Разложим U в ряд с точностью до е4 :
Из последней формулы видно, что если заряд капли q<qKp = Vl6nR3a, то при малых деформациях капля стремится вернуться в сферическое состояние — капля устойчива. При q > q^, поскольку возникшая деформация продолжает увеличиваться — капля неустойчива. Процесс кончается расщеплением неустойчивой капли на две или большее количество1 более мелких устойчивых капель. То, что в конце концов получаются устойчивые капли, видно из выражения од- С уменьшением размеров капли критический заряд qk уменьшается пропорционально корню квадратному из ее обьема, в то время как заряд капли q уменьшается в среднем пропорционально объему; поэтому при достаточно малых размерах капли условия устойчивости начинают выполняться.
Ш . v = -
где \/£ нужно брать со знаком плюс при z > 0 и со знаком минус при z < 0. На больших расстояниях за отверстием ( Й Г ! И поле приобретает вид
ip « E0a3z— при z > 0.
Такой характер имеет поле электрического диполя, ось которого сов-
падает с осью z, а момент р = |
Е0а3 |
~ |
-£—. |
Отсюда видно, что силовые линии, |
проходящие через отверстие, замыкаются на обратной стороне металлического экрана.
204.
(У= |
% (7Г — arcsin Y~ -\ |
а |
) при z = —0, |
|
47Г \ |
1 |
yVi |
-a2/ |
а = —
где ri = у/%+ а? — расстояние от центра отверстия до точки наблюдения на плоскости.
'Легко непосредственно проверить, что, например, при расщеплении заряженной капли на
2
две равные сферические капли энергия уменьшается в 23 раза.
§3. Специальные методы электростатики |
291 |
205. Нужно решить уравнение Aip = —4TrqS(r — го); ^-функция должна быть при этом записана в цилиндрических координатах:
Компонента Фурье
+ОО
tpk(r,a) = - / tp(r,a,z)coskzdk |
(1) |
oo |
|
потенциала ip(r,a, z) удовлетворяет уравнению |
|
и граничным условиям (см.рис.11): |
|
/?) = 0, |
(3) |
(4)
Рассмотрим соответствующее (2) однородное уравнение. Частными егорешениями, удовлетворяющими (3), являются произведения
(п = 1,2,3,...), где величина Д„(г) равна с точностью до постоянного множителя либо 7птг(Ат), либо К г™ (кг). Будем искать решение неодно-
0 |
0 |
родного уравнения (2) в виде суперпозиции таких частных решений: |
^2 Anlnn |
(kr)sin ^ ^ приг <а, |
n=1 |
' |
(5) |
оо |
|
|
|
|
при г > а. |
к TT="I |
0 |
p |
При написании (5) мы учли, что потенциал од должен удовлетворять (4) и быть ограниченным при г = 0 (см.приложение 3).
Для определения постоянных Ап и Вп воспользуемся, во-первых, непрерывностью потенциала при г = го. Это даст
292 |
ГлаваIII |
Во-вторых, |
потребуем, чтобы потенциал (5) удовлетворял уравне- |
нию (2). Подставив (5) в (2), помножим обечасти получившегося равенства
на sin |
тпа |
( т = 1,2,...) и проинтегрируем по а от 0 до /3. Учитывая |
|
|
ортогональность функций sin ЩО- в указанном промежутке, получим
где |
|
Ат1тж(кг) |
приг < а, |
/3 |
|
ВтКтп (кг) |
при г>а. |
Р |
|
Функция Rm(r) непрерывна при г = го, но ее первая производная по г испытывает приэтом скачок
6 = R'm(r0 + 0) - R'm(r0 - 0) = '^ (fcr0) - kAml'^ (fcr0).
