Батыгин&co

и те частицы, которые пролетают от нее сколь угодно далеко. Фактически в плазме любой заряд экранируется зарядами противоположного знака, поэтому с любой частицей взаимодействуют только те частицы, которые пролетают от нее на расстояниях, не превышающих радиуса экранировки. Для статистически равновесной плазмы радиус экранировки был вычислен в задаче 308 (радиус Дебая-Хюккеля):

где е и е' — заряды электронов и ионов, п и N — их концентрации. Величина Л называется кулоновым логарифмом. Пренебрегая слабой

зависимостью А от v, можно считать А = const, где const — число порядка 10.

Полезно иметь в виду следующую электростатическую аналогию: выражение (1) можно записать в виде электрической силы F = qE, с которой

действует на заряд q = — ^е 2 е' 2 А «электростатическое поле»

где

— «электростатический потенциал», удовлетворяющий уравнению Пуассона

856. Энергия пробной частицы не меняется при столкновениях с неподвижными бесконечно тяжелыми частицами. Изменение среднего импульса описывается уравнением

где F — средняя сила. Ее удобно вычислять с помощью электростатической аналогии, указанной в решении предыдущей задачи. Распределение

по скоростям частиц среды описывается функцией /(v) = n5{\). Поэтому y(v) = n/v, E(v) = nv/v3,

F имеет характер «силы трения», стремящейся уменьшить направленную скорость частицы. Но это трение тем меньше, чем больше скорость частицы (F ~ 1/v2, «падающее трение»).

Интегрируя уравнение (1), найдем

v(*)=voexp[-|r],

mm / v

859.На электрон, движущийся со скоростью v в среде неподвижных однозарядных ионов, действует сила трения

m v3

(см. решение задачи 856). Отметим, что зависимость силы F от скорости можно получить и из следующих полукачественных соображений. Сила трения есть потеря импульса частицей в единицу времени из-за столкновений. Если среднее время между столкновениями т, а при каждом столкновении теряется импульс порядка полиого импульса частицы mv (это означает, что в результате столкновения электрон отклоняется на большой угол), то

ние и ~ г>т; при этом обе формулы (8) и (9) дадут одинаковое значение

(10)

mvr

Примерный ход функции F(u) представлен на рис. 134.

F

Рис. 134

Если поле в плазме Е < Fmax/e = Ей} то сила торможения при некотором значении и, удовлетворяющем равенству F(u) = еЕ, превысит ускоряющую электрическую силу еЕ, и электроны не смогут больше ускоряться. Это — область значений поля Е, при которых имеет место обычный закон Ома. В случае Е > ED ускоряющая сила превышает торможение, и электроны получают возможность ускоряться неограниченно2. Это явление получило название «убегающих электронов».

Подставляя v2 = ЪкТ/т в формулу (10), получим

Точный расчет для этого же случая дает ([28], в. 1)

Наша порядковая оценка дала результат, близкий к точному значению.

1 Критическое значение поля Е = ED называется драйсеровским.

2 В действительности из-за коллективных эффектов электронный газ как целое не ускоряется, его сопротивление может даже возрастать.

Из граничных условий и (6) находим

где «о — новая постоянная, имеющая смысл скорости в средней плоскости х = 0. vo можно выразить через градиент давления:

ах0 ch^~1dp

Магнитное поле определяется из (2), (7) и граничных условий Hz(±a) = 0:

как в обычной гидродинамике. Магнитное поле Hz = 0 в первом порядке по числу Гартмана. Продольное поле Hz появляется только в следующих приближениях.

В противоположном предельном случае М > 1 получаем

Сравнение (10) с (11) показывает, что средняя скорость движения уменьшается с ростом Но, а профиль скоростей становится более плоским в средней части потока, но резко меняется в слое толщиной х0 у стенок. Продольное магнитное поле в этом пределе имеет вид

Как видно из формулы, оноубывает с ростом числа Гартмана. Наибольшую величину Hz имеет при М и 1.

Плотность тока в движущейся жидкости вычисляется из уравнения Максвелла j = -£- rot Н. Отлична от нуля только у-компонента тока:

Создаваемое им магнитное поле Hz равно нулю всюду вне области, занятой жидкостью. Там остается только поперечное поле HQ.

о

Интегрируя уравнение движения (XTV.7)с граничным условиемр|г > а = = 0, находим

где Н = Щ:J rj(r) dr при г < а, Н = 2J/cr при г > а.

о

Чтобы связать силу тока J с Т и N, полагаем р = 2п(г)кТ, где к —по- стоянная Больцмана, и интегрируем обе части (1) по площади поперечного сечения столба плазмы. Получим

При Т и 108 °К и N и Ю1 5 частица/см3 (значения, характерные для термоядерных исследований) имеем

863.Ток должен течь потонкому поверхностному слою. Тогда внутри столба будет постоянное давление

864.Беря проекцию уравнения (XIV. 12) наосьг иподставляя v = и£,

v = const, получим уравнение для определения Нг:

Решение этого уравнения выражается через произвольную функцию F от аргументов г —vt, fl и а:

Из уравнения divH = 0 вытекает следующая связь между проекциями вектора Но:

При Нов = 0 находим Н# =О,

если положить /(#) = 0, то будем иметь

Я„(г, 0, a, t) = ^ Я О г (Ч а - ( Г ~ / ) П + ta) sin tf. (6)

Паркер использовал рассмотренную модель для описания межпланетного магнитного поля, создаваемого потоками солнечной плазмы (солнечным ветром). В модели межпланетного магнитного поля Паркера Н# = О,а Нг и На даются формулами (4), (6). Измерения межпланетного магнитного поля, произведенные на спутниках и ракетах, показывают, что усредненное магнитное поле вблизи орбиты Земли удовлетворительно описывается моделью Паркера.

865. Силовые линии имеют вид спиралей Архимеда:

866. е± = 1 Н Y~,где р — плотность плазмы. Найденное значение е±_ получается из результатов задачи 321 в предельном случае из —> 0.

867. из = изр = у га6 • г д е m ~~м а с с а электрона.

868.При из < изр, R = 1,

Е= - — ^ Е о exp[-qz - iwt],

где q = ^ \ / - | ~ 1 > ' г = %•> Ео — амплитуда падающей волны. Глубина проникновения Ь = \ = — с ; 5 Й ^ - при из <Сизо. Затухание поля

вызвано недиссипацией энергии, а возникновением токов в плазме, которые создают поле противоположного знака.

При UJ > и)р

где q = лЛ^2 —ш%/с, волна распространяется в плазме без затухания.

869. Представим радиус-вектор частицы в виде

(1)

где vo — скорость частицы в отсутствие поля (тепловая скорость); Ro — радиус-вектор при t = 0; Ri (t) —добавка, обусловленная действием электрического поля плоской волны (магнитным полем пренебрегаем, считая частицы нерелятивистскими).

Величина Ri удовлетворяет уравнению

В показателе экспоненты можно пренебречь слагаемым к • R b считая выполненным неравенство kR\ « 1. В этом приближении, линейном по Ео, решение (2), соответствующее вынужденным колебаниям, имеет вид

'Расходимость выражений (3) и (4) при kvo = ш связана с некорректнымрассмотрением «резонансных» частиц, т.е. частиц, скорость которых удовлетворяет условию kvo = ш. Чтобы избежать этой трудности, предположим, что в плазме отсутствуют частицы с такими скоростями, т.е. исключим из рассмотрения интервал скоростей, удовлетворяющих неравенству |v —vo| < vo.