Батыгин&co
.pdf270 |
Глава III |
Эта предельная плотность на самом деле представляет собой сумму плотностей связанного заряда на границе диэлектрика и свободного заряда на поверхности проводника.
144.F=-4
4а?
При е\ >£г заряд отталкивается от границы диэлектриков, при е\ <е% — притягивается. Заряд, находившийся вначале в среде с большим е, отталкиваясь от границы, стремится уйти на бесконечность. Заряд, находившийся сначала в среде с меньшим е, притягивается к границе, пересекает ее и затем, будучи уже в другой среде, отталкиваясь от границы удаляется на бесконечность. (Сказанное будет справедливо только в том случае, если пренебречь силой чтения, действующей на заряд со стороны среды.)
Приведенное значение силы F можно получить разными способами: а) рассматривая взаимодействие двух точечных зарядов q' и q"; б) вычисляя силу, действующую на точечный заряд со стороны вязанных зарядов, находящихся на границе раздела диэлектриков; в) с помощью тензора натяжений Максвелла. В последнем случае удобно рассмотреть натяжения, приложенные либо к плоскости раздела диэлектриков, либо к поверхности малой сферы, окружающей заряд.
1 4 5 . |
F1= |
4o2 |
2(ei+e2 )o2: ' |
|
|
|
|||
|
£2 — £i |
92 |
. |
Q1Q2 |
|
£2(£i + £2) |
• 4a? |
+ 2(£i |
+ £2 )o2 ' |
Неравенство сил, действующих на заряды q\ и 92 объясняется тем, что эти заряды сами по себе не образуют замкнутую механическую систему; имеются еще связанные заряды на границе раздела диэлектриков. Векторная сумма сил, приложенных к этой границе и к зарядам q\ и 92, равна нулю, как и должно быть.
146. Если положить в металле <р = 0, то в диэлектрике <р = q/er\ —
— q/er2 (см. рис. 10: заряд q в точке А, заряд —q в точке В; е\ = е, ег = оо). Член —q/er-i,обусловленный наведенным зарядом проводника и связанными зарядами диэлектрика, имеет такой вид, как если бы он описывал поле точечного заряда —q/e, находящегося в точке с координатой z = —а. Заряд —q/e называется изображением заряда q/e относительно плоскости z = 0 (множитель 1/е учитывает влияние диэлектрика).
" ~ |
2тГГ3' ' " |
где г — радиус-вектор в плоскости z = 0.
§ 1. Основные понятия и методы электростатики |
271 |
147. Поле внутри двугранного угла создается системами зарядов, изображенными на рис. 57.
+9
+2
у/////////////,
148. Пусть диполь находится в точке (0,0, z). Если проекции дипольного момента р на осих, у, z равны psina, 0, pcosa, то проекции его изображения р' на те жеоси будут —р sin a, 0,р cos a.
U = |
(р.р')г2-3(р-р)(р'т) |
Р2 |
2 |
|
|
2£Г5 |
|
+ cos a),' |
|
|
|
|
|
|
|
|
(l + cos2a), |
• 2 |
|
F = - |
sin a |
|
||
|
16z4£ |
|
|
|
При любой ориентации р диполь притягивается к плоскости. Вращательный момент N стремится установить диполь вдоль положительного или отрицательного направления оси z (a = 0, тг). Момент N = 0 также
ипри a= тт.но это положение равновесия неустойчиво.
149.Введем полярные координаты, выбрав полюс в центре сферы
иось z ||Ео . Потенциал можно искать в виде ряда по полиномам Лежандра
'Множитель — в выражении U возникает благодаря тому, что поле Б ' дипольного момента р ' пропорционально р . При увеличении р наdp (и неизменной ориентации) энергия
р |
1 |
взаимодействия возрастает на dU = —Е' dp, откуда U = f dU = —^ (Е' • р) (ср. срешением о 1
задачи 166).
272 |
ГлаваIII |
|
|
(ср. с решением задачи 153). Окончательный результат: |
|||
<pi= |
—s—Eorcosd |
при г < а, |
|
£l |
+ 462 |
|
|
<р2 = -Eorcosd + £ l ~ £ 2 |
Е0а3^- |
при г > а. |
|
Внутри шара получается однородное электрическое поле, напряженность которого
Е _ |
Зе2 Е |
(>Ео |
при |
£ 2 > £ ь |
1 |
£ i + 2 e 2 |
° \ <Е0 |
при |
£ 2 < £ i - |
Вне шара на внешнее однородное поле EQ накладывается поле электрического диполя, момент которого
Это вторичное поле вызвано связанными зарядами на поверхности диэлектрического шара:
Легко понять причину такого распределения зарядов, представив себе каждый малый элемент поляризованного диэлектрика в виде элементарного диполя.
