480 Главах
так что покраснение света начинается, когда источник находится еще далеко от наблюдателя, приближаясь к нему. Это происходит, начиная с расстояний I и d/во-
Число фотонов, излучаемых в единицу лабораторного времени в интервале углов 0 < в < во, есть
во
а в интервале во < в < п
N2 =
Очевидно, что Ni + iV2 = ATTJQ \/l —(З2 соответствует полному числу фотонов, излучаемому в единицу времени по всем направлениям. Ni и N? равны между собой при /9 <С 1, когда cos do w 0. Если же /3приближается к единице, то Ni делается много больше, чем ЛГ2. Таким образом в этом ультрарелятивистском случае подавляющая часть света излучается в узком конусе в < во, испытывая при этом фиолетовое смещение.
578. Используя решение предыдущей задачи, получим
(1 - в 2 ) 2
(l-/?cos0)3 '
где /о = Jofi^o — изотропно распределенная сила света в системе покоя источника. Полный световой поток
одинаков в системе покоя источника и в лабораторной системе (сравнить с результатом задачи 767).
579.Введем систему 5', связанную с зеркалом (5 — лабораторная
система). Обозначим через а'х и а 2 углы, образуемые волновыми векторами kj и к2 падающей и отраженной волн с направлением скорости V
§ 1. Преобразования Лоренца |
481 |
зеркала (рис. 97). Частоту до и после отражения будем обозначать и}[ и и)'2 соответственно. Аналогичные величины в системе S будем обозначать теми же буквами без штрихов. Будем исходить из известных законов отражения в системе S': и)[ = ш'2 = о/ и а'2 = п —а\, откуда cosa2 = ~ cosa^.
Выражая а/ через ш, cos а' через cos а с помощью формул (Х.4) и (X. 14)
и решая получившиеся уравнения относительно и)2 |
ИCOSОД»найдем: |
|
|
l + /32 )cosai-2/3 |
|
|
COSC*2 = — l-2/3cosai + /32 |
' |
|
|
l-2/3cosc*i |
2 |
|
|
|
U2=U\- |
|
|
|
Если /3 —>1, то при нормальном падении на удаляющееся зеркало |
0, |
а при нормальном падении на приближающееся зеркало ш? —>оо. |
|
5 8 0 . |
LJl = U>2- |
|
|
|
Угол падения равен углу отраже- |
|
|
|
ния. |
|
|
|
|
581. |
Изображение создается |
|
|
|
квантами света, одновременно до- |
|
|
|
стигающими фотопластинки. Но эти |
|
а,' |
|
кванты испускаются точками движу- |
|
|
|
|
|
щегося тела, вообще говоря, неодно- |
|
|
|
временно. Это происходит как вслед- |
|
|
|
ствие неодинаковости расстояний раз- |
|
|
|
личных точек тела до фотопластинки, |
|
|
|
так и из-за того, что события, одновре- |
|
|
|
менные в одной системе отсчета, неод- |
|
|
|
новременны в другой. Поэтому изоб- |
|
|
|
ражение движущегося предмета будет |
|
Рис. 97 |
|
не таким, как изображение неподвиж- |
|
|
|
|
|
ного предмета. |
|
|
|
Кванты, испущенные разными точками ребра А'В' одновременно в си- |
стеме S' |
(куба), достигнут фотопластинки одновременно. Длина изображе- |
ния АВ |
будет такой же, как и в случае неподвижного куба, и будет опре- |
деляться только тем сокращением, которое обусловлено расстоянием до предмета и фокусным расстоянием фотоаппарата. Примем эту длину за 1.
