Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1265 вузов, 4638 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Казанский федеральный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Батыгин&co

.pdf
Скачиваний:
374
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
7.66 Mб
Скачать
☆

360

ГлаваVII

Уравнение (1) представляет

собою разностное линейное уравнение

с целочисленной независимой переменной п. Оно имеет (ср. с задачей 223)

два линейно независимых решения sin xn и cos xn,

причем частоты соб-

ственных колебаний выражаются через параметр х:

 

о;2 = За;2 sin2 f,

и0 = -±=.

(2)

Используя граничные условия ^о = $м

= 0, находим

 

Jn = Asmxn,

ж=тпг-

(3)

Здесь г может принимать любые целочисленные значения (г = 1,2,...). Значение г = 0 соответствует нулевому току в цепи. Однако вследствие периодичности sin Щ, входящего в (2), число собственных частот системы

будет конечно. Чтобы получить

весь спектр частот, достаточно менять г

в пределах

1 < г < N. При этом х будет меняться в пределах 0 < х < тг,

каждому х

будет соответствовать одна собственная частота, а всего частот

будет N, как и должно быть в системе N связанных контуров. Они будут

лежать в интервале 0 < и> ^ 2о>о-

 

Для интерпретации величины х введем координату уп

= an п-й ячейки

(а — «длина» одной ячейки цепи). Тогда (3) вместе с временным множите-

лем можно записать в виде

 

 

 

Jn(t)=

Jo sin купе-**-*,

(4)

£

Выражение (4) представляет собою суперпозицию двух волн, бегущих в противоположных направлениях. Величина к играет роль «волнового вектора» колебаний, распространяющихся по цепочке из отдельных дискретных звеньев. Фазовую и групповую скорости этих волн можно вычислить по обычным формулам

Поскольку зависимость о; от А; нелинейна, vv

и vg отличаются

друг от

друга — имеет место дисперсия. Из (2) находим:

 

= —j^- sin -^,

vg= woa cos -^.

(6)

§ 1. Квазистационарные явления в линейных проводниках

361

Величина Щ- имеет смысл «длины волны» колебаний в дискретной цепочке;

 

К

а) имеем ка

<С 1, откуда

следует, что фазовая

для длинных волн (А »

и групповая скорости vv

= vg

=

И не зависят от к — дисперсия отсут-

ствует. Графики зависимости CJ av

 

 

 

приведены на рис. 74.

 

 

 

 

 

Электрические колебания рассмот-

 

 

ренной цепочки аналогичны механиче-

ч>а

2ц,

ским колебаниям линейной одноатом-

 

 

ной цепочки, которая может

служить

 

 

одномерной моделью кристалла. Ин-

 

 

дуктивность L аналогична массе атома,

 

 

величина 1/С — коэффициенту жестко-

 

 

сти1

 

 

 

 

 

 

370.

Аг=Щ

-ufl

 

 

о

7Г

 

 

 

 

 

 

 

 

TI

371.

Обозначим токи в

контурах

 

Рис. 74

с самоиндукцией L\ через У,

в конту-

 

 

рах с самоиндукцией L^ — через

У.

 

 

Уравнения Кирхгофа будут иметь вид:

 

 

 

 

 

 

 

(1)

Введя частоты ш\ =

 

 

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

(2)

Решение этой системы будем искать в виде

 

 

Jn

=

 

 

^ = BeBeixn

(3)

'Подробнее о колебаниях атомных цепочек см., например, М.А.Леонтович, Статистическая физика, Гостехиздат, 1944 г.; М. Борн и Хуан Кунь, Динамическая теория кристаллических решеток, ИЛ, 1958 г. Аналогии между электрическими и механическими колебаниями рассматриваются в книге Л. Бриллюэна и М.Пароди [19], гл. 3 и 4.

362

Глава VII

 

где А, В, я — постоянные. Подставив эти решения в (2), получим

 

А(2и2 + и2) = Buj(l

+ е~ы),

В(2ш1 - и2) = АшЦ! + еы).

(4)

Из равенства нулю определителя этой системы найдем связь между частотой ш и я:

(5)

Чтобы получить весь спектр колебаний, нужно менять и в пределах от О до ж. Значения я, как и в задаче 369, могут быть найдены из граничных условий.

Наиболее существенным отличием от случая цепочки с одинаковыми звеньями является то, что каждому значению я теперь соответствуют две частоты, как следует из формулы (5). Поэтому существуют две ветви

О

Рис. 75

колебаний. Обозначим частоты этих колебаний через и>+ иш_, где индексы «+» и «—» соответствуют таким же знакам перед корнем в формуле (5). Зависимость частот от я изображена графически на рис. 75. Колебания с частотой и>-аналогичны колебаниям в цепочке с одинаковыми звеньями. В частности, при малых я (длинные волны) имеем

Ш- =

т. е. дисперсия отсутствует.

§ 1. Квазистационарные явления в линейных проводниках

363

Для ветви и>+ при малых УС получим выражение для закона дисперсии

вида

ш+ = а + ЬУС2.

