Батыгин&co

добротность резонатора с параллельными зеркалами. Отсюда

^ 2 c 2 Q 2 '

Для параметров резонатора, приведенных в условии предыдущей задачи, находим

/3 < 0,0012.

542. а) Угол fl принимает дискретные значения, определяемые условием

где п > 1 - целое положительное число. Если при заданном А возможно значение fl = 0, которое соответствует п = щ (L = поА/2), то дискретные значения угла i?jt <С 1 определяется формулой

б) Добротность Q\, учитывающая потери в зеркалах, была найдена в задаче 540. Добротность <5г, связанная с потерями на излучение, по порядку величины составляет

^ при 0>в, Q2 = ^ = ^ при 0<в, (3)

где в — угол дифракции, определенный в задаче 540.

Если Q\ < Q2max. то полная добротность Q резонатора для тех типов колебаний, у которых <3г($) > Qi, будет практически одинаковой и близкой к Q\. Если Qi > Q2max, то Q будет определяться, в основном,величиной<3г в соответствии с формулами (3).

549. а) Нельзя. 12 час 00 мин могут показывать одновременно двое часов в одной из систем отсчета и только одни часы в другой системе отсчета.

6) Показания пространственно совпадающих часов не зависят от выбора системы отсчета:

tA> = 12 час ООмин + -^ = 13 час ООмищ

Показания оставшихся часов В я В' будут зависеть от выбора системы отсчета вследствие относительности одновременности.

Рис. 94 С точки зрения наблюдателя на «платформе» (рис. 94а):

Ьв1 = 12 час 21,6мин, Ьв =^А = 12 час ЪЬмин.

С точки зрения наблюдателя в «поезде» (рис. 946):

tB/ = ЬА> = 13 час ООмин, Ьв = 13 час Ы,4мин.

в) С точки зрения наблюдателя на «платформе»:

Во всех случаях отстают те часы, показания которых приходится сравнивать с показаниями двух часов в другой системе отсчета.

550.По земным часам: At = 8 лет. При расчете запасов снаря-

жения следует брать в основу промежуток времени Д£о = 0,01Д£ и и 1 месяц по часам в ракете;

Т = шс2 (7 - 1) = 2,5 • 1016 квт-ч.

Это количество энергии в 10000 раз превышает годовую выработку электроэнергии во всем мире в настоящее время.

Для наблюдателя, связанного с первым масштабом (рис. 95а), сначала совпадут левые концы, потом правые; для наблюдателя, связанного со

Рис. 95

вторым масштабом (рис. 956), — наоборот. С точки зрения наблюдателя, относительно которого масштабы движутся с одинаковой по величиие скоростью, концы совпадают одновременно.

552. Введем поперечную и продольную компоненты радиуса-век- тора г:

г±=г-гц, г'х=г'-гц Применив к гц и г | преобразования Лоренца (Х.1), получим

r||= 7 (r||+Vt') , r x = r ' x .

Окончательно:

553. A =

скорости в системах 5 и 5'. Можно также просто продифференцировать по времени радиус-вектор г,выраженный через г' и t' по формуле, полученной

взадаче552.

558.Угол томасовской прецессии определяется соотношением

v2Jl - V2/c2 + V2Jl-v2/c2

При t i , F < c угол узи 0.

При v —»с угол ip —»—arccos y'l — V2/c2; если при этом и V —» с, то уз—>7г/2.

561. Относительная скорость двух частиц в системе, связанной с одной изних: V = —Щ:—т. Отсюда

= тс2\2

-V2/c2

Вультрарелятивистском случае So 3>me2 и,следовательно,

тс2

Если ускорению подвергаются электроны (тс2 = 0,5 Мэв), то, например, при SQ = 50 Мэв получается выигрыш мощности ускорителя в 200 раз: S = = 10 000Мэв.

