Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4634 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Казанский федеральный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Батыгин&co

.pdf
Скачиваний:
374
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
7.66 Mб
Скачать
☆

300

Глава III

218. &)С = § (sin 0 + 0);

интеграл из решения задачи 217 берется подстановкой е

= х.

г„. 0 = |(5-X).

ГЛАВА IV

ПОСТОЯННЫЙ ТОК

220.4 =

221.Сопротивление катушки гальванометра должно быть равно внеш-

нему сопротивлению R.

222.

о

R = -=г при п = 2,

13 Л = -=-г при п = 3,

Л = 22Г при п = 4.

Использование соображений симметрии позволяет, например, в случае п = 3 ограничиться всего тремя контурными токами.

223. Введем контурные токи, как показано на рис. 12.

Уравнение

Кирхгофа для ячейки Bk~AkAk+\Bk+\ имеет вид

 

?fc.

(1)

Это линейное разностное уравнение второго порядка имеет два линейно независимых решения: ека и е~ка, где

1 При выводе этого и нижеследующих выражении полезно помнить, что формулы гиперболической тригонометрии получаются из формул обычной тригонометрии заменами

cos а —>ch а, sin а —>t sh а.

302

ГлаваIV

 

Общее решение (1) имеет вид Jk = А'ека + В'е~ка.

В данном случае

удобно, перегруппировав члены, записать (1) в форме

 

Jk

= АсЦ/3 - к)а,

(3)

где Аи /3— произвольные постоянные. Определим их из граничных условий на концах линии. Рассмотрим последнюю ячейку. Уравнение Кирхгофа для этой ячейки принимает вид

^„(Д + Да + Г ) - ^ П _ ! Г

= О.

(4)

Подставив в (4) выражения токов $п и $п-\

из (3) и используя (2), получим

после сокращения на А уравнение для определения(3:

 

Ra ch тга + У/Ш

sh (п + ^) а

 

——)

Ц-.

(5)

Ra sh па + VRrchln)

+Цi j a

Значение постоянной А можно получить, составив уравнение Кирхгофа для начальной ячейки линии:

 

g.

(6)

Из (6) после некоторых преобразований находим, что

 

А =

ё

 

 

 

 

Ri ch /За + л/Ш sh (/3+ \ ) а

 

Окончательно получаем для тока на отрезке AkAk+i

линии следующее

выражение:

 

 

*

gch(/3fc)a

 

 

Ri ch/3a + у/Шsh10 + i J a

 

Входящие в (7) постоянные аи /3определяются уравнениями (2), (5). При сухой изоляции г —> оо, a —> 0 и (7), как и следует ожидать,

принимает вид:

Jk = R + R + in + W

( 8 )

Постоянный ток

303

Из (7)и (8) находим для отношения э.д. с. <§Ь и §, обеспечивающих один итот же ток через нагрузку при сухой исырой изоляции, выражение:

 

 

 

(9)

ё°

[Ri + Rv +in

^

^

Если сопротивление нагрузки Д а

= 0, то уравнение (5) упрощается

и из него в этом случае следует, что

 

 

 

Р = п + \.

(10)

224.Если ^(х), tp(x) — ток ипотенциал жилы (относительно земли)

всечении с координатой х, то

/ \

idJ

a dV

225.

 

 

 

*/_ч_

$chs(x-x0)

 

 

Richsxo + y/pf/shsxo'

где s = А—.. Постоянная XQ определяется из уравнения

VР

г?

(2)

VPP7'

При Ri = Ra = 0

^ " ' " " " " Л (3)

Если нет утечки, то р' —* сю, XQ —* a, s —* 0 ивдоль кабеля ток принимает постоянное значение:

Ju_ e

При использовании формулы (7) изрешения задачи 223 нужно положить

с .

Р1

,

х

а

К = pax,

г = —,

 

K = - J ~ I

я = -j-.

 

dx

 

dx

dx

304 ГлаваIV

Тогда из уравнения (2) решения задачи 223 следует, что а = sdx. Величина /3в этом решении связана с хо соотношением /3 = -^-, так что /За = xos.

Подстановка этих выражений в уравнения (5) и (7) решения задачи 223 приводит к приведенным выше формулам (1) и (2).

226.

Х2Л1'

Х1Л2 + Х2Л1'

31 П

На границе раздела между пластинками:

- 1) ~ xi (е2 -

=

2 Х

 

4тг

 

4

<т =

Az-.Pi

 

4тг

Величина V больше нуля, если первая пластинка прилегает к положительно заряженной обкладке.

У границы обкладки и первой пластинки:

£>i

ffi-.Pi

* = 4 Р СТсв

= 4тг •

У границы обкладки и второй пластинки:

 

D2

E2 - D2

G =

1—1 "ев =

"л •

 

4тг

4тг

где (Ji, /32 — углы, образованные линией тока с нормалью к поверхности раздела в первой и второй среде.

Постоянный ток

305

228.

•ка'х

о

U, г>6.