Поэтому вторая производная Rm(r) будет равна Д^(г) = Ь5(г— го). Подставляя это выраженне в (7) и отбрасывая члены, ограниченные
при г = го,получим второе уравнение для определения Ап, |
Вп: |
ЗпК'ш(кго) |
- кАп1'ж(кга) |
= - - ^ s i n |
(8) |
0 |
0 |
|
|
|
При упрощении выражений для Ап и Вп |
полезно воспользоваться форму- |
лой |
|
|
|
|
Kv{x)I'v{x)-K'v{x)Iv{x) |
= l. |
|
207. |
|
|
|
|
|
ch ^ +cos а — |
|
|
|
, п |
а —7 |
|
|
|
ch ^ - cos — Y 1 |
|
§ 3. Специальные методы электростатики |
293 |
где |
|
До = у П) + г2 |
+ 22 |
- |
2гг0 cos(7 - а) = \/2гг0 |
• ^/сЬт; -cos(7 -a), |
До = Jrl + Г2 |
+ 22 |
- 2гг0 cos(7 + а) = л/2гг0 |
• \/ch.T) -cos(7 + а). |
|
|
(--i) |
у , |
|
208. сг = const-rV / 3 |
|
|
где г — расстояние до ребра клина. В частном случае клина, находящегося в поле точечного заряда (см. задачу 205),
const = — -
Отсюда видно, что I T - » 0 при г—> 0 и (3 < п; cr —> оо при г —> 0
и/3 > тт. В частном случае, когда заряд находится у края плоскости,
209.Поместим заряд 9 в начале координат, а ось z направим перпендикулярно поверхности пластинки. Тогда уравнения передней и задней поверхностей ее примут вид z = а и z = а + с соответственно. Будем искать потенциал в виде
|
f |
-Ы I |
f |
|
|
ipi = q I Jo(kr\)e |
| z | dk+ I A\(k)Jo(kri)e |
dk (—00 < z < a), |
|
|
о |
|
о |
|
|
|
00 |
|
00 |
|
|
У2 = |
I B1(k)J0(kr1)e~kz |
dk+IB2(k)J0(kr1)ekz |
dk (a < z < b), |
(1) |
|
|
|
|
|
|
о |
|
о |
|
|
|
00 |
|
|
|
|
Уз = |
/ M{k) J0(kn)e~kz |
dk (6 < z < 00, где 6 = a + c). |
|
|
0 |
|
|
|
|
Граничные условия на поверхностях пластинки дадут систему четырех алгебраических уравнений для определения коэффициентов А\, А2, Bi, В?.
Решая эту систему, получим:
=q/3 е-2кЬ _ е-2ка
(2)
9/3(1 -0)е-*кЬ
где 0 = | ^ j, Ь= а + с.
Формулы (2) совместно с (1) дают решение нашей задачи. На больших расстояниях за пластинкой (z > 0) поле принимает вид:
pz
где п =
где n =
О (вблизи заряда)
29
<P
(ср. с задачей 129).
Потенциал (р можно представить в виде (-1)"
Соответствующая система изображений приведена на рис. 666.
211. Можно ввести бисферические координаты так, чтобы поверхности внутренней и внешней обкладок были координатными поверхностями £ = £i и £ = & соответственно. Для этого нужно провести ось z через центры обкладок так, как это показано на рис. 65. Координаты центров обкладок будут при этом равны z\ = a cth £i, 22 = a cth £2 (а — параметр бисферических кооодинат). Радиусы обкладок связаны с величинами a, £i, £2
§ 3. Специальные методы электростатики |
295 |
уравнениями а = aish£i, а = откуда
a| - a2 - b2
, b = z2 — z\ = a(cth^2 — cth£i),
„2 , k2 „2
(1)
2a2b
Функция ф в пространстве между обкладками конденсатора удовлетворяет уравнению
|
д_( . |
ф |
|
|
- |
кЛФ = 0 . |
(2) |
|
sin r, dr,V |
Цдг) |
S iin2 |
r, да2 |
|
|
4 |
|
Производя в уравнении (2) разделение переменных и учитывая, что в нашем случае грне зависит от азимутального угла а, найдем частные решения этого уравнения, ограниченные при г\= 0, тг:
где « = 0,1,2,3, ...
Рис. 65
Будем искать гр в виде ряда |
i7?)- Коэффициенты |
*=о
и В/ определяются из граничных условий VK&2, г)) = 0,
Окончательно получим:
|
|
^ |
. |
(4) |
j=o |
h(i + |
±)(ftft) |
|
Емкость конденсатора |
|
|
|
|
7Г |
2 7Г |
|
|
|
Я1 _ 1 ; |
; 1 »ги |
г. |
dr}da. |
|
о о
Знак «+» в последней формуле объясняется тем, что вдоль внешней нормали к внутренней обкладке координата £ убывает. Подставляя сюда (4) н нспользуя ортогональность полиномов Лежандра, получим:
С = -=- + ai shft У е ~ ^ '+ 1 )« cth(Z + ^
J=0
213.