562. Эту задачу, как изадачу 554, можно решить двумя способами. Результат:

где

„_-, , v ' - V

Из этих формул видно, что если в одной системе отсчета частица движется с постоянным ускорением v', то в другой системе отсчета ускорение v, вообще говоря, зависит от времени (так как в формулы преобразования входит переменная скорость v'частицы).

четырехмерное ускорение — пространственноподобный вектор.

564. Пусть 5' — мгновенно сопутствующая частице система. Согласно ответу к задаче 562,

Отсюда квадрат ускорения

Если скорость частицы меняется только по величине, то v || v и

Если скорость частицы меняется только по направлению, T O V J _ V H V - V = = 0, так что

Результат (2) можно получить и другим, более простым способом, воспользовавшись выражением квадрата четырехмерного ускорения, найденным в предыдущей задаче. Квадрат u>f является 4-инвариантом. Это значит, что вычисление u>f как всистеме 5, так и всистеме S' должно дать один и тот же результат. Замечая, что скорость частицы v' = 0, получим формулу (2).

x(t)= £ {

В ультрарелятивистском пределе:

566. Время разгона по часам в неподвижной системе:

о

Время разгона по часам в системе, связанной с ракетой,

567. Формулы (1) описывают преобразование Лоренца с малой относительной скоростью Av и поворот на угол Atp = \A(p\, причем ось вращения проходит через начало координат и параллельна вектору А(р. Эти преобразования вследствие малости Av и А<р могут производиться в любой последовательности. Таким образом, мгновенно сопутствующая система является вращающейся. Это вращение представляет собой чисто кинематический релятивистский эффект и называется прецессией Томаса (см. задачу 558).

При « « с формулы (2) принимают вид

и 6v, А(р и —^Sv x v. 2с2

В этом пределе величину

можно рассматривать как угловую скорость томасовскои прецессии мгновенно сопутствующей системы относительно лабораторной системы 5.

Заметим, что все три угла между скоростями, изображенные на рис. 96, относятся к разным системам отсчета и что сам рисунок условен (например, изображенные на нем отрезки АС = СО = СВ = с).

Из полученных результатов видно, в частности, что угол аберрации 6 зависит только от относительной скорости v Земли и Солнца и не зависит от скорости Солнечной системы относительно звезды.

Рис. 96

571. Если положение Земли на орбите определяется азимутальным углом <р, и а = (0, а,0, аа) — вектор, проведенный из точки (•&, а) небесной сферы в точку видимого положения звезды на небесной сфере, то

а# = —(5cos?? • sin(a — <р), аа = -/3cos(a- <p).

Отсюда видно, что видимое положение звезды на небосводе в течение года описывает эллипс с полуосями (3cos fl и(3.

У

575. Если изо— частота в той системе, где источник покоится и V — скорость источника относительно приемника света, то приемник зарегистрирует меньшую частоту из = изо* 1 — ^у (красное смещение).

Угол а луча с направлением движения источника в системе его покоя определяется формулой:

cosa = —-£-.

Угол а близок к 90° только при V <g.c. Если V —»с, то a —» тг.

Частоты совпадают, из = изо при 0 = 0о, где cos0o = (1 — \/l — /32)//3; при этом J = Jo-v/l —/З2. Интенсивности сравниваются, J = JQ при 0 = = 01 < 0о, cos0i = [1 — (1 — /?2)3/4]//?. Когда источник света находится далеко от наблюдателя, приближаясь к нему,так что 0 < 0о, частота из >изо из-за эффекта Доплера («фиолетовое» смещение). Если к тому же 0 < в\, то интенсивность J также превышает Jo — движущийся источник выглядит более ярким, чем неподвижный. Интенсивность максимальна при 0 = 0 и составляет Jm a x = J 0 (l + /?)3/2/у/1 —/3. При 0 > 0о частота из < изо, и наблюдатель видит «красное» смещение; интенсивность света теперь меньше, чем у неподвижного источника. Эти эффекты особенно заметны при V и с, когда