150.Для диэлектрика с неизменной поляризацией Е = Щ£- (см.
задачу 104).
Для обычного диэлектрика
151. tp = -Ео • г + 5-Е (г ^ R),
г
где р = Д3 Ео, Д3 — поляризуемость шара;
4тг
§ 1. |
Основные понятия и методы электростатики |
273 |
152. Силу F, |
приложенную к заряду q, можно найти, помножив q\ на |
|
напряженность поля, созданную вторым зарядом 92 в полости, где находится ft. Так как полость мала, поле в ней будет однородным с напряженностью, равной
ZeE0 _ Zq
где EQ = -=-? — однородное поле в окрестности полости.
га |
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
F = |
|
3<72 |
|
(2e |
r.2' |
||
|
|||
|
|
Эта сила отличается от той, которая действовала бы между такими же зарядами в однородном жидком диэлектрике с тем же значением е (см. задачу 140). Если бы мы аналогично задаче 140 попробовали найти силу, приложенную к плоскости симметрии, то получили бы при учете только максвелловых натя-
2
жений значение силы F\ = -=-т, отличающееся
га
как от силы F, приложенной к самому заряду, так и от полной электрической силы натяжений (не учтен стрикционный член, имеющий сложный вид в случае твердого тела). Такая же сила будет действовать на любую область диэлектрика, охватывающую полость с заключенным
в ней зарядом. Часть этой силы (2е + 1)о2 приложена к точечному заряду q, другая часть F' =
(2е - 1)<72 |
|
= х—-(2e + l)o2e — к связанным зарядам, наве- |
|
денным на поверхности полости. |
Рис. 58 |
153. Выберем полюс сферической системы координат в центре шара (рис. 58), полярную ось проведем через точечный заряд. Будем искать потенциал в форме
(1)
где п — расстояние от q\ до точки наблюдения. Ряд, входящий в (1), очевидно, описывает поле зарядов, индуцированных на шаре. Это поле должно
274 |
ГлаваIII |
исчезать на бесконечности, поэтому ajm = 0. Вследствие симметрии потенциал не зависит от угла а, поэтому члены c m / 0 также отсутствуют. Оставшиеся константы 6/ = 6/о определим из граничных условий.
В случае а) потенциал шара <р(Д,$) = V = const. Воспользуемся разложением для ^- из задачи 96:
Отсюда 6/ = — |
при I ф 0, 6о = VR — j£, так что потенциал вне |
шара |
|
Теперь находим плотность зарядов, наведенных на поверхности шара:
г=о
В случае б) потенциал У неизвестен и должен быть выражен через заряд Q шара. Очевидно,
Q = 2тг (a(R,d)R2smddd = eVR- ^ ,
откуда V = - ^ + J j . Используя задачу 96, можно записать (2) в виде:
где
9' = q§, r2 = v/r2 + o'2 -2oVcosi9, о' = ^ .
Таким образом, потенциал точечного заряда и заряженного шара в области г > а сводится к потенциалу четырех точечных зарядов, расположенных на оси симметрии: заряда q на расстоянии а от начала координат и трех
его изображений — зарядов Q nqr = q^ в начале координат и заряда —q' в
гармонически сопряженной относительно поверхности шара точке а' = ^ - .
§ 1. Основные понятияи методыэлектростатики |
275 |
Заряд —q' описывает действие зарядов, индуцированных на ближайшей к q стороне поверхности шара. Знак этих зарядов, очевидно, противоположен знаку q. Заряд +q' описывает действие зарядов одного с q знака, индуцированных на удаленной от q части шара.
Рис. 59 |
Рис. 60 |
Если шар нейтрален, то член с Q отсутствует. Если шар заземлен (V = = 0), то потенциал принимает вид
|
|
V= 1гТ~ 1ъ- |
(5) |
|
154. |
<р(М) = A--±- |
+ V (рис. 59), где |
|
|
155. |
(р{М) = £ - ^ |
+ ^-%V |
(рис. 60), где |
|
|
|
j _Яа |
«_ а2 |
|
Заряд на выступе равен |
|
|
|
|
|
|
|
Ь2-а2 |
|
156. |
(р = (pi = g | |
вне шара, <р= <рз = 9 |
— в проводнике, |
|
~ В п о л о с т и |
) ) г д е |
276 |
|
ГлаваIII |
157. |
ito |
-Pj(cos??) при г ^ Л; |
|
|
где г\ — расстояние от q до точки наблюдения. Здесь потенциал не мо-
А
Рис. 61
жет быть представлен простой системой изображений, в отличие от случая проводящего шара. При е\ —* оо получим результат задачи 153.