У неподвижного куба изображение ребра E'F' было бы слито с изображением А'В' (в предельном случае сколь угодно малого телесного угла, когда все лучи параллельны). В случае движущегося куба кванты от ребра E'F' достигнут фотопластинки одновременно с квантами от ребра А'В',
482 |
|
ГлаваХ |
|
если первые будут испущены раньше на время At |
= /о /с (в системе S). |
В это время ребро E'F' |
занимало положение E[F[ |
и до испускания све- |
та ребром А'В' |
проделало путь, равный Vlo/c. Следовательно, теперь ре- |
бро E'F' не будет загорожено ребром АВ, изображения ребер А'Е' и B'F' |
будут иметь длину V/c |
= (5, а не нуль, как у неподвижного куба, и вся |
грань A'B'F'E' |
сфотографируется в виде прямоугольника ABFE (рис. 98а) |
с соотношением сторон 1: /?.
1
1
а)
Рис. 98
Кванты, создающие изображения ребер А'В' и CD', испускаются кубом одновременно в системе S. В системе S', как следует из преобразований Лоренца (Х.1), кванты с ребра CD' должны быть испущены раньше, чем
с ребра А'В', на время At' = -^fVl,гле ' —длина ребер В'С и A'D' в си-
с
стеме 5. Можно считать, что в системе 5' в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии Ах' = /о,произошлидва события, одно на At' позже другого. Расстояние между ними в системе S определяется с помощью (Х.1):
I = Ах = 7(Дх' - VAt'),
откуда, подставляя Дх' и At', находим I = loy/l —/?2 — длину ребер ВС и AD в системе S. Они испытали обычное лоренцево сокращение. Их
§ 1. Преобразования Лоренца |
483 |
изображения (с учетом сокращения в фотоаппарате) будут иметь длины л/1 - /З2.
Чертеж изображения куба приведен на рис. 98а. Любопытно отметить, что такое же изображение даст неподвижный куб, повернутый относительно V на угол а = arcsin(Vyc). Видимая форма предмета в данном случае не испытывает деформации из-за лоренцева сокращения — предмет только «повернулся» на угол а. Этот результат, как оказывается (см. [24], а также следующие задачи), имеет место для любого предмета и любого угла между скоростью и направлением наблюдения.
Нужно только, чтобы предмет был виден под малым под малым телесным углом.
Если бы были справедливы преобразования Галилея, то ребра A'D' и В'С' не испытали бы лоренцева сокращения, и изображение приняло бы вид, показанный на рис. 986. Задняя (по отношению к направлению движения) грань куба по-прежнему была бы сфотографирована. Таким образом, видимая форма движущегося предмета подверглась бы искажению.
|
582. |
а) I = |
fo|\/l-/32cosa' - /?sina'|, |
Рис. 99 |
|
/3 = V/c. Значение a ^ , при котором функ- |
|
|
|
ция | \J\ |
—/З2 cos a' |
—/3 sin a' | имеет максимум, |
|
определяется условием t g a ^ = —/З/л/l — /З2.
При этом I = 1о'- таким образом, наибольшая длина I равна /о- Изображение в этом случае эквивалентно изображению неподвижного стержня, ориентированного параллельно фотопластинке. Стержень «повернулся» на угол тг - а'т а х .
а) а' = arctg ( — — - — J; в этом случае изображение получится таким,
как если бы стержень был неподвижен и ориентирован перпендикулярно фотопластинке.
б) Если два наблюдателя, неподвижных в системе 5, одновременно сделают зарубки на плоскости ху в точках М и N, мимо которых в данный момент проходят концы стержня, то полученный ими отрезок MN будет составлять с осью х угол
583.Изображение будет иметь форму круга. Сфотографируется по-
лусфера, заштрихованная на рис. 99. Она ограничена плоскостью А'В', составляющей угол
а' = arctg • 0
с направлением V (в системе шара). Вопреки естественному интуитивному представлению, движущийся шар не воспринимается наблюдателем как эллипсоид, сплющенный в направлении движения. Лоренцево сокращение оказывается невидимым! Но это, разумеется, не означает, что оно отсутствует.
