (см. приложение 2), д —

полярный угол между направлением п излучения и направлением z потока падающих частиц,

+ОО

А = - I 2жзds I p 2 dt,

} (XII.32)

ОО+ОО

В = | J2nsds I (p2 - Зр2) dt.

О—оо

Спектральное разложение излучения при столкновении, продолжительность которого г, в области малых частот шт <g.l может быть найдено по формуле

<тзз)

где сумма берется по всем сталкивающимся частицам, vi, V2 — скорости частиц до и после столкновения («i, иг <• с).

756*. Получить потенциалы Лиенара - Вихерта (см. (XII.23)) из общих формул для запаздывающих потенциалов.

УКАЗАНИЕ. Распределение заряда в точечной частице характеризуется объемной плотностью р(г', t) = е6[т' —го(£)], где го(4) —радиус-вектор частицы вмомент времени t, e —ее заряд. Привычислении объемного интеграла по dV' = dx'dy'dz' нужно перейти к новой переменной R i = г' — го.

757*. Произведя разложение по степеням R/c в общих формулах запаздывающих потенциалов ((XII.1), (XII.2)), найти разложение потенциалов Лиенара-Вихерта по степеням 1/с.

758.Получить потенциалы поля равномерно движущегося точечного заряда из потенциалов Лиенара-Вихерта, выразив в последних ретардированное время f через время t наблюдения поля (ср. с задачами 610 и 811*).

759.Найти напряженности поля равномерно движущегося точечного заряда, воспользовавшись для этого общими формулами (ХП.25). Выразить поле через время t его наблюдения, исключив ретардированное время t' (ср.

сзадачей 610).

760.Заряд е движется с малой скоростью v и ускорением v ограниченной области. Найти приближенные выражения электромагнитного поля Б, Н частицы в точках, расстояние г до которых частицы велико по сравнению с размерами области движения заряда. Определить положение границы квазистационарной и волновой зон.

761.Определить угловое распределение ^ - излучения заряда, рас-

ал1

смотренного в предыдущей задаче. Найти полное излучение /.

762*. Частица теряет в единицу времени за счет излучения в неко-

— 2© _ \ (С К О рО С Т Ь потерь энергии на еди- dt uO/

ницу телесного угла в данном направлении). Выразить эту величину через интенсивность излучения 4k B данном направлении определяемую век-

тором Пойнтинга. Решить задачу двумя способами: а) аналитическим — рассмотреть связь ретардированного времени t' с временем наблюдения t; б) геометрическим — рассмотреть форму области пространства, в которой локализована электромагнитная энергия, излученная частицей за время dt'.

763.Доказать, что если частица совершает периодическое движение, то средняя за период скорость потерь энергии совпадает со средней интенсивностью излучения.

764.Доказать формулу (XII.26).

765. Найти суммарную по всем направлениям скорость потерь энер-

— *Щ) излучающей заряженной частицей, выразив ее а) через скоси /

рость v(i') и ускорение v(i')> б) через скорость v(i') и напряженности Е, Н внешнего электромагнитного поля, вызывающего ускоренное движение частицы. Масса частицы тп, заряд е.

766. Выразить скорость потери импульса ( — Ц ) излучающей заря- \ at )

женной частицей через суммарную по всем направлениям скорость потери энергии.

767.Излучающую частицу наблюдают из двух систем отсчета, движущихся равномерно друг относительно друга. Сравнить суммарные по всем направлениям скорости потери энергии частицей в этих системах отсчета.

768.Скорость v релятивистской частицы в некоторый момент ретардированного времени t' параллельна ее ускорению v. Найти мгновенное

угловое распределение интенсивности излучения ^=-, полную мгновенную интенсивность излучения /, а также суммарную по всем направлениям ско-

— ^7 ). Какой характер имеет угловое распределение dt )

интенсивности излучения в ультрарелятивистском случае?