158.
•*•
где ri — расстояние от точки наблюдения до заряда q. При a = О,
е2\) q
§ 1. Основные понятия и методы электростатики |
277 |
159. Обозначим поверхности внутренней и внешней сфер |
соответ- |
ственно через Si и $2 и положим потенциал внешней сферы равным нулю. Удобно решать задачу в сферической системе координат с полярной осью, направленной вдоль линии, соединяющей центры сфер, и с началом координат в центре внутренней сферы(рис. 62). В этих координатах уравнение поверхности Si запишется в виде г = а. Чтобы получить уравнение по-
верхности S2, заметим, что из треугольника 00'А |
следует: |
* |
(1) |
Из (1) с точностью до членов первого порядка по с находим уравнение поверхности S2:
6 + cPi(costf), |
(2) |
где
Pi (cos i9) = cos i9.
Член cPi (cos •&) = с cos i? в (2) описывает отклонение от сферической симметрии, которое обращается в нуль при с —* 0. Естественно искать потенциал в виде разложения по сферическим гармоникам (см. приложение 2), ограничившись первыми двумя членами. При этом второй член, учитывающий отклонение от сферической симметрии, должен быть пропорционален с.
Итак, положим
(3)
где Ai и Bi определяются из граничных условий:
д<р
д - dSi = -Airq.
51 |
' |
• 1Д2 |
/ |
|
|
|
Si
Окончательно:
Отсюда плотность заряда на внутренней сфере:
Я3<?с
278 |
|
ГлаваIII |
|
сила, действующая на внутреннюю сферу: |
|||
|
|
F=- |
qc |
|
|
Ь3-а3' |
|
|
|
|
|
160. |
АС = |
a2b2c2 |
|
(Ь-а)2(Ь3-а3) |
|
||
161. |
При увеличении заряда q на dq энергия U его взаимодействия |
||
с шаром возрастет на dU = tp'dq, где tp' — потенциал индуцированных на
шаре зарядов. Но этот потенциал сам пропорционален q: (/ |
= |
const • q. |
|
Поэтому |
|
|
|
я |
COnst „2 |
1 |
|
U = IdU = |
(1) |
||
Если бы величина </ не зависела от q (потенциал внешнего поля), то энергия взаимодействия была бы вдвое больше (U = = f'q). Используя (1) и результаты задачи 153, получим
U = -2е(а2-В?У
|
|
откуда |
q2aR |
|
|
|
|
||
Рис. 63 |
|
F = - e(a?-R2)2' |
||
162. С / = Й - |
q2R3 |
q2R3(2a2-R2) |
||
2a2e(a2-R2)' |
ea'-2 |
ea3(a2-R2)2' |
||
"" |
||||
В случае одноименных зарядов Qq > 0, и сила взаимодействия может обратиться в нуль, а при достаточно больших q или малых расстояниях а — даже стать отрицательной (притяжение).
163. Пробный заряд q должен быть мал по сравнению с зарядами, расположенными на других проводниках и диэлектриках, и не должен находиться слишком близко к местам неоднородности среды, например, к границам проводников и диэлектриков, чтобы обратное влияние зарядов, наводимых пробным телом, было мало. Например,при измеренииэлектрического поля заряженного проводящего шара нужно, чтобы сила электрического
§ 1. Основные понятия и методы электростатики |
279 |
изображения была мала по сравнению с измеряемой силой Щ- (Q — заряд
а
шара, а — расстояние от пробного заряда до центра шара). Это приводит к условию (см. ответ предыдущей задачи)
Q _ о (2а/Д - 1) 2
Я\a/R){a/R-ir
которое выполняется только при не слишком малых a/R и не слишком больших q/Q.
164. Изображением электрического диполя p = p ( e x s i n a + e z c o s a )
взаземленном шаре является система, состоящая из точечного заряда q =
=1-т- cos а и диполя р' = р( ^ ) (—ех sin a + ez cos a), находящихся в точ-
ке А' (рис. 63) на расстоянии г' = ^ -от центра шара.
|
p2R(r2 cos2 a + R2) |
= |
2e(r2 - Д 2 ) 3 ' |
_ p Дг sin 2a 2 е ( г 2 - Д 2 ) 3 '
В предельном случае г - » й получим, полагая г = R + z, R —> оо, z =const, результаты задачи 148 (диполь у проводящей плоскости).
165. <7 = ^rCOSI?,
4тгЯ3 где 1? — угол между р и направлением из центра вточку наблюдения.
Индуцированные заряды создают в полости однородное поле Е = - ^ .
R
166. Силы, действующие на неоднородность, могут быть получены дифференцированием величины
при постоянных Qim.