а)
= cos a
Рис. 100
584. Видимые положения куба изображены схематически на рис. 100. При V/c < cos а видна передняя грань A'D' и нижняя грань А'В'. Если в оптической системе фотоаппарата не происходит сокращения размеров предмета, то
§ 1. Преобразования Лоренца |
485 |
Спомощью этих формул находим угол i9 поворота куба:
*= f2 -a-e, где tgfl=
При V/c = cos a имеем д = n/2 — a и видна только нижняя грань А'В'. При У/с > cos a видны нижняя изадняя грани,
. тг |
0 — cos a |
|
i?= 7 7 - a +arctg H |
= . |
2 |
Vl-^i |
|
Наконец, при У/с —> 1 видна только задняя грань, нижняя грань испытала лоренцево сокращение до нуля, i9= ж — а.
585. Пусть всистеме отсчета 5', связанной со средой, распространяется плоская волна счастотой ш и волновым вектором к. (к' cos a', к'sin a', 0),
k' _L Oz. Фазовая скорость волны v' = — = ^y в системе S' не зависит от
п к
угла а', определяющего направление распространения волны. Компоненты поля пропорциональны e~tfc*% где к[ = (^-, к'). Так как фаза faxi = к[х[ — инвариант относительно преобразования Лоренца, то h представляет собой 4-вектор (волновой 4-вектор). Используя (Х.4) и (Х.14), мы можем найти компоненты ki в системе отсчета S,относительно которой среда движется со скоростью V || Ох,откуда
(1)
v = г |
' |
(3) |
у/п2 |
+2f3ncos а' +/32(1 - п2 sin2 a') |
где /3 = V/c, 7 = (1—/З2 )"1 /2 . Из (3) видно, что фазовая скорость в движущейся среде зависит отнаправления распространения. Возникает своеобразная анизотропия, связанная сдвижением среды.
586. Искомую скорость можно найти по формуле (3) предыдущей задачи (а' = 0):
486 Главах
Здесь А' = 2-кс/из', из' — частота, наблюдаемая в системе S', относительно которой среда покоится. По формуле (1) предыдущей задачи находим с точностью до членов первого порядка по V/c:
А' _ |
ы _ Л |
, |
nV |
|
из' |
|
с |
откуда |
|
|
|
с _ |
с |
с_ |
dn д пУ |
п(А') ~ п(А) |
п2' |
d\ с |
и окончательно |
|
|
|
|
п(А) |
V |
п2(А) п(А) d\ |
|
§ 2. Четырехмерные векторы и тензоры |
590. |
Натрехмерный тензор II ранга Аар |
(а, /9 = 1,2,3), два трехмер- |
ных вектора Аоа и Аао (а = 1,2,3), трехмерный скаляр Л |
591. |
Антисимметричный 4-тензор Aik может быть представлен в виде: |
|
|
( 0 |
-Bi -В2 |
-В3~\ |
|
|
-Bi |
0 |
Л3 |
-А2 |
|
|
В2 |
-Аз |
0 |
Лх |
|
|
В3 |
А2 |
-Аг |
0 |
где А = (i4i,А2, Аз) и В = {В\,В2,Вз) |
— трехмерные векторы (точнее, |
В —полярный, а А —аксиальный вектор). |
|
595. |
Инвариантная величина |
|
|
|
имеет одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета; поскольку dxi (i = 0,1,2,3) —компоненты 4-вектора, то совокупность величин
§ 2. Четырехмерныевекторы и тензоры |
487 |
также является 4-вектором. Таким образом, оператор четырехмерного градиента, определенный в виде
где V — оператор трехмерного градиента, преобразуется как 4-вектор.
596.Tik
V f c = (_д |
д |
д |
|
д_\ |
Четырехмернаядивергенция |
|
|
УЛ - |
+ — + — + — - i n v |
|
д |
д |
д |
Рис. 101 |
597.а) скаляр; б) 4-вектор.