Из этой формулы видно, что электрическое поле в пространстве между проводниками не направлено по оси z. Наличие отличной от нуля радиальной составляющей электрического поля Ег говорит о том, что на цилиндрических поверхностях проводников имеются поверхностные заряды с плотностями

(Ti =

eJz

eJz

4тг

4тг r=b

При z = 0 плотности (Ti и (Т2 обращаются в нуль. Положение сечения, на котором (Ti = (Т2 = 0, не является определенным. Это сечение может быть смещено, если на провод поместить добавочный постоянный заряд. Заряды qi = 2жаа\ и q2 = 2жЬа2 = —q\, приходящиеся на единицу длины провода и оболочки (при одном и том же z), связаны с разностью потенциалов между ними

 

 

ь

 

V =

 

соотношением

Si

 

 

= const.

 

V

 

 

Отношение q\/V совпадает в данном случае с емкостью на единицу длины цилиндрического конденсатора в электростатической задаче.

Магнитное поле имеет, очевидно, тот же вид, что и поле бесконечно длинного прямого провода с током У. Это объясняется тем, что плотность тока в бесконечно толстой оболочке равна нулю, вследствие чего обратный ток не создает магнитного поля.

229.

Ео

=

-k(x2h

г д е к =

 

^

о

306

ГлаваIV

So = Е„1о — э.д.с. источника. Внутри него электрическое поле направлено противоположно току (.Ео < 0).

Заряды, создающие это электрическое поле, возникают на границах раздела проводников с разными проводимостями и могут быть определены с помощью граничных условий; например, заряд на границе 01 равен

2

901 = -£-(Ei - Ео).

230. Рассмотрим, например, поток энергии через поверхность 0-го проводника, в котором действует э.д.с. Магнитное поле вблизи поверхно-

ста совпадает с полем бесконечно длинного прямого провода Н = =^-. Вектор Пойнтинга 7 = т~(Еох Н) (Ео— напряженность электрического

поля в 0-мпроводнике, направленная противоположно току, см., задачу 229), как легко убедиться, направлен из проводника по нормали к его поверхности. Величина потока энергии через поверхность этого проводника, следовательно, равна 2тгг£о7 = <?V> г Де V = ^о'о — разность потенциалов на концах проводника. Величина JV представляет собой разность между работой э.д.с. 8$ {8 = Е„1о) и джоулевыми потерями в единицу времени в самом источнике.

Энергия JV вытекает ежесекундно через наружную поверхность источника, течет в окружающем проводники пространстве (в основном вне проводников) и втекает внутрь 1-го и 2-го проводников через их поверхности, превращаясь внутри этих проводников в джоулево тепло. В том, что общее количество энергии, втекающей в 1-й и 2-й проводники за единицу времени, равно JV\, $Vi, легко убедиться, рассмотрев вектор Пойнтинга так же,каквыше.

2

231. R = f •£-, где элемент dl направлен по нормали кэквипотенци-

альной поверхности с площадью 5; цифрами 1 и 2 обозначены граничные поверхности.

232.

4тгх\о Ь)

б)д=х^(1-т0-

4TTXI \ а с /

в) R= r-V-ln -•

2nlx a

233. - L(I - i) + 1 .1.

47ГХ2 \О О/ 2ТГХ1 О

Постоянный ток

307

234.<?к=*

235.С=

236.Q =

237.Д =

238.

R = Vl~V2

= Ri + R2 - -1-} и fli + Да,

где i?i = тг—-—, Лг = тг-^

сопротивления уединенных заземлителей

 

4KXU1

4KXU2

 

 

(см. задачу 233).

 

 

 

239.

Обозначим через

ео = л/1 — ^ эксцентриситет ЭЛЛИПСОИДОВ

 

 

 

V

а

вращения (Ь/а — отношение меньшей полуоси кбольшей). Тогда

 

 

 

 

1

 

 

 

е0

— в случае сплюснутого эллипсоида вращения,

 

 

д _ 1

( 1 ~ е § ) % 1+ер

 

 

R

1

п

— случае вытянутого эллипсоида вращения.

Более выгодной (при фиксированном объеме V) является сильно вытянутая или, наоборот, очень сплюснутая форма заземлителей.

240. Плотность тока впространстве между электродами

 

3 =Р"

(1)

не зависит от х (v(x) - скорость частиц вданной точке х). Скорость связана с потенциалом ip(x) формулой

- V - ^ w

(if = 0при х =0).

308

Глава W

 

 

Из (1) и (2) следует, что р = 3*/—хг-г

так как уравнение Пуассона

принимает вид

 

 

 

^

=-^jJ-^-

(3)

Интегрируя (3)с граничными условиями

dip

= 0 и 4>\х=а = Vo.

-f-

получим

(«закон трех вторых»).

ГЛАВА V

ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

241.

 

 

 

г<а,

На

= па

при

а < г 6,

 

-gjr

 

О

при

г >Ь.

242. Рассмотрим решение задачи методом векторного потенциала. Если направить ось z вдоль оси цилиндра, то прямоугольные компоненты А будут удовлетворять уравнениям:

ААХ = О, ААУ = О, AAz = -^p-jz,

(1)

Ф

причем j z = 0 при г > a, j z = -=-5- при г ^ а.

па

Поскольку в уравнения для Ах и Ау заданный ток J не входит, эти компоненты можно считать равными нулю; Az будет зависеть только от расстояния г до оси z. Интегрируя уравнение для Аг и используя условия непрерывности Аг и На на границе г = а и ограниченности Н при г = О, получим:

при г < а

г, На = ^г;

(2)

при г > а

= -дГ. (2')

Константа С — произвольна.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности