Батыгин&co

433. Для того чтобы граничные условия для векторов поля выполнялись в любой точке поверхности раздела, необходимо равенство касательных к границе раздела компонент волнового вектора у падающей, отраженной и обеих преломленных волн. Для обыкновенной волны это дает

, sin во

«о sin во = fci sin в2, . = y/e±(i. sin "о

Направление луча (вектора Пойнтинга) в обыкновенной волне совпадает с направлением волнового вектора и составляет, следовательно, угол в'2

снормалью к границе.

Вслучае необыкновенной волны имеем

(см. (VIII.23)). Отсюда находим

\\(е\\- e ± ) s i n 2 0 o

Угол •в" между лучом и оптической осью (совпадающей с нормалью к поверхности раздела), согласно результатам предыдущей задачи, определяется условием

Угол отражения от кристалла, как и от изотропной среды, равен углу падения: в\ = во.

434. Обыкновенный луч лежит в плоскости падения и составляет с нормалью к поверхности угол в'2:

sin #2 =

Волновой вектор кг необыкновенной волны лежит в плоскости падения и составляет с нормалью угол в2:

Направление луча в необыкновенной волне не лежит в плоскости падения. Луч расположен в одной плоскости с кг и оптической осью и составляет

споследней угол #, причем (рис. 70):

+£±(£± — £ц) sin2 во cos2 a

е|| sin во cos а

435.Подставляя в уравнения Максвелла (VIII.1)-(VIII.4) выражения полей Е и Н в виде плоских волн, получим уравнение, определяющее

Рис. 84

амплитуды и волновые векторы волн, которые могут распространяться в данной среде:

Введем угол в между волновым вектором к и осью z и запишем (1) в проекциях на оси координат.

Приравнивая нулю определитель системы, получим биквадратное урав-

440. Волновые векторы отраженной и прошедших волн перпендикулярны кгранице раздела. Отраженная волна поляризована эллиптически, полуоси эллипса

Н[ = Щ (у/ё + у/Ц + Ца)(у/ё + у/Ц - Ца) '

(у/ё + у/Ц + Ца){у/ё + у/Ц~ Ца) '

Направление Н[ совпадает с направлением поляризации вектора Н впадающей волне. Прошедшая волна расщепляется на две волны с амплитудами

поляризованные по кругу впротивоположных направлениях. Скорости их распространения различны (см. ответ к задаче 437).

441. Если длина волны много больше радиуса дисков и расстояний между соседними дисками, то искусственный диэлектрик можно рассматривать как сплошную среду. Электрическое поле падающей волны касательно к плоскостям дисков. Поэтому при отсутствии внешнего магнитного поля Но поляризуемость диэлектрика будет иметь значение а = Nf3e,

поляризуемость диска, N— число дисков вединице объема.

Продольная магнитная поляризуемость диска 0т равна нулю (см. задачу 390), поэтому магнитная восприимчивость диэлектрика х Щ"1 рассматриваемом направлении магнитного поля волны обращается в нуль.

Наличие внешнего магнитного поля Но приводит кэффекту Холла: электроны проводимости, создающие ток в каждом диске, будут отклоняться под действием поля Но и создавать добавочное электрическое поле Б я , которое должно уравновесить отклоняющее действие магнитного поля. Это приведет кпоявлению добавочного электрического момента каждого диска, вследствие чего изменяются вектор поляризации среды и электрическая индукция. Чтобы вычислить это изменение индукции, удобно рассмотреть

В первом приближении по Но поле Е я , вызванное эффектом Холла, выразится в виде

где R — постоянная Холла, Р = а Е — вектор поляризации в нулевом приближении. За счет поля Е я вектор поляризации получит приращение

Здесь е = 1 + 47гЛГ/Зе — диэлектрическая проницаемость при отсутствии внешнего магнитного поля.

При гармонической зависимости Е от времени уравнение (2) даст связь между D и Е вида

D = еЕ + Г(Е х g).

где g = 4жа2иКНо — вектор гирации (см. (VIII.25)). Таким образом, среда будет гиротропной. Как следует из результатов задачи 437, в направлении вектора g возможно распространение двух волн, поляризованных по кругу в разных направлениях и имеющих разные базовые скорости v± = •£-.

Определяя к± обычным способом, получим

442.Волна, у которой электрический вектор параллелен проводникам, отразится от решетки, как от сплошной металлической плоскости. Волна,

укоторой электрический вектор перпендикулярен проводникам, будет распространяться как в свободном пространстве, потому что она не возбудит токов в решетке.

443.Будем искать решение уравнений Максвелла в виде плоских волн.

Амплитуда Е о этих волн удовлетворяет системе уравнений

к х Ео= £НО,

(1)

к х Но = -£e(w)Eo.

408 Глава VIII

В случае продольного электрического поля к х Ео = 0, поэтому Но = 0,

е(из)Е0 = 0.

Из последнего равенства следует, что продольное электрическое поле

Частоты продольных колебаний uia определяются этим уравнением и являются, как правило, комплексным, uia = иза — iya. Это означает, что колебания, возникнув, будут затухать. Если выполняется условие 7а "С £>а, то затухание за период колебаний мало. Такие колебания будут долгоживущими.

Согласно формуле (3), частота и) не зависит от волнового вектора, поэтому групповая скорость продольных плазменных волн равна нулю. Однако этот результат имеет место только в первом приближении и связан с тем, что не учитывается пространственная неоднородность электрического поля. Продольные плазменные волны представляют собою колебания облака электронов относительно облака ионов (последние в рассматриваемом приближении считаются неподвижными).

444. Е(х, z, t) = Ео ехр[—а|х|+i(kz—u;t)}, где частота и)определяется из условия е(ш) = —1: ш = шр/\/2.

Постоянная затухания а выражается через волновой вектор к:

в случае медленной волны а и к. Волновой вектор к может иметь произвольную величину. Амплитуда Ео имеет компоненты Еоу = 0, EQX =

= ±ЩЕог и ±iEoz, где знак «+» соответствует х > 0, а знак «—» области х < 0. Таким образом, поляризация близка к круговой, причем вектор Е вращается в плоскости xz. Амплитуда магнитного поля Но(0, Щу, 0) мала по сравнению с Ео: Щу = Е^ы/кс >С EQZ, ЧТО характерно для плазменных колебаний. Рассмотренная волна называется поверхностной плазменной волной.

445. Как следует из задачи 437, вдоль направления постоянного магнитного поля возможно распространение двух волн с правой и левой круговыми поляризациями. Волновые векторы этих волн определяются равенством (см. задачу 321):

= е± = 1 -

При пн < и влияние движения положительных ионов очень мало, их можно рассматривать как неподвижные. В обратном предельном слу-

Обе волны распространяются с одинаковой фазовой скоростью vv, которая совпадает с их групповой скоростью vg:

или

если можно пренебречь единицей по сравнению со вторым членом; здесь т = NM — плотность газа (очевидно, массой электронов можно пренебречь). Если бы движение положительных ионов не учитывалось, то вместо конечной постоянной скорости (3) при и) —» 0 получилась бы нулевая скорость, и соответствующие волны не могли бы существовать. Таким образом, механические колебания газа и колебания электромагнитного поля оказываются в этом случае тесно связанными. Волны, распространяющиеся со скоростью (3), называются магнитогидродинамическими. Они играют большую роль в астрофизических и других процессах.

446. Линеаризованное уравнение, связывающее амплитуды высокочастотных составляющих намагниченности ( т 0 ) и магнитного поля (ho), вытекает из (VI. 15) и (VI. 16):

Здесь Мо — намагниченность насыщения, совпадающая по направлению с магнитным полем Н о . Выбрав ось z = хз вдоль Но, определим с помо-