сп = ^- +aishft У2е~\+г' 1cth(l + ^)(^i
j=o
с22 = у + a2 sh£2 ^e ^ 2/2cth^/ + -^
j=o
ГДе
Поверхности первого н второго проводников описываются уравнениями £ = —ft н £ = £2 соответственно, причем ai shft = h£
§ 3. Специальные методы электростатики |
297 |
214.
сц = ai(l + тп + тп3 + т2п2),
с1 2 = —ain(l + тп),
тп + т3п + т2п2),
где m = -±, п = -£•.
215. Пусть потенциал сфер равен нулю, потенциал на бесконечности равен —V. Произведем инверсию системы в сфере радиуса R = 2а, центр которой находится в точке касания проводящих сфер (рис. 66а, сфера инверсии изображена пунктиром). После инверсии система примет вид плоского конденсатора (рис. 666, сфера инверсии изображена пунктиром)
Рис. 66
с расстоянием 2R между заземленными обкладками. Внутренности сфер соответствует при этом внешняя область конденсатора. В центр инверсии в конденсаторе попадает бесконечно удаленная точка первоначальной системы с потенциалом V. Этому соответствует точечный заряд QQ = —RV в центре инверсии. Поле в инвертированной системе может быть, согласно задаче 210 (е = 1), получено как поле следующей бесконечной системы изображений: точечные заряды (—l)nq'o находятся в точках z'n = 2Rn оси z', проходящей через центр инверсии перпендикулярно к обкладкам конденсатора. Поскольку мы интересуемся емкостью, нужно найти полный заряд первоначальной системы:
При выполнении суммирования мы воспользовались известным разложением в ряд In 2 (см. справочник [90], 0.232). Отсюда емкость
Для определения потенциала с помощью формул (111.32), (III.33) запишем г и г' в цилиндрических координатах (ось z совпадает с осью симметрии
|
|
Рис. 67 |
|
|
системы, начало |
координат в точке касания сфер). Тогда z |
#2 |
|
г2 |
|
|
|
|
r\ = r i , г2 = r\ |
+ z2 и для потенциала получим |
|
Член ^ добавлен для того, чтобы у?(г) обращался в нуль при г - юо .
|
§ 3. Специальные методы электростатики |
299 |
217. |
Угол /3, под которым пересекаются сферические |
поверхности |
(будем отсчитывать его вне проводника) выражается формулами: |
|
Г2ж— |£г —£i |, |
если £i |
и £г одного знака, |
|
|
\ 27г — |^i + &I» |
если £i |
и £г разных знаков. |
Выбрав |
центр инверсии О на линии пересечения сфер, положив радиус |
инверсии равным 2а и производя инверсию, получим клин с двугранным углом /3 и ребром (ось z'), перпендикулярным плоскости симметрии (а = = 0,7г) рассматриваемого проводника. На рис. 67 изображен случай £i > О, & < 0. При инверсии в точке О появится заряд д^ = —2aV. Как легко может быть показано, угол 7 = £ь если отсчитывать 7 от той грани клина, в которую переходит сферическая поверхность £ = £i. При преобразовании инверсии поверхности £ = const переходят в полуплоскости а' = const, причем
Г7 - |
а' |
при |
0 < |
а' < 7Г+ 7, |
\ 7 - |
а' + 27Г |
при |
7Г+ |
7 < а' < /3 (если /3 > ж + 7). |
Расстояния г и г ' могут быть выражены через координаты р, £ точки наблюдения М (при этом нужно использовать соотношения между декартовыми и тороидальными координатами из задачи 68, а также рассмотреть подобные треугольники 00'М' и 00'М):
•y/2(ch/9 — cos£)
Используя выражение для потенциала клина, полученное в задаче 206, а также формулы (1) и (2), получим после некоторых преобразований следующее выражение для емкости:
|
с =VЬ |
n |
v |
|
»" (р—о,€-.о) |
|
оо |
/ |
|
|
|
s h |
|
а |
7Г |
|
тг |
|
0 |
/з |
|
0 _u*C , c h C - 1 1 |
|
|
|
|
|
|
у |