769.Скорость частицы убывает от VQ ДО 0 в течение промежутка времени т. Найти угловое распределение тормозного излучения, испущенного за все время движения частицы, считая ускорение постоянным. Какая длительность At импульса будет зарегистрирована покоящимся прибором?

770.Релятивистская частица с зарядом е, массой тпи импульсом р движется по круговой орбите в постоянном однородном магнитном поле Н.

Радиус орбиты а = —jr. Найти суммарную по всем направлениям скорость

потери энергии частицей I — ^

\dt

771.Ультрарелятивистский электрон движется в однородном магнит-

ном поле с напряженностью Н по винтовой линии. Его скорость v составляет угол в с вектором Н. Найти энергию — =^, теряемую электроном

dt

в единицу времени. Найти также поток энергии излучения / через неподвижную сферу большого радиуса, окружающую электрон.

772. Найти мгновенное угловое распределение интенсивности излучения ^- релятивистской частицы, скорость которой в ретардированный

совершают эллиптическое движение (см. задачу 712). Найти полную, усредненную по времени, интенсивность излучения /.

мой двух частиц, совершающих эллиптическое движение (см. предыдущую задачу).

УКАЗАНИЕ. Общая формула для потери момента импульса была получена взадаче 730.

dx

780*. Найти дифференциальное эффективное излучение - ^ при рас-

аМ

сеянии потока частиц с зарядами е ь массами т\ и скоростью vo на одноименно заряженной частице с зарядом ег и массой тп?.

УКАЗАНИЕ. При вычислении интегралов Аи В, входящих в формулу (XII.3I), перейти от интегрирования по dt к интегрированию по dr, dt = —г, где г =

которое могут сближаться частицы (оно достигается при s = 0). Интегрировать сначала по ds, затем по dr. При вычислении В необходимо использовать уравнение траектории относительного движения, которое можно найти в ответе к задаче 712.

781*. Частица с зарядом е\ и массой m сталкивается с другой частицей, масса которой много больше т , а заряд е?; прицельное расстояние s. Кинетическая энергия налетающей частицы велика по сравнению с потенциальной энергией взаимодействия частиц ^ ^ . Вследствие этого скорость v налетающей частицы может считаться постоянной в течение всего столкновения; она не обязательно мала по сравнению со скоростью све-

та. Найти угловое распределение полного излучения dAW " . Рассмотреть,

в частности, случай /3 = ^ <£ 1.

УКАЗАНИЕ. Воспользоваться общей формулой для углового распределения полного излучения (XII.26). Ускорение частицы v выразить через действующую

с2 р . на нее кулонову силу и скорость v частицы с помощью формул v = —§- и р =

8

782. Определить полное излучение энергии ДИ^ и импульса Др частицей, рассмотренной в предыдущей задаче, за все время ее движения. Сделать это как непосредственно — путем интегрирования углового, распределения, найденного в предыдущей задаче, так и с помощью формул, полученных в задачах 765, 766.

783*. Частица с зарядом е\ и массой т сталкивается с тяжелой частицей, заряд которой в2- Прицельное расстояние s велико, такчто мистическая энергия частицы в течение всего времени движения велика сравнению с ее потенциальной энергией. Скорость частицы и « с Найти спектр тормоз-

dAW

ного излучения частицы—-——.

УКАЗАНИЕ. Воспользоваться формулой (П3.15).

784. Поток частиц с зарядом е и скоростью v <Cс с рассеивается на абсолютно твердой сфере радиуса а. Найти эффективное излучение с1хш в интервале частот du>. Чему равно полное эффективное излучение xl

785*. Поток частиц с зарядами е\ и массами т\ рассеивается на

частице с зарядом ег и массой т г ( щ- = щ-). Выразить дифференциаль-

ное эффективное излучение - ^ через компоненты Qap квадрупольного

момента системы. Результат представить в форме, аналогичной (XII.31), (XII.32).

786*. Найти полное эффективное излучение х прирассеянии потока заряженных частиц (заряд е, масса т, скорость vo) одинаковой с ними частицей.