При УС —> 0 фазовая скорость стремится к бесконечности, а групповая скорость обращается в нуль.

Для исследования характера колебаний в обеих ветвях найдем отношение амплитуд токов в соседних контурах для очень длинных х С 1 и самых коротких (УС близко к 7г) волн. Из равенств (4) имеем при ж < 1 :

для ветви CJ-

(!).-'•

для ветви to+

Для ветви и>- колебания токов в соседних контурах происходят с одинаковой амплитудой в одной фазе. Для ветви и>+ колебания в соседних контурах противофазны, а амплитуды колебаний обратно пропорциональны индук-

ТИВНОСТЯМ. П р и УС = 7Г

Переходя в формуле (4) к пределу УС —> 7г, получим

Таким образом, в предельном случае УС = ж колебания с частотой ш+ =

I О

= сх/ у ^ происходят только в контурах с индуктивностями Li, а колебания

с частотой CJ- = с. — в контурах с индуктивностями Ь^.

Рассмотренные в этой задаче колебания с частотами и>-и и>+ являются аналогом акустических и оптических колебаний в линейной атомной цепочке, состоящей из атомов двух сортов с разными массами (см. литературу, указанную на стр. 359).

372.

364

ГлаваVII

где q\,q2— корни уравнения

Постоянные А, В определяются из граничных условий £ц

=

0; (^о —

— Ji)Z2

= U\. Второе условие

означает, что между точками а'Ь' (см.

рис. 23) приложено напряжение U\. Используя равенство q\q2

= 1 выте-

кающее из (2), получим окончательно:

 

 

 

U

Ч2~41

 

 

373.

Коэффициент передачи К определяется из результатов

предыду-

щей задачи:

 

 

 

 

К=—

9 1 ~ 9 2

 

 

В знаменателе этого выражения

имеются множители q^

и

q% • Так

как q\ • qi = 1, то возможны два случая:

 

 

 

a) |9i| = |ft| = l;

б) | а | > 1 , | 9 i | < 1 .

 

 

В первом случае q^ и q£ будут по модулю равны единице, К тоже будет порядка единицы. Во втором случае при N ~> 1 |д^| 2> 1, a \q£\ <C 1, поэтому

к< < 1

Интервалы частот, для которых реализуются случаи а) и б), определяются из уравнения (2) задачи 372. Из него следует, что

Если подкоренное выражение отрицательно, то q\ и q2 — два комплексно сопряженных корня, по модулю равных единице, т. е. осуществляется случай а). При положительном подкоренном выражении, q\ и q2 вещественны и различны, т.е. имеет место случай б). Приравнивая нулю подкоренное выражение, найдем область значений Z\, Z2 для случая а):

о 1—/ТПЯПР*~1

§ 1. Квазистационарные явления в линейных проводниках

365

Это соответствует значениям а>2, лежащим между

374. Рассмотрим n-й замкнутый контур искусственной длинной линии (рис. 76). Этот контур можно рассматривать как эквивалентную схему для отрезка длиной а линии с распреде-

ленными параметрами, причем AL будет индуктивностью, а ДС — емкостью данного отрезка. В случае произвольной зависимости тока в линии от времени уравнение Кирхгофа для этого

контура примет вид:

 

Т

Т

gn-l,n

<?n+l,n

 

 

 

 

Рис.76

 

где qn-i,n и qn+i,n — заряды на верхних

обкладках левого и

правого

конденсаторов. Дифференцируя (1) по времени и пользуясь соотношениями <?„_!,„ = - Л , + Jn-!, <?n,n+i =Jn- Ли-ь получим:

1

Теперь нужно перейти от переменной п к переменной z — координате точки линии с распределенными параметрами. Для этого положим

Jn(t) = J(z,t),

-a,t),

Jn+1(t) =

и вычислим разности:

 

 

Подставляя эти разности в (2) и замечая, что L = ^- и С индуктивность и емкость на единицу длины, получим уравнение

с2

366 Глава VII

Это — уравнение длинной линии без потерь. В реальной длинной линии всегда имеются потери как за счет сопротивления в проводах, так и за счет неидеальной изоляции между проводами.

Эквивалентная схема для случая, когда второй фактор не

учитывает-

ся (т.е. изоляция проводов считается идеальной), приведена

на рис. 77.

 

Уравнение длинной линии (телеграфное урав-

д п AL

нение) в этом случае можно получить таким же

"""""""

способом, как было получено (3):

 

 

 

 

с2 т2

dt

(4)

 

 

 

 

 

 

 

где R — активное сопротивление проводов на

 

р и с

77

единицу длины.

 

 

375.

Решая уравнение (3), полученное в предыдущей задаче, найдем

 

 

 

w = vk,

 

 

где v =

с

— скорость распространения волн в длинной линии, к =

 

VLC

 

 

 

 

= у-, г = 1,2,3..., L и С — индуктивность и емкость на единицу длины.