598.Перепишем условие параллельности векторов Ai и Bi в виде (умножив числитель и знаменатель каждой из дробей на одно и то же число):
Воспользовавшись теперь известным свойством равных отношений, получим:
599.Существенно различны четыре компоненты. Они совпадают
с точностью до знака с компонентами вектора Ai = ^ешт-^Ыт, отку-
да Ао = Ai23 |
= А231 |
= • • •, Ai = |
-А230 |
= А320 = ..., А2 = - |
= -<4i30 = ..., |
A3 = |
—А120 = А210 |
= ... |
Остальные компоненты |
равны нулю (у них имеются совпадающие индексы). Отсюда следует, что не равные нулю компоненты Aiki преобразуются при четырехмерных поворотах и отражениях как компоненты четырехмерного псевдовектора.
601. Если Xi = o.ikx'k, то матрица а имеет вид(координату XQ пишем на четвертом месте):
|
(cha |
— shot |
0 |
0 |
_ |
sh a |
—chа |
0 |
0 |
а ~ |
' 0 |
0 |
- 1 0 |
О0 0 - 1 ,
602.Искомую матрицу д можно представить в виде произведения трех
матриц:
g = g(ti,<p)g(a)g-\ti,<p).
Матрица
(1 |
0 |
0 |
0 |
\ |
О |
—cosd cosip |
sin ip |
sin i9cos<p I |
0 —cosi9 sin ip |
—cosip —sin i9sin ip I |
0 |
sintf |
0 |
-COSTS |
J |
описывает пространственный поворот системы отсчета (рис. 101):
Матрица |
|
|
|
|
cha |
|
0 |
0 |
- sha> |
0 |
- |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 - |
1 0 |
(sha |
0 |
0 |
-chaj |
соответствует переходу к системе отсчета 5" от системы S'", движущейся вдоль оси Хз с о скоростью V/c = tha (т. е. описывает преобразование Лоренца для координат XQ,ХЗ).Наконец, матрица д~* ($, ф) описывает поворот, в результате которого система отсчета S' переходит в S'" (см. рис.101). 5-1(?9, ф) совпадает с матрицей, транспонированной к g(fl, ф). Перемножив матрицы, найдем:
/cha |
—ш\ sh a |
|
|
—ьзг sh а |
|
—и>з sha |
\ |
w i s h a |
u>i(lcha)) |
l |
w i u ^ l —cha) |
wia;3(l —cha) \ |
|
[ h |
|
^ |
) |
( |
) \ |
|
\ijJ2sha |
ш\Ш2(\ —cha) —1 |
u>2(l —cha) —1 |
|
и>2Шз{\ —cha) |
I ' |
\w3sha |
ш\шз{\ —cha) |
шъшз(\ —cha) —1 |
u>1{\ —cha) — 1/ |
где
wi = sin ?9cosip, u)? = sin ?9sin cp, Ш3= cos i9.
§ 3. Релятивистская электродинамика |
489 |
§3. Релятивистская электродинамика
603.В вакууме:
E = 7 ( E ' _ Y x H ') - ( 7 - i)v^,
В средах:
Формулы преобразования для пар векторов Е, В и D, Н аналогичны формулам преобразования пары Е, Н в вакууме.
604. Задача имеет бесчисленное множество решений. Если найдена система S" (движущаяся со скоростью V), в которой Е' || Н', то в любой системе отсчета, движущейся относительно S" вдоль этого общего направления, Е и Нбудут параллельны, как это следует из (Х.25). Будем искать в связи с этим только тусистему отсчета S", которая движется перпендикулярно плоскости Е, Н. Воспользовавшись условием параллельности векторов Е' и Н', Е' х Н' = 0и формулами преобразования из задачи 603, найдем:
v |
Е2 + Н2- у/(Е2 - Я 2 ) 2 + 4(Е • Н ) 2 |
Т |
~Е Х Н |
2(Е х Н ) 2 |
' |
С помощью инвариантов поля получим далее
Е'2 = \[Е2 - Я 2 + у/{Е2 - Я 2 ) 2
Н12 = \\Н2-Е2-
605. Для предварительного исследования удобно воспользоваться инвариантами поля. При Е > Я должна существовать система отсчета, в ко-
торой Я ' =0, Е' = уЕР^Н^. При Е < Я существует система отсчета, в которой Е' = 0, Я ' = v/Я2 - £ 2 .