§ 3. Взаимодействие заряженных частиц с излучением

Излучающая система частиц, передавая энергию и импульс полю излучения, испытывает со стороны этого поля обратное воздействие (реакция излучения). Если излучение имеет электрический дипольный характер, то на каждую частицу с зарядом е действует сила лучистого торможения (лучистого трения):

В ультрарелятивистском случае и и с сила лучистого трения может быть представлена в виде

ось х выбрана вдоль направления скорости частицы, Б, Н — компоненты

энергия частицы.

Сила лучистого трения, определяемая формулами (ХП.34)-(ХП.36), не вполне корректным образом учнтывает реакцию излучения. Понятием силы лучистого трения можно пользоваться только тогда, когда эта сила мала по сравнению с другими силами, действующими на частицу в ее системе покоя. Это условие выполняется при движении частицы с зарядом е и массой т в заданном электромагнитном поле Б, Н, если

где А — длина волны, излучаемая частицей, го = -^—= = 2,8 • 10~1 3 см —

те

классический радиус электрона. Условия (ХП.37) и (ХП.38) означают, что классическая электродинамика становится внутренне противоречивой на очень малых расстояниях (больших частотах) и в слишком сильных полях1.

Электромагнитная волна, падающая на систему зарядов, вызывает ускоренное их движение. Вследствие этого, система становится источником вторичных волн — рассеивает падающую волну. Процесс рассеяния характеризуется дифференциальным и полным сечениями рассеяния, определение которых дано в § 2 гл. VIII.

Электромагнитное поле движущейся заряженной частицы обладает энергией, импульсом и, следовательно, массой (электромагнитная масса частицы). Вопрос об электромагнитной массе элементарных частиц не может быть решен на основе классической электродинамики. Однако классическая теория хорошо поясняет саму идею электромагнитной массы. Задачи 787*-790* иллюстрируют основные положения этой теории, а также возникающие в ней трудности.

787*. Найти импульс электромагнитного поля частицы с зарядом е, движущейся равномерно со скоростью v. Частицу рассматривать в ее системе покоя 5' как твердый шарик с радиусом го (в системе, где скорость

'Следует отметить, что благодаря квантовым эффектам классическая электродинамика становится неприменимой раньше, чем обнаруживается ее внутренняя противоречивость. Это

в этом гармоническом осцилляторе возникают свободные колебания.Учитывая реакцию излучения, но считая ее малой, найти закон затухания этих колебаний. Определить форму спектра такого осциллятора и ширину спектральной линии («естественная ширина»). Как связаны между собой неопределенность энергии hu> излучаемых фотонов и время жизни осциллятора?

795. Газ состоит из атомов с массой т. Неподвижный атом этого газа излучает свет с частотой и>о (естественной шириной линии испускания пренебрегаем). Из-за теплового движения атомов и эффекта Допплера наблюдатель, неподвижный относительно сосуда с газом, зарегистрирует

частоту, отличающуюся от шо- Найти форму -^- спектра излучения газа, нагретого до температуры Т.

УКАЗАНИЕ. Скорости атомов газа распределены по закону Максвелла

вие t i « c , можно в формуле, выражающей допплеровское изменение частоты (см. задачу 574), отбросить все члены, порядок которых выше ^.

796. Излучающий атом, описываемый моделью гармонического осциллятора, движется в газе; приэтом атом испытывает столкновения сдругими атомами, скачком меняющие характер его колебаний. Вероятность того, что время свободного движения атома имеет продолжительность от т

до т + dr выражается формулой dW(r) = ^е 2 dr (среднее значение

промежутка времени между столкновениями т = ^ J. Найти, пренебрегая естественной шириной линии, форму спектра излучения такого осциллято-

797*. Натрехмерный изотропный осциллятор падает группа волн, характеризуемая спектральным распределением интенсивности Su и полной

оо

интенсивностью S = Jо Su dui (5 — количество энергии, протекающее через

1 см1 за все время прохождения группы). Ширина спектрального распределения группы велика по сравнению с естественной шириной спектральной