В полученном спектре длинной линии, в отличие от спектра цепочки с сосредоточенными параметрами, число собственных частот бесконечно. Это связано с тем, что длинная линия является континуумом с бесконечным числом степеней свободы, тогда как в цепочке число степеней свободы N — конечно. В случае идеальной длинной линии характерно также отсутствие дисперсии.

376.Исходим из закона Ома в дифференциальной форме: j = <т(Е +

+Ес т ), где Ес т — напряженность поля сторонних сил. Выразим Е через потенциалы:

- ut

и

с Сп

Считая проводник тонким, проинтегрируем обе части последнего равенства по контуру, совпадающему с проводником:

w- (1)

Интеграл, стоящий в левой части равенства (1), представляет собою стороннюю э.д. с. §„, включенную в цепь; интеграл § ^ • d\ = JR определяет

§ 1. Квазистационарные явления в линейных проводниках

367

потери на джоулево тепло за единицу времени. Интеграл $ Vtp-dl = § dtp = = 0. Последний интеграл преобразуем следующим образом. С учетом запаздывания

a(f _ I

Подставляя эти выражения в равенство (1) и отделяя вещественную и мнимую части, получим

с 2

j

Выражение в квадратных скобках представляет комплексное сопротивление цепи. Активное сопротивление равно R + Дг(^). где

sin

Величина R связана с потерями на нагревание проводника; величина Дг(^) характеризует потери энергии на излучение и называется сопротивлением излучения (см. следующую задачу).

_

uoLUo)

Реактивное сопротивление равно

^—, где

представляет собою индуктивность, зависящую от частоты.

Рассмотрим случай, когда можно считать £ = ^ - » I, где I — размер

контура. В области интегрирования у « 1 и, с учетом квадратичного члена в разложении косинуса, получим

368

ГлаваVII

Первый член в этом выражении не зависит от частоты и представляет собой обычную индуктивность1; второй член дает поправку, существенную при высоких частотах.

В разложении синуса нужно учесть кубический член, так как интеграл от первого (линейного) члена обращается в нуль. Сопротивление излучения

= -- *4 <f> <f>r2d\-d\'.

377. L(u) = L + *Ц{£ • 4 . Д г И = ^(Щ2)*- Кольцо с током является магнитным диполем. Энергия, излучаемая в единицу времени, да-

-2

ется формулой -

о

т2

•=^-,где m — магнитный дипольныи момент.

С

Значение коэффициента пропорциональности между излученной энер-

гией и J равно

a.w

и совпадает с Rr(w).

 

Зс5

 

§2. Вихревые токи и скин-эффект

378.Н{х) = Но

 

 

_

При

5 < h, H(x) = Hoe

6 ; при 5 > h, H(x) = Ho (ср. с зада-

чей 247).

 

 

379.

Так как система симметрична относительно оси цилиндра, а пер-

вичное магнитное поле Я о однородно, то ясно, что вихревые токи в цилиндре будут течь по окружностям в плоскостях, перпендикулярных его оси. Эти токи создадут такое же магнитное поле, какое создавалось бы множеством отдельных коаксиальных соленоидов. Но поле соленоида во внешнем пространстве равно нулю, а внутри соленоида направлено вдоль его оси. Таким образом, полное магнитное поле вне цилиндра совпадет с полем Яо, а внутри цилиндра определяется первым уравнением (VII. 12), которое ввиду осевой симметрии примет вид

еРН , 1 dH

'Практически для вычисления самоиндукции нужно использовать формулу (V.18), так как

11 11/

интеграггеграл $f $f — ^- — расходится. Эта расходимость вызвана тем, что проводник считается бесконечно тонким (линейным).

§ 2. Вихревые токии скин-эффект

369

где

 

 

 

 

i±i

= Hx(r),

На=Нг =О,

и граничным условием Н(а)

= Но.

 

 

 

Решение, конечное при г = 0 и удовлетворяющее

этому граничному

условию, выразится через функцию Бесселя нулевого порядка:

 

ТТ и

M k r

)

 

Вне цилиндра имеем

 

 

 

 

Н = Щ при а ^ г ^ б ,

Н = 0 при г > Ь.

Плотность тока и электрическое поле внутри цилиндра вычисляются по формуле (VII. 11):

Для определения электрического поля вне цилиндра воспользуемся уравнением Максвелла для rot Б, которое запишем в интегральной форме:

\dl = — I Bn dS.

Внутри цилиндра имеется только одна компонента электрического поля Еа, из граничного условия на поверхности стержня и из симметрии системы следует, что вне цилиндра поле Б также будет иметь лишь составляющую Еа, зависящую только от г. Если выбрать в качестве контура I окружность, то контурный интеграл дает 2пгЕа. При вычислении интеграла по площади используем формулу (П3.12). Окончательно получим:

При отсутствии цилиндра, т. е. если а = 0, поле будет равно

Еа = \Щг (г < 6), Еа = Н^-(г> Ь).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности