Батыгин&co

Полученные формулы справедливы только в области г ~> а, где а — величина порядка межатомных расстояний. В области г ^ а необходимо учитывать пространственную дисперсию диэлектрической проницаемости.

827. Как следует из формул (6)-(8) предыдущей задачи, монохроматические компоненты полей ЕЫ (Н, t) и НЫ (Н,t) имеют вид:

Ешг(Ъ*) = j g (l - -^

где

(2)

a Kn — модифицированные функции Бесселя.

В волновой зоне \sr\ 3> 1, вследствие чего можно использовать асимптотическое выражение (П3.8) для функций Кп:

(3)

Из (2) следует, что при вещественном S(CJ) s будет вещественным, еслн -=j > е(о>) или /3n(uj) < 1 (п(а>) — показатель преломления для волн

с частотой а>). При /Зп(ш) > 1 s будет чисто мнимым.

Если s — вещественная величина (в силу (2), при этом s > 0), то в волновой зоне поле будет затухать экспоненциально, излучения не происходит. При чисто мнимом s амплитуда полей в волновой зоне будет меняться как 1/у/г, что соответствует цилиндрическим волнам. Покажем, что эти волны будут расходящимися, т. е. в этом случае действительно будет происходить излучение.

Запишем s в виде

и выясним, какой знак нужно выбрать перед корнем. Для этого нужно принять во внимание, что рассматриваемый диэлектрик без потерь является предельным случаем слабо поглощающего диэлектрика с комплексным показателем преломления п = п' + in". Чтобы мнимая часть показателя преломления п" действительно описывала поглощение энергии (т. е. чтобы амплитуда соответствующей волны затухала, а не возрастала), требуется

в (4) знак минус. Устремив после этого п" к нулю, получим

Но такой знак как раз соответствует расходящимся волнам, так как экспоненциальный множитель в выражениях (1) примет вид

яся в диэлектрике с постоянной скоростью v = 0с, излучает электромагнитные волны с частотой UJ (излучение Вавилова-Черенкова). Условие 0п > 1 означает, что скорость частицы должна превосходить фазовую скорость волны с частотой и> в данной среде. Как следует из выражения для волнового вектора к, излучение направлено под углом в к скорости частицы, причем

Эта характерная направленность излучения является следствием когерентности волн, испускаемых частицей в разных точках ее траектории (см. задачу 829).

Фазовая скорость волн Вавилова-Черенкова

— такая же, как у всех поперечных электромагнитных волн. Поляризацию излучения легко определить из формул (1): вектор Н направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через траекторию частицы и волновой вектор к, а вектор Б лежит в указанной плоскости (и перпендикулярен к в волновой зоне). В перпендикулярности к и Б можно убедиться, вычислив скалярное произведение к • Б ш .

Полная энергия черенковского излучения wB _4 на единице пути равна интегралу по времени от потока вектора Пойнтинга через бесконечно удаленную цилиндрическую поверхность единичной длины, окружающую траекторию частицы:

—оо

Используя формулу, приведенную на стр. 572, можно представить (8) в виде

где монохроматические компоненты НШ1р, Ешг должны быть взяты в волновой зоне, а интегрирование ведется по области частот, в которой выполняется условие излучения /3TI(LJ) > 1. С помощью формул (1)-(3) находим окончательно:

в условии задачи значениях параметров о;В-ч ~ 5000эв/см. Излучение сконцентрировано в интервале углов

во< 0 ^ |,

где

/?2£0 cos2 0о = 1.

829. Каждую точку траектории можно рассматривать как источник элементарного возбуждения, распространяющегося в виде сферической волны со скоростью vv = ^ (рис. 131). Фронт результирующей волны представляет собой огибающую элементарных сферических волн. Нормаль к фронту составляет с траекторией угол 9, причем, как следует из рисун-

ляет собой суперпозицию плоских волн с частотами ш = к • v, где v — скорость частицы, к — волновой вектор (см. задачу 810). В неограниченном

где cos в = ^ , а>в _ч —энергия черенковского излучения на единице длины, вычисленная в задаче 827.

Это выражение получается таким же путем, как в задаче 811.

При /Зп > 1 метод, примененный в задаче 811, не может быть использован, так как подынтегральное выражение в этом случае будет иметь

полюс при к = efj,1—-^—.

с

Введя в пространстве к цилиндрические координаты, запишем ср в виде

обхода этих полюсов, допустим, что п имеет малую мнимую часть п" > О при kz > 0, п" < 0 при kz < 0 (см. аналогичный анализ в задаче 827;

в данном случае знак и> совпадает со знаком kz, так как и> = к • v). Поэтому оба нуля будут смещены в нижнюю полуплоскость комплексной переменной kz. При z > vt нужно замкнуть контур интегрирования дугой бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости (на этой дуге подынтегральная функция обращается в нуль). Так как знаменатель не имеет нулей

в верхней полуплоскости,интеграл по kz в этом случае будет равен нулю. При z < vt замыкаемконтур интегрирования в нижней полуплоскости. Вклад в интеграл дают оба полюса,в результате интегрирования получим:

eik,(z-vt) j u _ 2тг _._ k±(z-vt)

к\-

—оо

Интеграл поа выражается черезфункцию Бесселя Jo(k±_г) (см. П 3.11). Последний интеграл по к± вычислим с помощью формулы (6.671, 7), приве-

(2)

Векторный потенциал А получается умножением(р на -^—.

Формула (2) показывает,что при выполнении условия Вавилова-Че- ренкова /Зп > 1 поле является разрывным. Оно существует только внутри конуса, поверхностькоторогоописываетсяуравнением

Нормаль к поверхности конуса составляет с направлением движения частицы угол в = arccosl - ^ - ) . Как следует из (3), коническая волна распростра-

няется вдоль оси z со скоростью частицы.

Рассмотренную структуру могут иметь не только электромагнитные волны, но и волны другой природы. Например, разрывные акустические волны указанного типа возбуждаются снарядом, движущимся в воздухе со скоростью, большей скорости звука (ударная баллистическая волна). Тот же характер имеют волны, образованные на поверхности воды достаточно быстро движущимся судном.

834. Излучение Вавилова-Черепкова происходит при условии /Зп> 1, где п(и) = \Je(tjj)n(u))\ векторный потенциал имеет вид:

=l4j г£(у -vt + y/pn2 - l\z\)

Тормозящая сила вычисляется по формуле f = ^(j x В), где В должно быть взято в точке z = О, у = vt. Сила приложена в направлении, обратном оси у, и по абсолютной величине равна потере энергии на единице пути: Fy = Этот результат прямо вытекает из закона сохранения энергии.

ствует случаю а), минус — случаю б). Спектральная плотность излучения двух одинаковых зарядов отличается от спектральной плотности излучения

одного заряда множителем 2 (1+cos Щ-).Поэтому интенсивность гармоник с частотами

о,= 2 М п („ = 0,1,2,...)

возрастает в 4 раза, а гармоники с частотами

w = M ( 2 n + i)

исчезнут. При различных по знаку зарядах картина станет обратной. Для перехода к случаю точечного диполя, ориентированного по направлению

движения, нужно разложить 1 — cos Щ- в ряд, считая аргумент косинуса малым. Это даст

/Зп>1

где р —электрический момент диполя, измеренный в лабораторной системе.

где п = л/ё, р — электрический дипольный момент в лабораторной системе отсчета.

сv /Зп>1

838.Потери энергии на единицу пути выражаются интегралом по времени от потока энергии через цилиндрическую поверхность единичной длины и радиуса а, окружающую траекторию частицы. Для вычисления

Та часть полных потерь, которая не исчезает при а —> оо (члены, не содержащие а в (5) и (6)), представляет собой потери энергии на излучение поперечных волн (эффект Вавилова-Черенкова):

Выражение (76) было получено в задаче 828.

Члены с Ко, К\ в (5) и (6),зависящие от а, возникли в результате обхода полюса в точке и = П = •Jufa + и2, в которой е обращается в нуль. Но

при таких частотах возбуждаются продольные колебания (см. задачу 443), поэтому выражение

па

описывает потери на возбуждение продольных колебаний (поляризационные потери). При = ^ < 1 формула (8) принимает простой вид (см. П3.6):

л " v2 Па (У)

скоростях мало.

Изложенный в этой задаче макроскопический метод расчета потерь принадлежит Ферми (1940 г.).

шой скорости частицы, то можно использовать приближенные формулы